2020年高考數(shù)學江蘇卷第20題的反思與推廣

錢月鳳 (江蘇省蘇州中學校 215007)

解題是一門實踐性的學問，研究解題是為了提高解題能力．本文從2020年江蘇高考數(shù)學第20題出發(fā)，從解題反思的視角，反思了其解題思路、問題表征和思想策略，之后對此高考題進行改編與推廣，最后總結(jié)了筆者的幾點想法．

1 案例呈現(xiàn)

(1)若等差數(shù)列{an}是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；

(3)對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

解(1)(2)略．

①若λ≤0或λ=1時，則關(guān)于cn的方程(*)只有一解cn=1，則符合條件的數(shù)列{an}只有一個，此數(shù)列為1, 0, 0, 0, …．

由于數(shù)列{Sn}從任何一項求其后一項均有兩種不同的結(jié)果，所以這樣的數(shù)列{Sn}就有無數(shù)多個，則對應(yīng)的{an}也有無數(shù)多個．

綜上所述，當0<λ<1時，存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列；當λ≤0或λ≥1時，不存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列．

2 解題反思

由于例1第(1)問難度不大，第(2)問與第(3)問的解題思想與方法有共通之處，故將分析的重點放在第(3)問，主要從解題思路、問題表征以及思想策略三方面對解題過程進行反思．

2.1 反思解題結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)解題思路明晰化

提煉第(3)問的解題步驟，大致可以分為三大步，記作L1，L2和L3．

第一大步L1：根據(jù)“λ～3”數(shù)列的定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題．有這樣的一個信息流程圖(圖1)．

圖1 信息流程圖

第二大步L2：根據(jù)λ的取值來討論關(guān)于cn的方程(*)的根的情況，可分為三類：①λ≤0或λ=1時，方程(*)只有一解cn=1；②λ>1時，方程(*)只有一解cn=1；③0<λ<1時，方程(*)有兩個解：一解為1，另一解大于1．

第三大步L3：根據(jù)方程(*)根的情況分析數(shù)列{Sn}的個數(shù)，進而判斷滿足條件的數(shù)列{an}的個數(shù)．當λ≤0或λ≥1時，方程(*)只有一解，則符合條件的數(shù)列{an}只有一個；當0<λ<1時，數(shù)列{Sn}就有無數(shù)多個，則對應(yīng)的{an}也有無數(shù)多個，故此時存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列．

將整個解題過程分為以上三大步，使復雜問題的求解過程得以清晰地呈現(xiàn)．由以上三大步的結(jié)構(gòu)分析中可以看到，最關(guān)鍵的是第一大步，而第一大步中最有價值的解題進展是“利用換元法將原始問題轉(zhuǎn)化為討論方程根的情況問題”．

2.2 反思問題表征，力求解題過程自然化

問題表征是解決問題時理解問題的方式．反思問題表征，能加強對問題信息的感知、理解與內(nèi)化，促進解題主體對解題思路的探求．

問題的呈現(xiàn)方式對策略選擇有直接的影響．若問題呈現(xiàn)時省略第(2)問直接跳到第(3)問，很多考生會產(chǎn)生無從下手之感．第(2)問給出后，解題主體會嘗試從基礎(chǔ)入手，不斷探索解題思路，由淺入深，逐漸找到第(3)問的解題突破口，這樣便能自然地往下想、往下做．單墫老師曾在《解題研究》一書中提到，所謂自然，即抓住問題的實質(zhì)，題目該怎么解就怎么解，不顧弄玄虛，樸實自然[1]．

2.3 反思思想策略，促使數(shù)學思維深刻化

例1第(3)問所選擇的主要解題策略是簡化與轉(zhuǎn)化，涉及的主要知識點、數(shù)學方法、數(shù)學思想和數(shù)學能力如表1所示．

表1 例1第(3)問涉及的知識點、 數(shù)學方法、數(shù)學思想和數(shù)學能力

問題涉及的數(shù)學知識點不多，但要真正解決該問題，需要解題主體擁有良好的數(shù)學思維品質(zhì)．能否透過問題表面洞察其本質(zhì)，是數(shù)學思維深刻與否的主要表現(xiàn)；全面周密地思考問題，是數(shù)學思維嚴謹性的主要特征．當然，解決該問題還需解題者具備靈活的思維，善于調(diào)整解題思路與方法，隨機應(yīng)變．當考生面對問題不知從何下手時，可以靜下來想一想：解題的突破口在哪？問題中最重要的條件是哪一個或哪幾個？既然我找到了我認為最重要的條件，我該怎么使用它？它想告訴我什么？隱藏在它背后的深刻含義是什么？一旦解題者在思考與探索中找到了突破口，便能選擇合適的解題策略，靈活地將基本數(shù)學思想與方法運用其中，自然地將陌生難題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．

3 拓展延伸

筆者結(jié)合現(xiàn)有經(jīng)驗，對例1進行了更加深入的研究．我們可以將例1中k為大于1的正整數(shù)時的所有情形考慮清楚(見例2)．

(1)對于給定的λ和k(k為大于等于3的奇數(shù))，是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“λ～k”數(shù)列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

(2)對于給定的λ和k(k為正偶數(shù))，是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“λ～k”數(shù)列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

(1)①若λ≤0時，因為k為大于等于3的奇數(shù)，所以λk≤0，則關(guān)于dn的方程(*)只有一解dn=1，即符合條件的數(shù)列{an}只有一個，此數(shù)列為1, 0, 0, 0, …．

由于數(shù)列{Sn}從任何一項求其后一項均有兩種不同的結(jié)果，所以這樣的數(shù)列{Sn}就有無數(shù)多個，則對應(yīng)的{an}也有無數(shù)多個．

綜上所述，當0<λ<1時，存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“λ～k”數(shù)列；當λ≤0或λ≥1時，不存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“λ～k”數(shù)列．

(2)①若λ=0，則關(guān)于dn的方程(*)只有一解dn=1，即符合條件的數(shù)列{an}只有一個，此數(shù)列為1, 0, 0, 0, …．

由于數(shù)列{Sn}從任何一項求其后一項均有兩種不同的結(jié)果，所以這樣的數(shù)列{Sn}就有無數(shù)多個，則對應(yīng)的{an}也有無數(shù)多個．

綜上所述，當0<λ<1或-1<λ<0時，存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“λ～k”數(shù)列；當λ=0或λ≥1或λ≤-1時，不存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“λ～k”數(shù)列．

現(xiàn)將例2進一步推廣，改編成例3；例3具體問題及其求解分析如下：

(1)對于給定的a,λ和k(k為大于等于3的奇數(shù))，是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“a～λ～k”數(shù)列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

(2)對于給定的a,λ和k(k為正偶數(shù))，是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“a～λ～k”數(shù)列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

于是，問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)λ的取值討論方程(*)的根的問題．之后的求解與例2相同．

答案 (1)當0<λ<1時，存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“a～λ～k”數(shù)列；(2)當0<λ<1或 -1<λ<0時，存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“a～λ～k”數(shù)列．

例3還可進一步推廣改編成例4，例4具體問題及其求解分析如下：

(1)對于給定的a,b,λ和k(k為大于等于3的奇數(shù))，是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“a～b～λ～k”數(shù)列，且an≥|a-b|？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

(2)對于給定的a,b,λ和k(k為正偶數(shù))，是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“a～b～λ～k”數(shù)列，且an≥|a-b|？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

于是，問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)λ的取值討論方程(*)的根的問題．之后的求解與例2相同．

答案 (1)當0<λ<1時，存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“a～b～λ～k”數(shù)列；(2)當0<λ<1或-1<λ<0時，存在三個不同的各項非負的數(shù)列{an}為“a～b～λ～k”數(shù)列．

特別說明的是，例2～例4中k=1時的情形比較簡單，而k是分數(shù)或無理數(shù)時的情況又較為復雜，故以上三題只研究k為大于等于2的正整數(shù)時的情形．

4 反思總結(jié)

通過解題反思，結(jié)合自身經(jīng)驗關(guān)于解題總結(jié)了以下幾點想法：(1)深刻理解題意后，努力尋找解題突破口；(2)掌握基本數(shù)學思想與方法，化繁為簡，化難為易；(3)大膽探索，跟著直覺往下想、往下做；(4)不斷思考，努力產(chǎn)生“新想法”和“新途徑”；(5)全面思考問題，創(chuàng)造性地克難攻堅．