“一題多變與一題多解”在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中的應(yīng)用

林海明

摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而“一題多變與一題多解”就能提升學(xué)生的思維能力，特別是散發(fā)式的思維能力。培養(yǎng)思維能力，既是培養(yǎng)學(xué)生的理解能力，又是提高學(xué)生的分析能力，這對學(xué)生的幫助非常大。因此，本文將從“一題多變與一題多解的數(shù)學(xué)價(jià)值”“培養(yǎng)開放式思維力”“提高分析能力”三個(gè)角度對“一題多變與一題多解”在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中的應(yīng)用做簡單的探討。

關(guān)鍵詞：一題多變;一題多解;思維能力

【中圖分類號(hào)】G633.6??? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A?????? 【文章編號(hào)】1005-8877（2020）30-0187-02

The application of "one question changing and one problem multi solution" in cultivating students' thinking ability

LIN Haiming? （Fujian Zhangpu No.1 Middle School，China）

【Abstract】Mathematics teaching focuses on the cultivation of students' thinking ability，and "one problem changing and one problem solving more" can improve students' thinking ability，especially the sporadic thinking ability. The cultivation of thinking ability is not only to cultivate students' understanding ability，but also to improve their analytical ability，which is of great help to students. Therefore，this paper will make a simple discussion on the application of "one question changing and one problem solving multiple solutions" in the cultivation of students' thinking ability from three aspects of "the mathematical value of one problem changing and one problem solving multiple solutions"，"cultivating open thinking ability" and "improving analysis ability".

【Keywords】One problem is changeable;One problem has many solutions;Thinking ability

數(shù)學(xué)這門學(xué)科在當(dāng)代素質(zhì)教育和學(xué)術(shù)教育統(tǒng)一的義務(wù)教育中占有重要地位，它是一門自由學(xué)科，但同時(shí)也是既復(fù)雜困難又富有邏輯的學(xué)科。也許對大部分學(xué)生而言，數(shù)學(xué)這門學(xué)科是一道難題。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科的教育傳授者在教學(xué)中如何傳授這門學(xué)科的方法、方式，就顯得尤為重要。高中數(shù)學(xué)教師在講解例題時(shí)不僅要給學(xué)生講解解題技巧，還要引導(dǎo)學(xué)生如何抓住題目的主干和關(guān)鍵詞，如何找到解題思路，這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維力的一部分。

1.“一題多解”以及“一題多變”的數(shù)學(xué)價(jià)值

“一題多解”指的是從多個(gè)角度去分析一個(gè)數(shù)學(xué)題，然后找到題干，多種方法去解決數(shù)學(xué)題目。這種方法可以幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)解題思路，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方式、多種方法解決數(shù)學(xué)題目。高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，要運(yùn)用“一題多解”的方式進(jìn)行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要從多個(gè)角度去思考，從多個(gè)角度去解決數(shù)學(xué)問題。教師引導(dǎo)學(xué)生從多方面尋找思路，同時(shí)找到每種題目中的聯(lián)系條件。展開多種方式對數(shù)學(xué)題目進(jìn)行表達(dá)，只有這樣的方法才能提升學(xué)生的邏輯思維能力，具備這種思維也便于學(xué)生具備科學(xué)的數(shù)學(xué)思維，然后將此應(yīng)用到更加廣泛的數(shù)學(xué)解題過程中，這也是對數(shù)學(xué)能力的一種提升，也便于學(xué)生更好地解題。

“一題多變”指的是在數(shù)學(xué)解題練習(xí)過程中，將原來數(shù)學(xué)題目中的已知條件進(jìn)行變換，或者已知條件不變，將問題進(jìn)行改變?；蛘咭部赡苁且阎獥l件不變，讓學(xué)生自行添加條件解決問題，這也是解決高中立體幾何問題的常用方式。采用多變的方式進(jìn)行教學(xué)，主要是對數(shù)學(xué)題目或者數(shù)學(xué)例題進(jìn)行多種方式的改變。讓學(xué)生從不同方面、不同情形下進(jìn)行考慮。這也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)反思的一種方式，它要求學(xué)生從出題者的角度去考慮這個(gè)數(shù)學(xué)問題。這種“一題多變”的解題方式能夠很好的培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、歸納類比等多種數(shù)學(xué)思維力，還可以讓學(xué)生能夠?qū)τ行﹩栴}進(jìn)行更加深入的思考，讓他們能夠針對那些難題形成更好的解題思維，以便能夠更好地應(yīng)用到實(shí)際解題過程中。

2.“一題多變與一題多解”在培養(yǎng)學(xué)生開放式思維能力

一題多解，解法優(yōu)化;一題多變，變中求同;多題一法，同模同法。這是數(shù)學(xué)解題與習(xí)題教學(xué)中非常重要的教學(xué)方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，對各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)模塊進(jìn)行這三個(gè)維度的探究教學(xué)，非常有益于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)課堂中，教師可以適當(dāng)?shù)赝ㄟ^對同一問題的不同表述方法，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的能力。本文主要側(cè)重于思考與研究常見的幾何特征模型的一些變式問題的結(jié)論，并介紹對問題變式的改編方法的思考。數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)解題，學(xué)生在提高數(shù)學(xué)成績過程中常常使用“題海戰(zhàn)術(shù)”，這種方法其實(shí)是非常不科學(xué)的。真正提高數(shù)學(xué)成績的方法應(yīng)該是做到“少而精”，少做題，找到題目的精髓。學(xué)生在解決一個(gè)問題時(shí)要做到舉一反三，教師要培養(yǎng)學(xué)生采用開放式的思維模式進(jìn)行做題。

例如，高中數(shù)學(xué)教師在講解三角函數(shù)時(shí)，可以給學(xué)生滲透一題多解的方式：若函數(shù)f（x）=x-1/3sin2x+asinx在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）。A、【-1，1】B、【-1，1 /3】C、【-1 /3，1 /3】D、【-1，1 /3】。

解法一：f（x）=x-1/3sin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=1-2 /3cos2x+acosx，由題意可知f'（x）≥0，1-2/3cos2x+acosx≥0，然后設(shè)t=cosx，就可以解出該題。

解法二：可以應(yīng)用結(jié)論“奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。”由題意可知，函數(shù)f（x）=x-1 /3sin2x+asinx的定義域?yàn)椋?∞，+∞），且-f（x）=f（-x），所以f（x）就是奇函數(shù)，而導(dǎo)函數(shù)就是偶函數(shù)。非常容易的可以得到答案就是C。

3.“一題多變與一題多解”在提高分析問題能力

對于難度比較大的數(shù)學(xué)題，教師同樣可以引導(dǎo)學(xué)生采用“一題多解與一題多變”的方式進(jìn)行解決。而運(yùn)用一題多變的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解題時(shí)，要找到題干中的相同點(diǎn)，或者要找到已知條件的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去解決問題，提升學(xué)生的分析問題能力，為學(xué)生提升數(shù)學(xué)成績奠定良好的基礎(chǔ)。

例如，高中數(shù)學(xué)教師講解單調(diào)性的例題時(shí)，教師可以采用一題多變的方式進(jìn)行講解：已知f（x）對于任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0。（1）求證：f（x）=-f（x）。（2）判斷f（x）的單調(diào)性。證明：令x=y=0，可以得到f（0）=f（0）+f（0）=0，令x=-y，得到f（0）=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f（-x）講解完這個(gè)題目之后教師可以給學(xué)生布置一個(gè)變式：已知函數(shù)是定義R上的增函數(shù)，且滿足f（x /y）=f（x）×f（y），求f（1）的值，教師引導(dǎo)學(xué)生用“一題多變”的方式做題。

4.“一題多變與一題多解”在提升學(xué)生的反應(yīng)力

橫看成嶺側(cè)成峰，當(dāng)心掉進(jìn)隱蔽的陷阱。從不同角度、按不同思路、用不同方法 給出同一道習(xí)題的解答。筆者在教學(xué)過程中實(shí)施 “一題多解”調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下讓學(xué)生對同一個(gè)題目盡量做到“一題多解 ”，努力將自己思維變靈活，經(jīng)過多次反復(fù)練習(xí)后，做到根據(jù)題目中列出的已知條件，快速而靈活地選擇解題切人點(diǎn)，節(jié)省做題時(shí)間，這也是數(shù)學(xué)思考問題中比較常見的方法，需要教師好好去把握，一旦出現(xiàn)一些比較難的問題時(shí)，需要及時(shí)地給予學(xué)生解答，讓他們對于數(shù)學(xué)能夠產(chǎn)生更多的興趣。

例題：“如果關(guān)于x 的方程sin2 x+cosx+α= 0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)α的取值范圍”。

初見題目感覺題目短小 ，但是卻隱藏著一個(gè)令不少學(xué)生忽視的陷阱。不少學(xué)生提筆就算方程中不就是在求嗎，用到了學(xué)過的知識(shí) ，即三角函數(shù)sinx，COSX.學(xué)過這兩者之間的關(guān)系的，即sin2 x = 1一 COS2x，題目中的方程變形就可以了：COS2x 一 cosx一1一α= 0①

題目中要求有實(shí)根 ，其實(shí)就是在找cosx對應(yīng)的實(shí)數(shù)，則另m =cosx，這樣方程① 就化成了m2 -m-1一α=O②

不少學(xué)生很自信的認(rèn)為方程 ② 就應(yīng)該有實(shí)數(shù)根，他們下定論的理由就是判別式△= 4a+5≥從而就得出了實(shí)數(shù)α的取值范圍：α≥一（5/4）.一些學(xué)生認(rèn)為解題完成 ，但是他們還不知道自己已經(jīng)掉入命題人所設(shè)置的陷阱之中。

找陷阱：當(dāng) α≥一（5/4）時(shí)，一定有△≥0，m2一m一1一α=0一定有實(shí)數(shù)根，這個(gè)陷阱就出現(xiàn)了：

cosx =m有實(shí)根，是不是m2一m一1一α=0就一定有實(shí)數(shù)根.掉進(jìn)陷阱的同學(xué)沒有注意到 ：余弦函數(shù)的值域是 COSX?[-1，1]，故m2一m一1一α=0有實(shí)根，我們根本不能保證 cosx=m一定在[一1，1]內(nèi)，關(guān)鍵點(diǎn)在此，所以不小心的學(xué)生肯定掉入深深的陷阱里了。

挖陷阱：引導(dǎo)學(xué)生一題多變的形式轉(zhuǎn)化：將方程變成m2一m一1一α=0有位于[一l，1]中的實(shí)數(shù)根時(shí)，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.這樣由方程 m2一m一1一α=0得：α∈[一（5/4），1]U[一（5/4），一1]=[一（5/4），1]時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根.通過一題多變的方法解題避開陷阱，用到了“一元二次方程求根公式”，用到了“解兩個(gè)無理不等式組成的不等式組”，用到了“集合的交集和并集 ”。

5.結(jié)語

總而言之，高中數(shù)學(xué)教師要注重對于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，教師可以給學(xué)生講解“一題多變與一題多解”的數(shù)學(xué)價(jià)值，同時(shí)數(shù)學(xué)教師在講解例題時(shí)要多給學(xué)生滲透“一題多變與一題多解”的解題方式，培養(yǎng)學(xué)生開放式的數(shù)學(xué)思維能力，提高他們對于問題的反映力，思考能力，提高分析問題能力，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之路奠定一個(gè)良好的基礎(chǔ)。為提升總體數(shù)學(xué)成績奠定良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]王靜.一題多解與一題多變在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].神州，2017：136-136

[2]徐承嬌.一題多解對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017：45