中國與加拿大初中數學教材中數學文化的比較研究
——以“勾股定理”內容為例

吳超萍 馬俊海 (浙江師范大學教師教育學院 321004)

自20世紀80年代以來，隨著數學家、數學教育家等專家學者對數學文化的研究日益深入，數學和數學教育的社會文化屬性已經越來越獲得數學教育共同體的共識．例如，《義務教育課程標準(2011年版)》[1]指出：“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中．”教科書作為學校課堂中教與學的工具和媒介，是課程的“法定”文本，有目的地選擇和傳承一定價值取向的文化[2]，對教科書的分析是研究課程編制水平的一種有效方式．加拿大教學質量一流，注重發(fā)展學生綜合素養(yǎng)的培育，且教育體制與我國接近．以“勾股定理”內容為例，從文化視野分析中、加初中數學教材中數學文化的組織與編排，以期為我國數學教師批判性認識和使用教科書提供參考．

1 研究設計

本文選取使用范圍廣泛的、人民教育出版社出版的《義務教育教科書·數學》(八年級下冊)(簡稱“人教版”)和加拿大MikeCzukar出版社的初中數學八年級教科書(簡稱“MMS版”)中“勾股定理”內容作為研究對象，主要分析兩版數學教科書中“勾股定理”內容是如何被表征的，進而分析數學教科書中的數學文化．兩版教材具體信息如表1所示．

表1 兩國教材基本信息

本研究在汪曉勤[3]等人研究的基礎上，從數學文化的欄目分布、內容類型、運用水平三個維度加以分析．其中，欄目分布劃分為非正文、引入、例題和習題，內容類型分為數學史、數學與生活、數學與科學和數學與藝術，數學史的運用水平按數學史與數學知識的關聯程度的高低分為點綴式、附加式、復制式、順應式和重構式，其余類型的數學文化運用水平分為外在型、可分離型和不可分離型．

研究進一步對數學文化的運用水平進行量化，對數學史的五種運用水平(分別記為A1,A2,A3,A4,A5)從低到高分別賦值1～5，并采用函數H1表征數學史運用水平

對其余類型數學文化的三種運用水平：外在型(B1)、可分離型(B2)、不可分離型(B3)分別賦值1～3,采用如下函數H2表征數學史運用水平

2 “勾股定理”中數學文化內容的比較分析

根據分析維度，對我國人教版和加拿大MMS版數學教科書中“勾股定理”中的數學文化內容進行統計分析，相關結果如下．

表2 兩版“勾股定理”中數學文化的欄目分布

欄目分布數量上，兩版教科書中數學文化內容相當豐富，多達28處．在各個欄目中分布數量相當，習題欄目占比最多，詳見表2．在數學教育傳統上，常把數學視為解題的活動，以及“孰能生巧”等傳統文化觀念的影響，教科書中習題的數量一向占比最多，同時，數學教學中以問題引領和問題驅動，習題中數學文化數量之多也表明數學文化為數學問題提供了一定的社會文化背景．進一步運用SPSS對兩版“勾股定理”中數學文化在不同欄目的數量進行差異性分析，從卡方檢驗P值(P=0.830>0.05)可知，兩種教材在數學文化欄目分布上無顯著性差異．但從各部分的均衡性來看，人教版分布相對更佳．

在內容類型上，兩版教材“勾股定理”中的數學文化豐富集中，分布不均勻，詳見表3．其中，人教版在數學史方面數量多于MMS版，在數學與生活上，MMS版多于人教版，共出現了18處，兩版教材在數學與科學、數學與藝術上均涉及較少．進一步運用SPSS對兩版“勾股定理”中數學文化在內容類型的數量進行差異性分析，從卡方檢驗P值(P=0.029<0.05)可知，兩種教材在數學文化類型上有明顯的差異．以下分別對數學史、數學與生活、數學與科學、數學與藝術進行詳細分析．

表3 兩版“勾股定理”中數學文化的內容類型分布

在數學史上，人教版中“勾股定理”中顯性數學史和隱性數學史分別占比58.3%和41.7%，MMS版中顯性數學史和隱形數學史分別占比60.0%和40.0%．通過SPSS進行卡方檢驗，從P值(P=0.949>0.05)可知，兩版教材在數學文化之數學史無顯著性差異．人教版和MMS版都對數學史的應用采用顯性與隱性相結合的方式，顯性與隱性之間大約6∶4．顯性數學史出現的方式集中在章頭、閱讀材料等欄目中，例如“介紹畢達哥拉斯、費馬、懷爾斯等數學家生平,展示數學家的肖像等；隱性數學史出現的方式集中在例題和習題中，例如改編中國古代《周髀算經》和《九章算術》中記載的數學題．

在數學與生活上，人教版中“勾股定理”中個人生活和公共生活分別占比54.5%和45.5%，MMS版中個人生活和公共生活分別占比55.6%和44.4%．通過SPSS進行卡方檢驗，從卡方檢驗P值(P=0.958>0.05)可知，兩種教材在數學文化之數學與生活無顯著性差異．兩版均涉及個人生活與公共生活，相對均衡．例如，人教版中個人生活包括“測量學校旗桿高度”“學生走路上學距離問題”等，公共生活包括計算“港口方向和距離”等．MMS版中的數學與生活內容總量略高于人教版，教材中列舉了系列諸如“放風箏”“棒球場”“學生制作物品”等與學生個人生活情境有關的實例，在公共生活上融入了“坡道停鏟雪機”等情景．

在數學與科學上，人教版中“勾股定理”中生命科學和物質科學分別占比25.0%和75.0%，MMS版中都為物質科學．通過SPSS進行卡方檢驗發(fā)現，兩版教材在數學與科學類型上無顯著性差異．兩版教材涉及科學部分都較少，人教版主要涉及生命科學和物質科學；MMS版主要只涉及物質科學．這表明在“勾股定理”的教材編排中，與生物、化學、政治等多學科知識與內容相結合有待加強．

在數學與藝術上，人教版中“勾股定理”中都為人文內容(100%)，MMS版中人文與美術分別占比40.0%和60.0%，通過SPSS進行卡方檢驗發(fā)現，從卡方檢驗P值(P=0.273>0.05)可知，兩版教材在數學與藝術類型上無顯著性差異．兩版教材涉及數學與藝術的數量較少，MMS版在數量上相對較多，例如在人文方面融入了原住民所帶的帽子和被子圖案；在美術方面融入了圖標的涉及、畫框的制作等，這與加拿大對藝術教育的重視有關，我國在數學與藝術方面也應適當加強重視．

表4 兩版“勾股定理”中數學史的運用水平分布

在數學文化運用水平上，人教版“勾股定理”中數學史運用水平比MMS版更為豐富，詳見表4．人教版中數學史的各運用水平均有涉及．進一步聚焦到每類運用水平可知，兩版教材在點綴式和附加式占比相當且較大．在順應式上，人教版中將《九章算術》中水池和蘆高問題進行改編重新呈現，MMS版和人教版都將特奧多魯斯螺旋進行改編重現，豐富了學生對數學史的了解．利用數學史運用水平計算公式可得人教版數學史運用水平得分為2.5，MMS版得分為3.2．總體而言，人教版在數學史方面分布和數量占優(yōu)，在運用水平方面，MMS運用水平更高一些，換言之，教材中數學史的數量與數學史運用水平并無直接關聯．

在其余文化運用水平上，兩版教材在本章中均未出現“外在型”運用水平，數學文化的運用水平相對較高，且二者在內在型分類占比上差別不大，有30%左右的題目屬于不可分離型，如人教版中“零件兩孔距離”“木桿折斷”“兩人不同方向行走距離”等情境；MMS版中“飛機落地”“鋪地板”“制作畫框”等情境，這些內容的加入有利于將數學問題和生活中真實情境加以聯系．在可分離型上，兩版教材占比都超過了70%，原因可能是在數學與生活的分類上，出現了較多可以分離的應用情境．通過計算得到人教版其他數學文化運用水平得分為1.25，MMS版其他數學文化運用水平得分為1.27，說明MMS版在其他數學運用水平上略高于人教版．總體而言，兩版教材都需要進一步提高對生活素材的運用水平，使之讓數學文化與數學知識的關聯程度更高．

3 結論與建議

基于上述分析結果，給出以下結論和建議．

(1)均衡教科書中數學文化欄目分布

中加在數學文化欄目分布上呈現相似性，主要都集中在習題部分，而非正文，引入和例題部分較少．事實上，分布于不同欄目的數學文化都有其存在的不同意義．非正文的數學文化能夠引導學生進入數學知識的學習，提升數學興趣；引入部分是教師開展教學很好的素材，起到鋪墊作用；例題和習題部分的數學文化多與生活息息相關，并且融入歷史、天文、地理等，讓數學知識真正來源于生活并服務于生活．因此，在教材的編寫上要合理分配各欄目數量，不局限在某一欄目中，讓學生從不從角度感受數學文化的價值與力量．

(2)呈現多樣數學文化類型

從整體上看，雖然兩版教材都對數學史、數學與生活、數學與科學、數學與人文藝術等內容進行了關注，涉及領域廣，但通過卡方檢驗可知，中加兩版教材在數學文化類型上差異性顯著，原因在于人教版在融入數學史的總量上明顯高于MMS版，MMS版則更加側重數學與生活的呈現．聚焦于特定類型進行細分，人教版和MMS版在數學史類型上更多停留在顯性數學史，在數學與生活類型上占比相當，而在科學和藝術方面都有所空缺，呈現出分布不均勻的現象．因此，教材編寫時應呈現多樣的數學文化類型，在數學與科學方面可以融入計算機、統計學等運用于操作；在數學與藝術方面可以融入民族數學文化、影視作品中出現的相關數學知識，不僅能夠豐富教材的編寫內容，也能夠開闊學生的視野，提高創(chuàng)新能力和實踐能力．

(3)提升數學文化運用水平

當前中學教學普遍存在“高評價、低應用”的現象，很重要的一個原因在于對教材中數學文化的運用水平不高.從上述分析也可知，人教版在數學史的總量上明顯多于MMS版，但在計算運用水平時發(fā)現MMS版運用水平高于人教版，即運用水平的高低不止是數量上的取勝，更要在質量上過關.如果教材中的數學史的呈現多停留在點綴式、附加式等方式上，其他數學文化類型多停留在外在型、可分離型上，那么就無法真正將數學文化融入數學學習中，也就無法真正促進數學文化的發(fā)展．因此，教材中應采用更高水平的數學文化運用方式，數學史融入采用順應式和重構式；其他數學文化方式向不可分離型轉變，從而改善“高評價，低應用”的問題，讓數學文化自然而又有內涵地與數學問題結成一個統一的有機體．借助數學文化進行數學問題的解答、判斷與學習，讓學生形成數學意識，真正讓數學文化發(fā)揮作用．