二面角中角的關(guān)系初探及應(yīng)用

廣州市第六中學(xué)(510300) 劉旭升

二面角中蘊(yùn)含了很多的角,有二面角的平面角,直線與直線所成的角,直線與平面所成的角,那么這些角之間都有些什么關(guān)系呢? 下面我們一起來探究一下.

1.二面角與線線角的關(guān)系

如圖1,給出大小為θ的二面角A ?l ?B.

圖1

圖2

如圖2,在二面角的棱l上取點(diǎn)O,C,兩個(gè)半平面內(nèi)分別取射線OA,OB,設(shè)∠AOC=α,∠BOC=β,∠AOB=γ.則有

結(jié)論1(三面角的余弦公式)

特別地,當(dāng)θ=90°,即兩平面互相垂直時(shí),cosγ=cosαcosβ.

限于篇幅,下面僅證明α,β均為銳角時(shí),結(jié)論成立.

我們不妨設(shè)AC⊥CO,BC⊥CO,OC=1,則∠ACB=θ.易知AC=tanα,BC=tanβ,AO=secα,BO=secβ.ΔABC中,由余弦定理得

ΔAOB中,由余弦定理得

由sec2α=1 + tan2α,sec2β=1 + tan2β化 簡 得secα·secβ·cosγ=1+tanα·tanβ·cosθ,同乘以cosα·cosβ得cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ.

注結(jié)論1 也稱為三面角的余弦公式(見[1]).此外由異面直線所成的角的定義可知,當(dāng)OA、OB改為兩個(gè)半平面內(nèi)任意一條直線時(shí),該結(jié)論仍然成立.

2.二面角與線面角的關(guān)系

如圖3,OA為二面角β ?l ?γ中面γ的一條射線.

圖3

圖4

結(jié)論2二面角β ?l ?γ的大小為θ,OA與面β所成角為φ,與棱l所成的角為α,則有sinφ=sinαsinθ.

證明: 如圖4,過A點(diǎn)作AC⊥l于點(diǎn)C,作AB⊥β于點(diǎn)B,連BC,則由三垂線定理知∠ACB=θ,又∠AOB=φ.則sinφ==sinαsinθ.證畢!

結(jié)論3二面角β ?l ?γ的大小為θ,直線AB與棱l所成的角為α,與面β所成的角為φ1,與面γ所成的角為φ2,則有sin2θsin2α=sin2φ1+sin2φ2?2 sinφ1sinφ2cosθ.

圖5

圖6

證明如圖6,作BG//l,取OA⊥l,OG⊥l交BG于點(diǎn)G,作AE⊥直線OG,作GF⊥直線OA垂足為F,BD⊥面γ且D∈ γ,則∠AOG=θ,∠ABG=α,∠ABE=φ1,∠BAD=φ2.取AB=1,則有AE=sinφ1,OA=AEcscθ=sinφ1cscθ;FG=BD=sinφ2,OG=FGcscθ=sinφ2cscθ.又AG=sinα,故ΔAOG中,由余弦定理得AG2=OA2+OG2?2OAOGcosθ,即有

整理得sin2θsin2α=sin2φ1+sin2φ2?2 sinφ1sinφ2cosθ.證畢!

注當(dāng)φ2=0 時(shí),結(jié)論3 即為結(jié)論2.

3.角間關(guān)系的應(yīng)用

結(jié)論1 有廣泛的應(yīng)用,尤其在折疊問題中涉及角的問題,運(yùn)用起來更是得心應(yīng)手,很多問題均可輕松解決.下面我們看幾道具體的問題.

例1(2015年高考浙江卷理科第8 題)如圖7,已知ΔABC,D是AB的中點(diǎn),沿直線CD將ΔACD折成ΔA′CD,所成二面角A′?CD ?B的平面角為α,則( )

圖7

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

解由結(jié)論1得到:cos ∠A′DB=cos ∠A′DCcos ∠BDC+ sin ∠A′DCsin ∠BDCcosα,由∠BDC=π ?∠A′DC知cos ∠A′DB=?cos2∠A′DC+sin2∠A′DCcosα,因?yàn)?/p>

因此cos ∠A′DB≤cosα,故∠A′DB≥α,選B.選項(xiàng)C、D也可用此公式排除.

例2(2018年浙江高三月考)已知ΔABC,D是邊BC(不包括端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),將ΔABD沿直線AD折起到ΔAB′D,使B′在平面ADC內(nèi)的射影恰好在直線AD上,則( ).

A.當(dāng)BD=CD時(shí),B′,C兩點(diǎn)的距離最大

B.當(dāng)BD=CD時(shí),B′,C兩點(diǎn)的距離最小

C.當(dāng)∠BAD=∠CAD時(shí),B′,C兩點(diǎn)的距離最小

D.當(dāng)BD⊥AD時(shí),B′,C兩點(diǎn)的距離最大

圖8

解由于B′C ＜B′D+DC=BC,故B′,C兩點(diǎn)的距離沒有最大值.又依題可知二面角B′ ?AD ?C為直二面角,故由結(jié)論1 得cos ∠B′AC=cos ∠B′ADcos ∠DAC.ΔB′AC中,由余弦定理可得

因此當(dāng)cos(∠B′AD ?∠DAC)取最大值1 即∠B′AD=∠DAC即∠BAD=∠CAD時(shí),B′C有最小值.故選C.

例3(2019年湖南高三開學(xué)考試(理))已知ΔABC是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板(RtΔACD與RtΔBCD)組成的三角形,如圖9(左圖)所示.其中,∠CAD=45°,∠BCD=60°.現(xiàn)將RtΔACD沿斜邊AC進(jìn)行翻折成ΔD1AC(D1不在平面ABC上).若M,N分別為BC和BD1的中點(diǎn),則在ΔACD翻折過程中,下列命題不正確的是( )

圖9

A.在線段BD上存在一定點(diǎn)E,使得EN的長度是定值

B.點(diǎn)N在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)

C.存在某個(gè)位置,使得直線AD1與DM所成角為60°

D.對于任意位置,二面角D1?AC ?B始終大于二面角D1?BC ?A

解對于選項(xiàng)C,設(shè)直線AD1與DM所成的角為θ,二面角D1?AC ?B的大小為α,由條件可知AD1與AC所成的角為45°,DM與AC所成的角為15°.由結(jié)論1 知cosθ=cos 45°cos 15°+ sin 45°sin 15°cosα,因?yàn)?° ＜α ＜180°,因此?1＜cosα ＜1,因此cos 45°cos 15°+sin 45°sin 15° ＞cosθ ＞cos 45°cos 15° ?sin 45°sin 15°,即cos 30° ＞cosθ ＞cos 60°,因此30° ＜θ ＜60°.故選C 選項(xiàng).

從以上幾個(gè)例子我們可以看出結(jié)論1 在解決折疊圖形中有關(guān)角問題的便捷性,該結(jié)論同樣可以用在解決三棱錐中的某些角的問題.而結(jié)論2 在解決有關(guān)線面角問題也能取得不錯(cuò)的效果.我們看幾道模擬題.

例4(2019年河北高一期末考試)在ΔABC中,AB=2BC,將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)到ΔPBC,設(shè)二面角P ?BC ?A的大小為θ(0＜θ ＜π),PB與平面ABC所成角為α,則α的最大值為( )

解由結(jié)論2 知sinα=sin ∠PBCsinθ=≤故角α的最大值為

圖10

圖11

例5(2020年浙江高三二模試題)在四面體S ?ABC中,點(diǎn)P在線段SA上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn)).設(shè)PA與平面PBC所成角為θ1,PB與平面SAC所成角為θ2,PC與平面ABC所成角為θ3,則( )

A.θ2＜θ1＜θ3B.θ2＜θ3＜θ1

C.θ3＜θ1＜θ2D.θ3＜θ2＜θ1

解取S ?ABC為正四面體,則每兩個(gè)面所成的角均相同,設(shè)為α.記二面角A ?PB ?C的大小為β,由圖11 可知β ＞α.由結(jié)論2 知sinθ1=sin ∠APBsinβ,sinθ2=sin ∠APBsinα,sinθ3=sin ∠ACPsinα,易證∠APB=∠APC ＞60° ＞∠ACP,故sinθ1＞sinθ2＞sinθ3,從而θ3＜θ2＜θ1,選D.