初中數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想教學(xué)研究與案例分析

王旻

摘要：數(shù)學(xué)作為一門具有較強(qiáng)實(shí)踐性的學(xué)科，初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著決定性作用?！皵?shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛，并且貫穿整個初中數(shù)學(xué)的始終。數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極有效地進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)方式，幫助學(xué)生培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”思維，通過“數(shù)形結(jié)合”的方式解題，以此降低學(xué)生的解題難度，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和積極性，讓學(xué)生能夠憑借自己已有的數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題。本文將通過對初中“數(shù)形結(jié)合”思想進(jìn)行闡述，論述“數(shù)形結(jié)合”在解決實(shí)際問題中的作用優(yōu)勢，并通過案例對“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用進(jìn)行解析。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);“數(shù)形結(jié)合”;優(yōu)勢作用;實(shí)際應(yīng)用

中圖分類號：G633.6?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2020）20-062-2

新課標(biāo)對新時期的初中數(shù)學(xué)進(jìn)行了更加深入的研究，提出了更高的要求。對于初中數(shù)學(xué)，學(xué)生除了要求掌握基礎(chǔ)的理論知識外，還要求形成明確的數(shù)學(xué)思想，具有一定的數(shù)學(xué)思維方式，并且能夠依據(jù)已獲得的數(shù)學(xué)知識來分析和解決生活中的實(shí)際問題。而這些思想以“數(shù)形結(jié)合”為核心。學(xué)生要想完全且有效地掌握并應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想，并非是一朝一夕的課程就能達(dá)到的，這需要數(shù)學(xué)教師在日常的教學(xué)中不斷滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，在知識理論和實(shí)際應(yīng)用中潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生，才能幫助學(xué)生在解題中應(yīng)用自如。

一、“數(shù)形結(jié)合”思想概論

“數(shù)形結(jié)合”作為一種直觀數(shù)學(xué)模型，通過“數(shù)形結(jié)合”，能夠在兩種方法及理論之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而幫助學(xué)生更加清晰地理解和應(yīng)用所學(xué)知識。所謂“數(shù)形結(jié)合”，可以理解對于同一數(shù)學(xué)現(xiàn)象，能夠分別從代數(shù)和幾何兩個角度進(jìn)行分析和理解。

二、“數(shù)形結(jié)合”思想在教學(xué)中的優(yōu)勢

在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想，能夠讓晦澀難懂的數(shù)學(xué)概念，更易理解，并且理解得更為透徹;能夠?qū)?fù)雜繁瑣的問題變得更清晰，更簡單;能夠讓抽象的數(shù)學(xué)問題更具體。

1.有助于對新概念的理解和記憶

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是對數(shù)學(xué)知識高度概括后的升華。要正確認(rèn)識一個數(shù)學(xué)概念，就必須要理解這個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。在教學(xué)中可以通過“數(shù)形結(jié)合”方法，化抽象為具象，化文字為圖形，有助于強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的感知和理解，直觀圖像更加一目了然。“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用可將抽象的文字信息轉(zhuǎn)化為具象的幾何圖形、數(shù)軸、函數(shù)圖像等，并通過與原有知識的關(guān)系，建立起新的聯(lián)系，更加深刻地幫助學(xué)生對新數(shù)學(xué)概念的理解記憶。

2.有助于數(shù)學(xué)解題能力的提高

“數(shù)形結(jié)合”是一種重要又便于應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生如果能形成這種思想，就能夠靈活地應(yīng)用于解題中，在空間想象力不足的情況下，可將題干轉(zhuǎn)化為圖形展現(xiàn)出來，解題思路就能更加清晰明了，能夠更有效地獲取有用信息，找到解題的突破口，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)自信。

3.有助于數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

“數(shù)形結(jié)合”思想有助于增強(qiáng)對學(xué)生空間想象力的培養(yǎng)，從而激發(fā)和形成學(xué)生形象思維能力。對同一數(shù)學(xué)問題從多角度進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”的方法教學(xué)，能夠幫助學(xué)生尋找多種解題思路，拓展思維靈活性，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成多向思維的良好習(xí)慣，進(jìn)而提升解題效率。

4.有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)

數(shù)學(xué)不單單抽象、復(fù)雜，而且形式化、符號化，在大多數(shù)學(xué)生心中是枯燥、乏味又難學(xué)，因此不受學(xué)生歡迎。而在日常教學(xué)中，通過“數(shù)形結(jié)合”的方式來解釋數(shù)學(xué)概念，解決數(shù)學(xué)問題，將使概念清晰化、形象化，使數(shù)學(xué)問題簡單化、具體化，讓學(xué)生感到輕松，避免產(chǎn)生畏難情緒和厭學(xué)心理，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看做是一種樂趣，一種挑戰(zhàn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱情與興趣，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)成績和數(shù)學(xué)能力的提升。

三、初中數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想應(yīng)用案例

1.數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用

“概念”是將對事物的感性認(rèn)知升華到理性認(rèn)識，具有較為抽象，難以理解的特點(diǎn)。例如：圓與圓的位置關(guān)系、平面直角坐標(biāo)系等，在教學(xué)中不僅需要學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵，還需要學(xué)生理解隱藏在概念形成過程中的所應(yīng)用的“數(shù)形結(jié)合”思想。如“圓與圓的位置關(guān)系”的概念，單純把字面的理論知識描繪給學(xué)生，學(xué)生無法理清具體的位置關(guān)系，若通過圖形的形式展現(xiàn)給學(xué)生，不但可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)換的能力，還能鍛煉學(xué)生的思維遷移能力，而且有利于學(xué)生形成多角度，多方面思考問題，解決問題的好習(xí)慣。

2.在統(tǒng)計中的應(yīng)用

“數(shù)形結(jié)合”在初中“概率和統(tǒng)計”的學(xué)習(xí)中，是非常典型的應(yīng)用。在統(tǒng)計的教學(xué)過程中，可以把數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，既直觀清晰，又簡單方便。例如要考察一個月內(nèi)，某中學(xué)的財政金額中支出金額的變化，可以通過“數(shù)形結(jié)合”的思想，將支出金額的變化通過一個折線統(tǒng)計圖來表示，這樣支出金額的變化在折線統(tǒng)計圖上就反映得一清二楚，所有的信息一目了然。再例如，在“統(tǒng)計”相關(guān)知識點(diǎn)的教學(xué)中，由于“離散點(diǎn)”是通過坐標(biāo)上的一組數(shù)字來表示的，為了能快速計算出這組離散點(diǎn)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，以及這組數(shù)據(jù)的波動大小而產(chǎn)生出的標(biāo)準(zhǔn)差、方差，教師可以通過這種“數(shù)形結(jié)合”的方式循序漸進(jìn)，讓學(xué)生逐漸清楚地認(rèn)識到知識之間的相互聯(lián)系。對于“概率”而言，需要引導(dǎo)學(xué)生看，依據(jù)題意畫出“數(shù)形圖”，將題干中有用信息通過圖像表現(xiàn)出來，這樣概率的問題往往就能夠迎刃而解了。

3.在不等式中的應(yīng)用

在求解一元一次不等式、不等式組的問題中，可以應(yīng)用數(shù)軸進(jìn)行解題。數(shù)軸是“數(shù)形結(jié)合”的具體表現(xiàn)之一，在面對不等式組問題時，可以在同一數(shù)軸之上，分別表示出兩個不等式的解集，這兩個解集的公共部分便是該不等式的解集。數(shù)軸上表示的是實(shí)數(shù)與該數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，它構(gòu)建起了數(shù)和形之間的聯(lián)系，提供一個實(shí)用的解題工具，讓抽象的數(shù)量關(guān)系，具有了既形象又直觀的幾何意義，因而利用數(shù)軸解不等式組，既簡單又快捷。在進(jìn)行一元二次不等式教學(xué)中，可以通過利用一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，解決一元二次不等式的問題。二次函數(shù)圖像同x軸的交點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)便是一元二次方程的解，而該二次函數(shù)圖像位于x軸上方圖像對應(yīng)的自變量取值范圍，就是該一元二次不等>0的解集;同理，二次函數(shù)圖像位于x軸下方圖像對應(yīng)的自變量取值范圍，就是該一元二次不等<0的解集，在解題過程中學(xué)生通過二次函數(shù)圖像，讓問題變得更加直白簡單，學(xué)生解答起來也更加得心應(yīng)手，省時省力。

4.在代數(shù)問題解答上的應(yīng)用

面對代數(shù)問題的時候，很多學(xué)生都是抓耳撓腮，十分頭疼，因?yàn)榇鷶?shù)問題往往非常得抽象，理解起來非常困難，但是如果學(xué)生能夠掌握“數(shù)形結(jié)合”的方法，通過“數(shù)形結(jié)合”的方式來解題，難度就能大大降低，通過幾何圖形來解決代數(shù)問題，可以起到事半功倍的效果。例如：“在拋物線y=（x+1）（x-3a）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，能夠使△ABC為等腰三角形的拋物線一共有幾條？”這是一道典型的代數(shù)題，當(dāng)學(xué)生面對這樣的問題時，通常難以入手。這時候，采用“數(shù)形結(jié)合”的思想，學(xué)生可以通過圖形將題干中的內(nèi)容變成直觀的圖像，再通過圖像對滿足題意要求的等腰三角形進(jìn)行觀察和分析，最后可以得出結(jié)果。由此可見，“數(shù)形結(jié)合”的思想能夠把復(fù)雜又抽象的問題轉(zhuǎn)化為簡單、清晰的圖形，對學(xué)生理解題意，提取有效信息有很大的幫助，能夠在很大程度上幫助學(xué)生提高解題的效率和保證正確率。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是更好地幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，掌握更有效的數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)思想的形成在一定程度上更加能夠幫助學(xué)生提高自身的學(xué)習(xí)能力，相對于傳統(tǒng)教學(xué)模式，思想方法的傳授更符合當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，更益于開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造能力，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力?！皵?shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，是一種十分重要且行之有效的指導(dǎo)思想，學(xué)生一旦形成了這種思想，就能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中養(yǎng)成更為高效的解題習(xí)慣，能夠更加快捷、更加準(zhǔn)確地解答很多原本復(fù)雜困難的數(shù)學(xué)題。在今后教學(xué)工作中，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)加深對“數(shù)形結(jié)合”思想重要性的新的認(rèn)識及重視，在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷地向?qū)W生滲透、傳遞“數(shù)形結(jié)合”思想，幫助學(xué)生樹立“數(shù)形結(jié)合”思想，并通過不斷地鍛煉加強(qiáng)學(xué)生對“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用，提升教師的教學(xué)能力及學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

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（作者單位：安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué)，安徽 合肥 231600）