由難化易 由繁化簡(jiǎn)

關(guān)峰

【摘?要】高中數(shù)學(xué)的解題過程相對(duì)繁瑣，難度較高，需要學(xué)生掌握一定解題思路和方法，以精準(zhǔn)地把握數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵，將困難轉(zhuǎn)變?yōu)槿菀?，將繁瑣轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單，從而輕松應(yīng)對(duì)各種題型的考驗(yàn)?；瘹w思想就是高中數(shù)學(xué)中一種由難到易、由繁到簡(jiǎn)的重要思想，學(xué)習(xí)和掌握化歸思想，學(xué)會(huì)從陌生到熟悉、方程到函數(shù)、數(shù)理到形狀、抽象到具體等類型的轉(zhuǎn)換，對(duì)高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，能使學(xué)生將未知轉(zhuǎn)換為已知，從而輕松完成解題過程。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);化歸思想;由難化易;由繁化簡(jiǎn);解題過程

高中數(shù)學(xué)的解題過程通常是一個(gè)步步為營(yíng)、連續(xù)不斷的探索過程，是將復(fù)雜困難、陌生抽象、缺少規(guī)范的問題，運(yùn)用解題思維，通過解題步驟，化歸為一個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單易懂、熟悉具象、規(guī)范連續(xù)的問題，并實(shí)現(xiàn)從未知向已知范圍的轉(zhuǎn)化，這便是化歸思想的精髓。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度大，課程容量也大，倘若不能掌握和利用好化歸思想，必將浪費(fèi)掉大量的時(shí)間和精力在解題上，使得學(xué)習(xí)進(jìn)度變得緩慢，學(xué)習(xí)效果變得不佳。因此，筆者在這里重點(diǎn)討論化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的運(yùn)用，以幫助學(xué)生找到解題關(guān)鍵。

從客觀的角度看，分類、類比、聯(lián)想等思維方式，都可以被當(dāng)做是化歸思想的體現(xiàn)形式?！稗D(zhuǎn)化”是化歸思想的核心內(nèi)容，即“把未知轉(zhuǎn)換為已知，將復(fù)雜轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單，將矛盾轉(zhuǎn)換為答案”。化歸思想在基本數(shù)學(xué)知識(shí)中也有所體現(xiàn)，如多元方程轉(zhuǎn)化為一元、高次轉(zhuǎn)化為低次、高維度轉(zhuǎn)化為低維度。簡(jiǎn)單來說，化歸思想的解題模式為：分析問題后提出新的問題，解決新問題來應(yīng)對(duì)原有的問題，這種思維內(nèi)在轉(zhuǎn)換，注重以變通的方式解決數(shù)學(xué)問題。

高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)較難，教師在教學(xué)的過程中，要充分考慮學(xué)生的“個(gè)性特征”，如果教師能夠在這一個(gè)期間，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，消除學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的抵觸心理，那么一切教學(xué)活動(dòng)都能達(dá)到事半功倍的效果?；瘹w思想改變了傳統(tǒng)的解題方式，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用化歸思想進(jìn)行解題，能讓學(xué)生充分體會(huì)到解題帶來的成就感以及快樂，從而促使學(xué)生形成正確的理性思維習(xí)慣，讓學(xué)生從無盡的“題?！敝袙昝摮鰜?。

一、化歸思想的解題應(yīng)用

（一）靜態(tài)化為動(dòng)態(tài)，借助函數(shù)特性解題

高中數(shù)學(xué)化歸思想在解題中，可以將兩個(gè)靜態(tài)的數(shù)學(xué)常量，打造成動(dòng)態(tài)的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)的性質(zhì)來解讀兩個(gè)常量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，從而解決問題。例如，在學(xué)習(xí)比較指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的大小時(shí)，可以把以1/3為底2的對(duì)數(shù)與以1/3為底1/3的對(duì)數(shù)做比較。雖然是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)題型，但是其中也滲透了靜態(tài)向動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化的思想。兩個(gè)比較數(shù)值都處于靜態(tài)，要通過構(gòu)造函數(shù)打造二者的動(dòng)態(tài)關(guān)系。如設(shè)置成以1/3為底x的對(duì)數(shù)函數(shù)，將1/3為底1/3的對(duì)數(shù)和以1/3為底2的對(duì)數(shù)作為這個(gè)函數(shù)的不同變量取值，把靜態(tài)的對(duì)比轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建出其在x與y軸上的動(dòng)態(tài)曲線，分別找到x等于2和x等于1/3時(shí)的y坐標(biāo)數(shù)值，從而得到答案。總之，這種靜態(tài)與動(dòng)態(tài)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，重點(diǎn)在于找到“以1/3為底2的對(duì)數(shù)”“以1/3為底1/3的對(duì)數(shù)”兩個(gè)靜態(tài)數(shù)值之間的同化關(guān)系，利用“以1/3為底”這一共同的點(diǎn)，打造出“以1/3為底x的對(duì)數(shù)函數(shù)”，從而將靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)，利用“以1/3為底x的對(duì)數(shù)函數(shù)”在（0，+∞）區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)的特性，從而輕松地獲取結(jié)果。而“以1/3為底x的對(duì)數(shù)函數(shù)在（0，+∞）區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)”便是問題的關(guān)鍵突破點(diǎn)。

（二）不等式轉(zhuǎn)化為等式，找到清晰解題思路

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)問題中常常與函數(shù)方程結(jié)合，偏向于具備綜合性質(zhì)的問題。例如，在不等式：4≥ax-2≥0中，x的集是[1，3]，問：a的取值范圍是？要解決這個(gè)問題，就需要找到a的取值范圍，找到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，而這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)還是要通過帶入值構(gòu)建等式的方法解出答案值。因此，要將x的端點(diǎn)值1和3分別帶入“4=ax-2與ax-2=0”的方程式中，變成等式：4=3a-2與a-2=0，得出k=2的結(jié)果。由此可見，在處理不等式問題的時(shí)候，要從節(jié)點(diǎn)入手，轉(zhuǎn)化為等式關(guān)系，從而找到問題的關(guān)鍵突破點(diǎn)，順利解決問題。

（三）運(yùn)用化歸思想，解決等差數(shù)列問題

數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中極少占用課時(shí)，最主要的原因是絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師自身的理解水平也尚未達(dá)到那個(gè)高度，更別提課堂設(shè)計(jì)了。但是，數(shù)學(xué)思想絕對(duì)比類似于平面向量這樣一個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)更加普遍適用，這一點(diǎn)尤其體現(xiàn)在解題的時(shí)候。例如，在解題時(shí)能成功地將條件轉(zhuǎn)化成能被直觀理解與直接使用的形式，經(jīng)常是解決問題的關(guān)鍵。轉(zhuǎn)化地過程可不僅是在某些題中偶爾被用到，仔細(xì)觀察每一道做過的中高難度的高中數(shù)學(xué)題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本每一道題都有轉(zhuǎn)化的過程。在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列是重點(diǎn)內(nèi)容，在考試中通常都會(huì)作為一道數(shù)學(xué)大題，讓學(xué)生通過對(duì)等差數(shù)列與對(duì)比數(shù)列進(jìn)行整理和歸納，解決所提出的數(shù)列問題。

二、化歸思想的應(yīng)用方法

（一）分解法

分解法是將看似沒有規(guī)律的題目，轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸?guī)律的題目，然后根據(jù)簡(jiǎn)單的計(jì)算，就可得出答案。

（二）換元法

換元法是指將不標(biāo)準(zhǔn)且看似復(fù)雜的不等式、函數(shù)、方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。在世紀(jì)解題的過程中，換元法是一種經(jīng)常使用的計(jì)算方法。如“局部換元法”，將題目中某一個(gè)式子看作一個(gè)整體，然后用一個(gè)變量替換它，就能讓整個(gè)式子變得更加簡(jiǎn)單。

三、化歸思想應(yīng)用原則

化歸轉(zhuǎn)化方式很多，技巧很多，方法也很多，不同方法技巧所應(yīng)用的場(chǎng)景也不同，在不同的情況下，具體采用怎樣的化歸方法，也有一定的原則和規(guī)律可循。

（一）簡(jiǎn)單原則

解決數(shù)學(xué)問題，一定要將看似復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化處理，這也是化歸思想的基本原則?；瘹w思想最終的應(yīng)用目標(biāo)，就是為了將復(fù)雜的問題，變成簡(jiǎn)單易懂的問題，以便解題過程的進(jìn)一步推進(jìn)。例如，在上文中我們應(yīng)用疊加法和錯(cuò)項(xiàng)消除的方式，把復(fù)雜數(shù)列化成簡(jiǎn)單的等式，從而輕松地處理了問題。

（二）熟悉原則

學(xué)習(xí)知識(shí)的過程，就是新的事物從陌生變得熟悉的過程，雖然數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容較為抽象、枯燥，但是許多數(shù)學(xué)知識(shí)之間都有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，題型之間能進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，學(xué)生只要掌握了熟悉的原則，就能夠?qū)⒛吧闹R(shí)內(nèi)容，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)內(nèi)容，題目在學(xué)生眼前也就更加簡(jiǎn)單了。例如，在解決三元一次方程組時(shí)，就可以充分利用化歸思想，先將其轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，使題目簡(jiǎn)單化，然后再經(jīng)過轉(zhuǎn)化，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程式。這種簡(jiǎn)化的方法要求學(xué)生對(duì)于簡(jiǎn)化的原則非常熟悉，也需要教師提前做好教材內(nèi)容的提練和簡(jiǎn)化工作，從而根據(jù)化歸思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，成功地解決數(shù)學(xué)問題。

（三）直觀原則

在一些比較計(jì)算中，需要把問題向直觀去表達(dá)，從可觀的角度，發(fā)現(xiàn)問題的解決辦法。例如，在上文中對(duì)數(shù)比較的過程中，如果只是進(jìn)行生硬的計(jì)算，恐怕很難輕易得出答案，即便得出答案，也未必準(zhǔn)確?？墒侨绻褍蓚€(gè)對(duì)數(shù)常量，變成一個(gè)擁有加減性的函數(shù)，通過函數(shù)的性質(zhì)，來進(jìn)行數(shù)值的比較，那么就會(huì)輕松和簡(jiǎn)單很多。

四、結(jié)語

總之，化歸思想形式多變，在日常學(xué)習(xí)中，一定要讓學(xué)生多注意積累，多進(jìn)行總結(jié)，把每一種解題思路和解題關(guān)鍵都牢牢地把握。所謂熟能生巧，當(dāng)學(xué)生熟悉了尋找這類問題的解決關(guān)鍵點(diǎn)之后，自然可以把化歸思想用得爐火純青。高中數(shù)學(xué)的解題過程是一個(gè)步步為營(yíng)、連續(xù)不斷的探索過程，是將復(fù)雜困難、陌生抽象、缺少規(guī)范的問題，運(yùn)用解題思維，通過解題步驟，化歸為一個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單易懂、熟悉具象、規(guī)范連續(xù)的問題，并實(shí)現(xiàn)從未知向已知范圍的轉(zhuǎn)化，這便是化歸思想的精髓。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度大，課程容量也大，倘若不能掌握和利用好化歸思想，必將浪費(fèi)掉大量的時(shí)間和精力在解題上，使得學(xué)習(xí)進(jìn)度變得緩慢，學(xué)習(xí)效果變得不佳。因此，筆者在這里重點(diǎn)討論化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的運(yùn)用，以幫助學(xué)生找到解題關(guān)鍵。

一、化歸思想的解題應(yīng)用

從客觀的角度看，分類、類比、聯(lián)想等等思維方式，都可以被當(dāng)做是化歸思想的體現(xiàn)形式?！稗D(zhuǎn)化”是化歸思想的核心內(nèi)容，即“把未知轉(zhuǎn)換為已知，將復(fù)雜轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單，將矛盾轉(zhuǎn)換為答案”?；瘹w思想在基本數(shù)學(xué)知識(shí)中也有所體現(xiàn)，如多元方程轉(zhuǎn)化為一元、高次轉(zhuǎn)化為低次、高維度轉(zhuǎn)化為低維度。簡(jiǎn)單來說，化歸思想的解題模式為：分析問題后提出新的問題，解決新問題來應(yīng)對(duì)原有的問題，這種思維內(nèi)在轉(zhuǎn)換，注重以變通的方式解決數(shù)學(xué)問題。

高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)較難，教師在教學(xué)的過程中，要充分考慮學(xué)生的“個(gè)性特征”，如果教師能夠在這一個(gè)期間，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，消除對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的抵觸心理，那么一切教學(xué)活動(dòng)都能達(dá)到事半功倍的效果。化歸思想改變了傳統(tǒng)的解題方式，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用化歸思想進(jìn)行解題，能讓學(xué)生充分體會(huì)到解題帶來的成就感以及快樂，從而促使學(xué)生形成正確的理性思維習(xí)慣，讓學(xué)生從無盡的“題?！敝袙昝摮鰜?。

二、化歸思想的應(yīng)用方法

（一）靜態(tài)化為動(dòng)態(tài)，借助函數(shù)特性解題

高中數(shù)學(xué)化歸思想在解題中，可以將兩個(gè)靜態(tài)的數(shù)學(xué)常量，打造成動(dòng)態(tài)的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)的性質(zhì)來解讀兩個(gè)常量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，從而解決問題。例如，在學(xué)習(xí)比較指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的大小時(shí)，可以把以1/3為底2的對(duì)數(shù)與以1/3為底1/3的對(duì)數(shù)做比較。雖然是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)題型，但是其中也滲透了靜態(tài)向動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化的思想。兩個(gè)比較數(shù)值都處于靜態(tài)，要通過構(gòu)造函數(shù)打造二者的動(dòng)態(tài)關(guān)系。如設(shè)置成以1/3為底x的對(duì)數(shù)函數(shù)，將1/3為底1/3的對(duì)數(shù)和以1/3為底2的對(duì)數(shù)作為這個(gè)函數(shù)的不同變量取值，把靜態(tài)的對(duì)比轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建出其在x與y軸上的動(dòng)態(tài)曲線，分別找到x等于2和x等于1/3時(shí)的y坐標(biāo)數(shù)值，從而得到答案?？傊?，這種靜態(tài)與動(dòng)態(tài)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，重點(diǎn)在于找到“以1/3為底2的對(duì)數(shù)”“以1/3為底1/3的對(duì)數(shù)”兩個(gè)靜態(tài)數(shù)值之間的同化關(guān)系，利用“以1/3為底”這一共同的點(diǎn)，打造出“以1/3為底x的對(duì)數(shù)函數(shù)”，從而將靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)，利用“以1/3為底x的對(duì)數(shù)函數(shù)”在（0，+∞）區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)的特性，從而輕松地獲取結(jié)果。而“以1/3為底x的對(duì)數(shù)函數(shù)在（0，+∞）區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)”便是問題的關(guān)鍵突破點(diǎn)。

（二）不等式轉(zhuǎn)化為等式，找到清晰解題思路

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)問題中常常與函數(shù)方程結(jié)合，偏向于具備綜合性質(zhì)的問題。例如，在不等式：4≥ax-2≥ 0中，x的集是[1，3]，問，a的取值范圍是？要解決這個(gè)問題，就需要找到a的取值范圍，找到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，而這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)還是要通過帶入值構(gòu)建等式的方法解出答案值。因此，要將x的端點(diǎn)值1和3分別帶入“4=ax-2與ax-2=0”的方程式中，變成等式：4=3a-2與a-2=0，得出k=2的結(jié)果。由此可見，在處理不等式問題的時(shí)候，要從節(jié)點(diǎn)入手，轉(zhuǎn)化為等式關(guān)系，從而找到問題的關(guān)鍵突破點(diǎn)，順利解決問題。

（三）運(yùn)用化歸思想，解決等差數(shù)列問題

三、化歸思想應(yīng)用原則以及案例

（一）簡(jiǎn)單原則

（二）熟悉原則

1.分解法

2.換元法

3.化歸轉(zhuǎn)化的原則

化歸轉(zhuǎn)化方式很多，技巧很多，方法也很多，不同方法技巧所應(yīng)用的場(chǎng)景也不同，在不同的問題情況下，采用怎樣的化歸方法，也有一定的原則和規(guī)律可循。主要總結(jié)為：第一，熟悉化原則。就是把陌生的問題盡量向我們熟悉的角度轉(zhuǎn)化，例如，上文中提到的不等式的問題，要轉(zhuǎn)換成等式來解答就會(huì)容易很多;第二，簡(jiǎn)單化原則。在遇到較為復(fù)雜繁瑣的問題時(shí)，尤其是在數(shù)列的相關(guān)問題中，就需要我們利用化歸思想進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理。在上文中，我們應(yīng)用疊加法和錯(cuò)項(xiàng)消除的方式，把復(fù)雜數(shù)列化成簡(jiǎn)單的等式，從而輕松地處理了問題;第三，直觀化原則。在一些比較計(jì)算中，需要把問題向直觀去表達(dá)，從可觀的角度，發(fā)現(xiàn)問題的解決辦法。例如，在上文中對(duì)數(shù)比較的過程中，如果只是進(jìn)行生硬的計(jì)算，恐怕很難輕易得出答案，即便得出答案，也未必準(zhǔn)確?？墒侨绻褍蓚€(gè)對(duì)數(shù)常量，變成一個(gè)擁有加減性的函數(shù)，通過函數(shù)的性質(zhì)，來進(jìn)行數(shù)值的比較，那么就會(huì)輕松和簡(jiǎn)單很多。

四、結(jié)語

總之，化歸思想形式多變，在日常學(xué)習(xí)中，一定要讓學(xué)生多注意積累，多進(jìn)行總結(jié)，把每一種解題思路和解題關(guān)鍵都牢牢地把握。所謂熟能生巧，當(dāng)學(xué)生熟悉了尋找這類問題的解決關(guān)鍵點(diǎn)之后，自然可以把化歸思想用得爐火純青。

參考文獻(xiàn)：

[1]司馬澍.化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用研究[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊，2017（28）.

[2]陳卓.高中數(shù)學(xué)化歸思想方法的案例分析——基于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修四內(nèi)容[J].數(shù)學(xué)之友，2017（4）.

[3]杜文偉.轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（15）.