HPM視角下智能計算思維的培養(yǎng)案例設(shè)計*

朱樹金 (華東師范大學教師教育學院 200062)

圖靈獎得主Edsger曾說：“我們所使用的工具影響著我們的思維方式和思維習慣，從而也將深刻影響著我們的思維能力．”[1]隨著人工智能時代的到來，智能計算思維(ComputationalThinking)被視為21世紀的關(guān)鍵技能，是信息化社會中數(shù)字公民所應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)．智能計算思維的發(fā)展對學科教育產(chǎn)生了巨大的沖擊，蔡金法和徐斌艷2016年提出將智能計算思維作為數(shù)學核心素養(yǎng)納入數(shù)學課堂教學之中[2]，智能計算思維與《普通高中數(shù)學課程標準(2017)》中的數(shù)據(jù)分析和運算能力有著密切相通之處，并且為上述能力的培養(yǎng)提供理論上的支撐與實踐層面的引領(lǐng)．

數(shù)學史中存在豐富的與智能計算思維有關(guān)的材料，圍繞相關(guān)的數(shù)學史問題進行設(shè)計，貫穿于不同學段的數(shù)學課程之中，不失為系統(tǒng)培養(yǎng)學生智能計算思維的良策．因此本文首先對智能計算思維的概念進行了介紹，并基于數(shù)學史進行培養(yǎng)學生智能計算思維的案例設(shè)計．

1 智能計算思維

目前關(guān)于智能計算思維的概念界定沒有明確統(tǒng)一的觀點，美國教育家Rapert在1996年第一次初步界定了智能計算思維的定義，自2006年周以真提出智能計算思維的正式定義之后學者們紛紛根據(jù)自己的學科背景和理解對智能計算思維進行多角度的定義與補充．魏茵托普(Weintrop)等研究者通過大量的文獻分析、專家訪談、數(shù)學課堂教學觀察及編碼分析，提出數(shù)學教育中的智能計算思維要素分類，它包括數(shù)據(jù)實踐、建立模型與模擬實踐、智能計算問題解決實踐、系統(tǒng)思維實踐四個要素[3]，并且對每個思維要素分別進行了界定(表1)．

表1 數(shù)學教育中智能計算思維的要素分類

2 案例設(shè)計

2.1 求最大公約數(shù)案例設(shè)計

(1)新課引入

設(shè)計意圖數(shù)學史家瓊斯(Jones)說：“數(shù)學史中具有豐富的可用于課堂的精彩有趣的歷史話題，研究的原因、最早的解法是什么、最后的解法是什么、最好的解法又如何，都能激發(fā)學生的興趣．”[4]本案例選取祖沖之計算閏月的數(shù)學史材料創(chuàng)設(shè)情境，引出本堂課需要解決的問題：怎樣求兩個數(shù)的最大公約數(shù).一方面可以引發(fā)學生的好奇心與求知欲，另一方面古人收集數(shù)據(jù)、提出問題、解決問題的實踐可以培養(yǎng)學生的智能計算思維．

(2)方法探究

教師設(shè)計從簡單到復(fù)雜的問題串，講解求最大公約數(shù)

的方法．

問題1 求18和12的最大公約數(shù)．

由于18和12兩個數(shù)較小，根據(jù)學生的回答總結(jié)質(zhì)因數(shù)分解法，把每個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有質(zhì)因數(shù)提取出來并相乘，所得的積就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)．由于質(zhì)因數(shù)分解法和短除法有相同的原理，教師繼續(xù)介紹短除法．

問題2 《九章算術(shù)》第一卷第六題：又有九十一分之四十九．問：約之得幾何？

教師首先將此作為變式讓學生使用質(zhì)因數(shù)分解法和短除法進行計算，鞏固剛才講過的方法，然后讓學生思考：當古人在沒有質(zhì)因數(shù)的概念時他們會如何解決這個問題？思考后給出《九章算術(shù)》中的約分術(shù)：可半者半之，不可半者，副置分母、分子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也．

問題3 求8 251和6 105的最大公約數(shù)．

學生大多選擇更相減損術(shù)來求解兩個較大數(shù)的最大公約數(shù)．之后教師講授歐幾里得的輾轉(zhuǎn)相除法：用較大數(shù)除以較小數(shù)，用出現(xiàn)的余數(shù)(若不為0)去除除數(shù)，再用出現(xiàn)的第二個余數(shù)(若仍不為0)去除第一個余數(shù)，如此反復(fù)，直到最后余數(shù)是0為止，那么最后的除數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)．

設(shè)計意圖設(shè)計問題讓學生學習求最大公約數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解法、更相減損術(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法．問題2讓學生站在古人的角度思考問題，體會知識的發(fā)生過程；問題3選擇兩個較大的數(shù)揭示知識的必要性，有助于學生更好地理解與接受知識．

(3)思維擴展

教師提供變式讓學生選擇合適的方法進行解題，并思考三種方法的異同．學生回答后教師引導(dǎo)學生總結(jié)更相減損術(shù)和輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟，通過自然語言或者程序框圖的形式呈現(xiàn)出來．之后教師讓學生思考：如果讓你來進行手動計算你會選擇什么樣的方法？如果計算機進行編程的話應(yīng)該選擇什么樣的方法？

對于手動計算，當兩個數(shù)較小時傾向于選擇質(zhì)因數(shù)分解法，當兩個數(shù)較大時由于輾轉(zhuǎn)相除法比更相減損術(shù)步驟更少，因此更加傾向于選擇輾轉(zhuǎn)相除法.但是計算機做乘除運算會比做加減運算慢得多，因此更相減損術(shù)在計算機上更為適用．

設(shè)計意圖有研究通過剖析典型的智能計算思維教學案例，發(fā)現(xiàn)不使用計算機而采取適當?shù)慕虒W活動同樣可以有效促進學生對計算思維的掌握和理解．本節(jié)課為小學學段的數(shù)學課程，學生認知水平較低，相關(guān)的計算機知識儲備不足，因此選擇算法總結(jié)的教學方式而并未運行計算機程序讓學生體會傳統(tǒng)的數(shù)學思維與智能計算思維之間的異同．

(4)課后活動

教師布置兩個課后活動，學生可以根據(jù)自己的興趣進行選擇．

活動1：本節(jié)課學習了農(nóng)歷的閏月是怎樣計算的，學生課下通過查閱書籍、上網(wǎng)查閱資料等方式探究公歷的閏年是怎樣計算的，并形成報告．

活動2：本節(jié)課學習了求最大公約數(shù)的幾種方法并且分析了它們之間的異同，思考了計算機會選擇什么樣的算法，但是計算機求最大公約數(shù)的Stein算法與更相減損術(shù)具有一定的差別，學生通過查閱書籍、上網(wǎng)查閱資料等方式分析其與更相減損術(shù)之間的差別．

設(shè)計意圖活動1密切聯(lián)系實際生活，幫助學生學會用數(shù)學的眼光看待問題，活動2讓學生實際感受計算機的算法與程序，幫助擴展學生的視野，培養(yǎng)學生的智能計算思維．

2.2 計算圓周率π案例設(shè)計

(1)新課引入

教師設(shè)置課前討論環(huán)節(jié)：圓周率π是一個在數(shù)學及物理中重要的常用常數(shù)，相信同學們再熟悉不過，提到圓周率π你能想到什么？它是怎樣產(chǎn)生的又是怎樣被人們計算出來的呢？學生發(fā)言后播放微視頻介紹古人計算圓周率的歷史．

設(shè)計意圖M·克萊因認為：數(shù)學家探索數(shù)學知識的曲折經(jīng)歷對學生有著很好的教育意義，給學生講述數(shù)學家在建立一個可觀的結(jié)構(gòu)之前所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路可以讓學生頑強地去追求他所研究的問題，不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到頹喪．通過介紹數(shù)學家計算圓周率π的發(fā)展歷史，讓學生了解歷史上數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)知識解決問題時所遇到的困難、所犯的錯誤，從而對數(shù)學的學習形成正確的認識，更加自信、富有熱情地投入到數(shù)學學習中，這具有很好的德育價值．

(2)方法探究

教師介紹劉徽的割圓術(shù)：魏晉時期我國偉大的數(shù)學家劉徽創(chuàng)造了一個計算圓周率π到任意精度的迭代程序．劉徽從圓內(nèi)接正6邊形開始，逐次做圓的內(nèi)接正12邊形、24邊形、48邊形，并反復(fù)使用勾股定理求得正多邊形的邊長，使用其創(chuàng)造的多邊形面積公式求得多邊形的面積．“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，隨著分割次數(shù)的增加，圓內(nèi)接正多邊形的面積越來越接近圓的面積，從而求得圓周率π．

圖1

探究1證明劉徽求正多邊形面積公式：正2n邊形面積 = 正n邊形半周長×半徑．引導(dǎo)學生分小組利用“出入相補”原理證明劉徽求正多邊形面積公式的特殊情況：正12邊形面積 = 正6邊形周長的一半×半徑，由圖1可證，證明過程略．

探究2教師引導(dǎo)學生計算半徑為1的圓內(nèi)接正12邊形的邊長和面積，不要求求出數(shù)值．作圖如圖2，計算過程如下：

求得圓內(nèi)接正12邊形的邊長為AC，圓內(nèi)接正12邊形的面積為3，劉徽之前人們所說的“周三徑一”就是使用圓內(nèi)接正12邊形的面積代替圓的所求面積．

設(shè)計意圖劉徽的“割圓術(shù)”具有機械化的程序，是典型的用智能計算思維解決問題的機械化方法.此環(huán)節(jié)可以讓學生體會劉徽計算圓周率時的智能計算思維，感受劉徽簡潔的迭代計算方法，同時涉及勾股定理、正多邊形面積計算、出入相補原理等知識點，是興趣能力拓展和課內(nèi)知識鞏固的完美結(jié)合．

圖2

(3)思維拓展

教師使用幾何畫板演示劉徽的割圓術(shù)，通過調(diào)整參數(shù)大小，圓周率的值精確度越來越高．劉徽在《九章算術(shù)注》中敘述了分割6邊形到12邊形直到192邊形，卻沒有敘述接下來的分割，但是劉輝的這個快捷算法理論上可以將圓周率計算到任意精度，教師引導(dǎo)學生總結(jié)劉徽“割圓術(shù)”的算法步驟．

設(shè)計意圖一方面，計算機的引入使課堂探究意味十足，為數(shù)學的思想和方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容，使學習者擺脫繁重乏味的數(shù)學演算和數(shù)值計算，尋找解決問題的新角度；另一方面，總結(jié)算法步驟可以幫助學生更好地理解知識、理解技術(shù)服務(wù)于生活，讓問題解決更加便捷，培養(yǎng)使用智能計算思維解決問題的能力與意識．

(4)課后活動

教師介紹在計算機發(fā)明之前，數(shù)學家們使用幾何的方法來求解圓周率，而在計算機發(fā)明后一大批方法涌現(xiàn)出來，如蒲豐投針法、蒙特卡洛法、微積分的方法等．計算圓周率的方法很多，教師讓學生分小組搜集資料、查閱書籍，尋找有什么方法可以用來計算圓周率，并選擇一種感興趣的方法進行模擬，形成報告．

設(shè)計意圖課后探索是課堂的延續(xù)與升華.由于時間和課時安排，教師只能選擇有代表性的方法在課堂上展示分析，課下的自主學習可以幫助學生重新梳理整合知識、拓展視野，有利于培養(yǎng)學生的自主學習能力．蒲豐投針等實驗包含構(gòu)造分析數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)實踐、利用計算機進行模擬的實踐等，可以很好地培養(yǎng)學生的智能計算思維．

3 數(shù)學史融合方式及其與智能計算思維間的聯(lián)系

對案例中數(shù)學史在教學中的運用方式進行分析(表2)，數(shù)學史在整體性重構(gòu)后融入到培養(yǎng)學生的智能計算思維的教學中，教學過程可以很好地涉及學生智能計算思維的各組成要素．

表2 數(shù)學史融合方式及其與智能計算思維間的聯(lián)系

4 基于數(shù)學史培養(yǎng)智能計算思維的價值

基于數(shù)學史設(shè)計教學案例培養(yǎng)學生的智能計算思維體現(xiàn)了“方法之美”“知識之諧”“探究之樂”“能力之助”“德育之效”．

(1)方法之美．一方面，古人面對數(shù)學問題時給出了不同的解答方法，如求最大公約數(shù)，古人采用了更相減損術(shù)和輾轉(zhuǎn)相除法；另一方面，傳統(tǒng)的數(shù)學思維和智能計算思維求解問題的方法具有差異．通過問題的多種解法，學生能感受不同方法間的共性與差異，體會傳統(tǒng)的數(shù)學思維和智能計算思維之間的區(qū)別，呈現(xiàn)出“方法之美”．(2)知識之諧．一方面，學生通過學習案例中的數(shù)學史問題學習新的知識，重溫勾股定理、出入相補原理等舊知識；另一方面，通過智能計算思維解決問題可以加深學生對知識的理解，體現(xiàn)出“知識之諧”．(3)探究之樂．一方面，數(shù)學史為探究性活動提供了豐富的資源依托，案例中的數(shù)學史問題解法多樣、探究意味濃厚，學生也可以體會歷史上數(shù)學家對問題的探究過程；另一方面，智能計算思維與當代計算機技術(shù)緊密聯(lián)系，提供探究工具，具有豐富的探究價值與探究空間，體現(xiàn)出“探究之樂”．(4)能力之助．一方面，案例中的歷史問題可以培養(yǎng)學生提出問題、解決問題的能力，幫助學生感受古人解決問題的智能計算思維；另一方面，通過智能計算思維解決問題可以培養(yǎng)學生收集數(shù)據(jù)、建立模型、設(shè)計算法、評價優(yōu)化等多種能力，體現(xiàn)出“能力之助”．(5)文化之魅．一方面，案例中的數(shù)學史問題歷史悠久，體現(xiàn)了數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，展示出中國古代數(shù)學實用性強的特點，教學設(shè)計也充分體現(xiàn)了M·克萊因的數(shù)學文化原理；另一方面，智能計算思維的教學設(shè)計中同樣呈現(xiàn)了多元的學習文化，既有中國傳統(tǒng)文化注重循序漸進的課堂講授，也有西方注重實踐探索的探究活動．(6)德育之效．一方面，教學設(shè)計落實“立德樹人”這一思想，通過數(shù)學史培養(yǎng)學生形成正確的價值觀，理解數(shù)學也是在困難與挫折中不斷向前發(fā)展的，體會數(shù)學家勤奮努力、不怕挫折、勇于攀登的精神；另一方面，培養(yǎng)學生的智能計算思維，幫助學生體會人工智能時代智能計算思維的重要性．

5 結(jié)語

吳文俊說：“貫穿在整個數(shù)學發(fā)展歷史過程中有兩個中心思想，一是公理化思想 ，另一是機械化思想．”[5]人工智能時代這種機械化的思想更應(yīng)該被人們所重視，因此本研究選取合適的史料，基于數(shù)學史進行案例設(shè)計，培養(yǎng)學生的智能計算思維，讓學生體會古人解決問題時所具有的計算思維方式，認識到傳統(tǒng)數(shù)學思維和智能計算思維之間的差異．但是在設(shè)計過程中尚未開展實證研究，因而存在值得完善的地方.正如魏茵托普所說：“這只是將計算思維引入數(shù)學課堂的第一步，要實現(xiàn)這個目標還需要教師、學校管理者、決策者等一系列利益相關(guān)者的支持．”[3]我們有理由相信，從HPM視角下培養(yǎng)學生的智能計算思維無論是對于當前的教學實踐、案例開發(fā)，還是對今后教科書的修訂和編寫，都具有重要的參考意義．