楊文君
(無(wú)錫市育紅小學(xué),江蘇無(wú)錫,214000)
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出,數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。簡(jiǎn)單說(shuō)就是研究“數(shù)”與“形”的科學(xué)。數(shù)是形的抽象概括,形是數(shù)的直觀體現(xiàn),在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想就是通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材在很多內(nèi)容中都滲透了數(shù)形結(jié)合的思想,其主要教學(xué)實(shí)踐形態(tài)是滲透。教師要以內(nèi)容為載體有意識(shí)地滲透,讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)、感悟和領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展其數(shù)學(xué)思維能力。
波利亞指出:“圖形不僅是幾何題目的對(duì)象,而且對(duì)任何一開(kāi)始跟幾何沒(méi)什么關(guān)系的題目,圖形也是一個(gè)重要的幫手。”將“數(shù)”的問(wèn)題用“形”來(lái)直觀描述,能使某些抽象難懂的問(wèn)題生動(dòng)化、形象化,易于學(xué)生理解和掌握。
概念是知識(shí)的核心,它不僅是知識(shí)的基礎(chǔ),也是抽象思維的基礎(chǔ)和基本形式,學(xué)生只有充分理解才能熟練運(yùn)用。有些概念具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性,小學(xué)生在認(rèn)知與理解時(shí)會(huì)比較困難。如蘇教版五年級(jí)“小數(shù)的近似數(shù)”一課,當(dāng)學(xué)生根據(jù)四舍五入法得到1.496億千米≈1.5億千米,1.496億千米≈1.50千米后,教材指出“1.50比1.5更精確”。在此,教師可以啟發(fā)學(xué)生先在數(shù)軸上找出這兩個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(見(jiàn)圖1),然后進(jìn)一步找到四舍五入后是1.5和1.50的數(shù)分別在什么范圍。學(xué)生從數(shù)軸上直觀地看出近似數(shù)1.5的取值范圍遠(yuǎn)大于近似數(shù)1.50,從而理解了“1.50比1.5更精確”的真正含義。
數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合最基本的載體,是數(shù)形結(jié)合最基礎(chǔ)的滲透,這里將抽象的“數(shù)”放在具體的 “形”上,讓數(shù)和點(diǎn)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)查找有形的區(qū)域,讓抽象的概念變得具體可視。
圖1 在數(shù)軸上找對(duì)應(yīng)點(diǎn)
圖2 面積圖
數(shù)學(xué)算式是抽象化、符號(hào)化的語(yǔ)言,計(jì)算教學(xué)不僅要講清楚“怎么算”,也要重視在理解算理的基礎(chǔ)上提高計(jì)算技能、培養(yǎng)數(shù)感。面積圖可以把算式形象化,使學(xué)生記憶深刻,理解算理。
解決問(wèn)題教學(xué)是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要渠道,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。當(dāng)遇到關(guān)系較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題時(shí),畫(huà)出示意圖能化繁為簡(jiǎn),有助于學(xué)生找到解決問(wèn)題的思路和方法。例如,六年級(jí)“分?jǐn)?shù)與除法”中有這樣一道習(xí)題:小林從家去圖書(shū)館,走了20分鐘后離中點(diǎn)還有400米,這時(shí)已走路程和剩下路程的比是2∶3。小林家離圖書(shū)館多少米??jī)H看文字很多學(xué)生認(rèn)為解答有困難,但引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意畫(huà)出線段圖(見(jiàn)圖3)后,學(xué)生借助線段圖能清楚看出400米對(duì)應(yīng)的分率,可以巧妙地解決問(wèn)題。
圖3 線段圖
線段圖是理解抽象數(shù)量關(guān)系形象化、視覺(jué)化的工具,能幫助學(xué)生有效獲得數(shù)學(xué)信息并加以整合,提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,感悟數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。
借助數(shù)的精確性、程序性和可操作性來(lái)闡明形的某些屬性,可稱之為“以數(shù)解形”。在小學(xué)階段主要體現(xiàn)在圖形與幾何領(lǐng)域。教師在教學(xué)中有效的數(shù)形結(jié)合設(shè)計(jì),能讓學(xué)生感受到數(shù)據(jù)對(duì)圖形細(xì)致入微的刻畫(huà)。
對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)與理解離不開(kāi)數(shù)和算式,有時(shí)僅憑直觀觀察看不出特征或規(guī)律,需要借助測(cè)量和運(yùn)算才能得到具體的結(jié)果,進(jìn)而作判斷。教師在認(rèn)識(shí)圖形特征的教學(xué)中要重視讓數(shù)說(shuō)話,用數(shù)據(jù)精確表述圖形的性質(zhì)、特征。比如三年級(jí)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形”一課,可以通過(guò)觀察不同的長(zhǎng)方形,圍繞“有什么共同特征”這一問(wèn)題步步追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注邊和角,數(shù)一數(shù)邊和角的數(shù)量,折一折、用尺量一量邊的長(zhǎng)度,通過(guò)具體的數(shù)據(jù)明確對(duì)邊相等,用三角尺的直角比一比知道有4個(gè)直角,測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,能用“長(zhǎng)6厘米、寬4厘米”描述某個(gè)長(zhǎng)方形。
用數(shù)可以精確刻畫(huà)圖形的度量特征,讓學(xué)生體會(huì)研究圖形的特征離不開(kāi)數(shù)的表達(dá)。
圖形的周長(zhǎng)與面積是幾何中最基本的度量概念,它們都是數(shù)。周長(zhǎng)和面積的教學(xué)核心是如何測(cè)量。如在教學(xué)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算時(shí),教師可以先在長(zhǎng)方形里鋪滿單位面積的小正方形,用數(shù)格子的方法測(cè)量出長(zhǎng)方形的面積,進(jìn)而關(guān)注格子數(shù)與邊的長(zhǎng)度之間的關(guān)系(見(jiàn)圖4),幫助學(xué)生溝通“用面積單位度量面積”與“度量長(zhǎng)度計(jì)算面積”之間的聯(lián)系,理解長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式,體會(huì)到利用測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算面積的優(yōu)越性。
通過(guò)測(cè)量計(jì)算,用算術(shù)的方法解決周長(zhǎng)、面積等幾何問(wèn)題,學(xué)生能體會(huì)用數(shù)表述的精確和便捷,感受“以數(shù)解形”,感悟數(shù)形結(jié)合思想。
數(shù)形結(jié)合是“數(shù)”和“形”本質(zhì)的相互呼應(yīng),數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)化常常是雙向的,其重點(diǎn)是代數(shù)和幾何之間的聯(lián)系。
在四年級(jí)“用數(shù)對(duì)確定位置”一課的教學(xué)中,教師先要將同學(xué)們熟悉的座位平面圖抽象為比較形象的直角坐標(biāo)系,把物體抽象成點(diǎn),平面上的每個(gè)點(diǎn)就能有唯一的數(shù)對(duì)來(lái)表示,建立數(shù)對(duì)和點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。接著,教師可根據(jù)數(shù)對(duì)來(lái)找平面中的點(diǎn),體會(huì)用一對(duì)有序的數(shù)可以唯一地確定平面上的一個(gè)點(diǎn)。這是一個(gè) “由形到數(shù)”,再“由數(shù)到形”的過(guò)程。練習(xí)中,教師可安排找出如(x,4),(6,y)所表示的點(diǎn),使學(xué)生感悟到根據(jù)數(shù)對(duì)的不同特征,在幾何中表現(xiàn)為不同的線。用數(shù)對(duì)表示平移后頂點(diǎn)的位置時(shí),學(xué)生還能自發(fā)進(jìn)行有序數(shù)對(duì)的運(yùn)算。
數(shù)形結(jié)合可以讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)用數(shù)可以表示幾何對(duì)象,數(shù)對(duì)的變化體現(xiàn)了圖形的位置、變化等特征,為將來(lái)要學(xué)習(xí)的直角坐標(biāo)系奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
可以把具有正反比例關(guān)系的兩個(gè)量在直角坐標(biāo)系中表示出來(lái),實(shí)際上就是正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像。六年級(jí)學(xué)習(xí)的“正比例圖像”是正比例函數(shù)圖像在第一象限的部分。在學(xué)生充分理解正比例的意義的基礎(chǔ)上,教師可引導(dǎo)學(xué)生用“描點(diǎn)法”畫(huà)出正比例圖像,初步認(rèn)識(shí)正比例圖像的特點(diǎn),借助形象的圖像,讓學(xué)生直觀感知兩個(gè)量之間相互依存的關(guān)系。判斷兩個(gè)量是否成正比例關(guān)系,可以根據(jù)圖像是一條過(guò)原點(diǎn)的直線這一 “形”的特征,也可以根據(jù)點(diǎn)所表示的實(shí)際意義計(jì)算比值,用“數(shù)”的表征來(lái)判斷。(見(jiàn)圖5)
圖5 根據(jù)點(diǎn)所表示的意義計(jì)算比值
學(xué)生借助正比例圖像解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,能感受正比例圖像的應(yīng)用價(jià)值。教師可引導(dǎo)學(xué)生算一算,感受在一定條件下,數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化,相互滲透,初步感知函數(shù)與圖像的聯(lián)系。
數(shù)形結(jié)合思想的滲透和領(lǐng)悟是一個(gè)不斷豐富、反思、提升的過(guò)程,教師要善于捕捉形形色色的數(shù)與形,在教學(xué)中有意識(shí)滲透、適時(shí)提煉、明確指出,讓學(xué)生感知數(shù)形各有各的價(jià)值,彼此有著十分密切的聯(lián)系,并能在潛移默化中有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合,將它逐步內(nèi)化為自己的思想方法。