抓住“等效力”巧解靜電場中的曲線運(yùn)動

◇ 張大洪

帶電粒子在靜電場與重力場共同作用下的運(yùn)動，是一類綜合性強(qiáng)、知識面廣、難度較大的問題；為了準(zhǔn)確、快捷地處理該類問題，本文從“等效力”角度，利用“類比”的方法來簡化帶電粒子在靜電場與重力場作用下的曲線運(yùn)動問題.

圖1

在圖1所示的場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中，用長L的細(xì)絲線一端系質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的小球，另一端固定于場中O點(diǎn)；小球運(yùn)動中受到重力mg、電場力qE及線上的拉力作用.將此模型與只在重力場中豎直平面上的圓周運(yùn)動相類比有：

1)平衡位置P：小球能在場中保持靜止時的位置P(如圖1中的點(diǎn)P)即為小球的平衡位置，平衡位置P處滿足

2)等效重力G′：小球在電場與重力場中受到的電場力qE與重力mg的合力即為小球具有的等效重力.由 圖1知，故相應(yīng)的等效重力加速度

4)小球繞點(diǎn)O運(yùn)動過程中經(jīng)過平衡位置P時，速度、動量、動能、加速度、線上的拉力均具有最大值.

5)小球能夠繞點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動的條件：小球必能經(jīng)過平衡位置P相對于圓心O的對稱點(diǎn)P′，即小球在點(diǎn)P′處線上的拉力滿足FTP′≥0.

6)小球運(yùn)動經(jīng)過P′點(diǎn)時速度、加速度、線上拉力均處于最小值.

7)小球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動，任一運(yùn)動過程均滿足動能定理ΔEk＝W等效重力，且等效重力做功與小球運(yùn)動的路徑無關(guān).

8)注意：當(dāng)小球的初始位置和懸點(diǎn)的連線與“等效力”方向所成的夾角θ大于90°時，釋放小球后，小球?qū)⑾茸鲆欢沃本€運(yùn)動至線產(chǎn)生張力后再做圓周運(yùn)動.

例1如圖2所示，水平光滑絕緣軌道AB與半徑為R的光滑絕緣軌道BCD平滑連接，場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場方向水平向左；一個質(zhì)量為m的帶負(fù)電滑塊所受電場力等于重力，在A點(diǎn)由靜止釋放，它能沿軌道運(yùn)動到與圓心O等高的D點(diǎn).問AB至少多長?

圖2

分析滑塊在AB段受水平向右的電場力作用而做勻加速直線運(yùn)動，然后進(jìn)入BCD段在電場力、重力及軌道約束力的作用下做圓周運(yùn)動.故滑塊在BCD段中的平衡位置P的受力及偏角α如圖3所示.由于電場力與重力相等，故偏角α＝45°，等效重力.要使滑塊能沿軌道運(yùn)動到D點(diǎn)，只需滑塊能經(jīng)過P點(diǎn)相對圓心O的對稱點(diǎn)P′點(diǎn)即可，故對滑塊經(jīng)過點(diǎn)P′受力分析如圖3所示，根據(jù)圓周運(yùn)動規(guī)律得，且FTP′≥0，解得滑塊在點(diǎn)P′的速度需滿足

再對滑塊從A經(jīng)B到P′全過程應(yīng)用動能定理有其中WAB＝qEsAB，WBP′＝mgR，故有，解得

例2如圖4所示，一條長為L的絕緣細(xì)線上端固定，下端系一質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于電場強(qiáng)度為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場中，當(dāng)小球平衡時懸線與豎直方向成α＝30°角.則：

(1)小球帶何種電荷?電荷量是多少?

(2)若將小球向右拉到懸線成水平的位置A，然后無初速度釋放，問小球運(yùn)動到何處時的速度最大?最大速度多少?線上最大張力多大?

(3)小球在位置A時至少要給它多大的垂直于細(xì)線向上的沖量才能使它能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動?

圖4

(4)若將小球向左拉到使懸線成水平的位置B，然后無初速度釋放，問小球經(jīng)過多長時間懸線才能對它產(chǎn)生力的作用?

分析(1)如圖5所示，點(diǎn)P為平衡位置，則qE＝mgtanα，故，且?guī)д?

(2)小球從點(diǎn)A由靜止釋放后必將以平衡位置P為中心做往復(fù)運(yùn)動，故經(jīng)過P點(diǎn)時速度、線上張力取得最大值.其等效重力，小球從A到P過程中有G′·(L－Lsinα)，故最大速度；此時P點(diǎn)小球受力如圖5所示，由圓周運(yùn)動規(guī)律可得，故最大張力

圖5

(3)要使小球能從點(diǎn)A逆時針繞O點(diǎn)完成圓周運(yùn)動，則小球必能經(jīng)過平衡位置P相對于圓心O的對稱點(diǎn)P′點(diǎn)，則有，且FTP′≥0，故

(4)將小球從B點(diǎn)釋放后，小球在等效重力的作用下必沿與等效重力方向平行的BC線做勻加速直線運(yùn)動，加速度；當(dāng)小球到達(dá)點(diǎn)C時線恰被拉直而對球產(chǎn)生作用力，由圖5可知BC＝L，故小球從B到C有

例3在例2中當(dāng)小球恰能逆時針完成圓周運(yùn)動而經(jīng)過點(diǎn)P時，懸線突然被燒斷，則此后小球經(jīng)過多少時間距過P點(diǎn)的水平直線距離最大?小球與該水平線的交點(diǎn)距P多遠(yuǎn)?

分析由例2中“(3)”知小球恰能繞點(diǎn)P完成圓周運(yùn)動時其經(jīng)過點(diǎn)P′的速度；小球從P′點(diǎn)到P點(diǎn)的過程中有，得

小球經(jīng)過點(diǎn)P時線斷了，此時小球的速度必沿x軸，而受到的等效重力沿y軸，故小球必做類平拋運(yùn)動，如圖6所示，且當(dāng)小球運(yùn)動中的速度方向與直線PH平行時小球必距直線PH最遠(yuǎn)，對點(diǎn)K的速度進(jìn)行分解有vKy＝vPtanα，由運(yùn)動學(xué)規(guī)律有

圖6

設(shè)小球從P點(diǎn)運(yùn)動到H點(diǎn)的時間為t′，則有