解答高考不等式客觀題的特殊方法

◇ 唐 俊

不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)模塊，也是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，且多以客觀題的形式出現(xiàn)，常結(jié)合函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)，考查視角主要涉及解不等式、比較代數(shù)式的大小等.下面結(jié)合近年高考題或模考題，針對(duì)不等式問題的解答，提出幾種特殊方法.

1 觀察法

解不等式問題通常結(jié)合與其對(duì)應(yīng)的方程，求解方程的根，而有些方程是含有指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的超越方程，其根無法利用常規(guī)方式求解，故可采用觀察法，得出所求不等式的解集.

例1(2020年北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2xx－1，則不等式f(x)＞0的解集是( ).

A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

令f(x)＝0，即2x－x－1＝0，此方程為超越方程，無法直接求解，利用觀察法可得其根為0，1，結(jié)合函數(shù)y＝2x與y＝x＋1的圖象特征，可知該方程沒有其他根，所以不等式f(x)＞0的解集為x＜0或x＞1，故選D.

應(yīng)用觀察法求方程的根時(shí)，要結(jié)合函數(shù)特征，若方程中含有指數(shù)函數(shù)，可利用0，1等特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證；若方程中含有對(duì)數(shù)函數(shù)，可用1或與對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)有關(guān)的數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證.在利用觀察法得出方程的根后，判斷是否含有其他根時(shí)，要結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的存在定理或唯一性定理.

2 數(shù)形結(jié)合法

在解答與函數(shù)有關(guān)的不等式問題時(shí)，若函數(shù)的圖象能夠準(zhǔn)確描繪出，或能快速找出相應(yīng)函數(shù)之間的位置關(guān)系，則可利用數(shù)形結(jié)合法求解.

例2已知函數(shù)若f(x)＞f(x＋1)，則x的取值范圍是_________.

函數(shù)f(x)是由冪函數(shù)及一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)，其分段點(diǎn)為1.f(x＋1)的圖象可由f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)(虛線)和f(x＋1)(實(shí)線)的圖象，如圖1所示.結(jié)合圖象可知，f(x)＞f(x＋1)的解集為(0，1].

圖1

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解不等式，關(guān)鍵在于找到不同函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系.如本題中將向左平移一個(gè)單位，f(x)與f(x＋1)的位置關(guān)系是在區(qū)間(0，1)，f(x)在f(x＋1)的上方；在區(qū)間(1，＋∞)，f(x)在f(x＋1)的下方.這一關(guān)系的準(zhǔn)確利用是求解此不等式的關(guān)鍵.類似地，y＝x－1與y＝lnx，y＝x＋1與y＝ex，以及y＝x與y＝sinx等關(guān)系，在相關(guān)不等式問題的求解中均有重要的應(yīng)用.

3 單調(diào)性法

單調(diào)性法是處理不等式問題的重要方法，即利用題目所給關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小關(guān)系的判斷.

例3(2020年全國卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b則( ).

A.a＞2bB.a＜2b

C.a＞b2D.a＜b2

由2a＋log2a＝4b＋2log4b變形，可得

設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋log2x(x＞0)，易判斷f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以a＜2b.故選B.

應(yīng)用此方法解題的關(guān)鍵是將所給關(guān)系式左右兩端構(gòu)造成同構(gòu)式，從而引入相應(yīng)函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性.本題中所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性可利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性，可利用導(dǎo)數(shù)判斷.

4 賦值法

賦值法，即通過代入特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，排除錯(cuò)誤選項(xiàng).此方法是處理不等式性質(zhì)問題的簡(jiǎn)捷方法.

本題可以直接利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行一一驗(yàn)證，但利用賦值法更顯“小題小做”的優(yōu)勢(shì).在應(yīng)用此方法解題中，要注意所選特殊值不能“以偏概全”，例如，已知a＞b，判斷的大小關(guān)系，若a，b均取正數(shù)或均取負(fù)數(shù)，可得，但a＞0，b＜0時(shí)，則有

5 借值法

借值法是指借助中間值求解問題，在解答比較大小的不等式問題時(shí)，可通過選取中間值搭建橋梁，將待比較的數(shù)與中間值進(jìn)行比較，從而判斷出大小關(guān)系.

例5已知x＝lnπ，y＝log52，z＝則( ).

A.x＜y＜zB.z＜x＜y

C.z＜y＜xD.y＜z＜x

對(duì)于不易直接應(yīng)用作差或作商比較大小的問題，可通過尋找中間值，如0，，1等.本題易得出0＜y＜1，0＜z＜1，故可考慮借助值進(jìn)行比較，比較過程中要準(zhǔn)確應(yīng)用常數(shù)與對(duì)數(shù)式、常數(shù)與指數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

6 放縮變換法

即利用所給的條件，或基本不等式的性質(zhì)將待比較的代數(shù)式進(jìn)行放大或縮小后，再比較大小.

例6(2020年全國卷Ⅲ)已知55＜84，134＜85，設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則( ).

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

本題在求解過程中利用了均值不等式及不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮.此方法的應(yīng)用要注意放縮工具的選擇，放縮要適度.另外在比較a，b的大小關(guān)系時(shí)，也可利用作差法，即

總之，與不等式有關(guān)的問題雖然?？汲Ｐ?，但萬變不離其宗，只要我們把握相應(yīng)的解題技能，即可以靜制動(dòng).

鏈接練習(xí)

1.已知a＞b，則下列不等關(guān)系正確的是( ).

A.ln(a－b)＞0 B.3a＜3b

C.a3－b3＞0 D.|a|＞|b|

2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，且對(duì)于?x∈(－∞，＋∞)，有f(－x)＋f(x)＝0.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若f(x－1)≤f(x)對(duì)?x∈(－∞，＋∞)都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

3.(2020年全國卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則( ).

A.ln(y－x＋1)＞0 B.ln(y－x＋1)＜0

C.ln|x－y|＞0 D.ln|x－y|＜0

4.已知函數(shù)則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為( ).

A.(－1，0]B.[－1，1]

C.(－1，1]D.(－1，2]

鏈接練習(xí)參考答案

1.C.2.B.3.A.4.C.