偏微分方程均值公式的物理推導(dǎo)

劉 瑞，陳靜華

(宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 宜春 336000)

拉普拉斯方程[1]，是由拉普拉斯(p.-s. Laplace)在1784年所提出來(lái)的，拉普拉斯方程是一種比較典型的橢圓型方程，它具有廣泛的應(yīng)用背景，例如滿(mǎn)足此類(lèi)橢圓型的方程有靜電學(xué)中的電勢(shì)。由于此方程是通過(guò)勢(shì)函數(shù)的方式來(lái)描寫(xiě)了引力場(chǎng)和電場(chǎng)等一些物理對(duì)象的性質(zhì)，所以進(jìn)行求解Laplace方程是我們?cè)诟鞣N特殊領(lǐng)域中常常遇到的一類(lèi)非常重要的問(wèn)題[2]。

滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)叫調(diào)和函數(shù)[3]，調(diào)和函數(shù)在偏微分方程中的運(yùn)用十分廣泛，因?yàn)樗泻芏嗪玫男再|(zhì)。其中一條性質(zhì)是調(diào)和函數(shù)滿(mǎn)足均值公式，但是在數(shù)學(xué)里面均值公式的證明非常詳細(xì)并且繁瑣，它是由拉普拉斯方程來(lái)的，在數(shù)學(xué)上有很多的應(yīng)用，并且被研究得非常透徹，例如在偏微分方程中的應(yīng)用等。但是很少有人考慮數(shù)學(xué)里面的均值公式和拉普拉斯方程的物理背景，那么拉普拉斯方程和均值公式具體有什么樣的物理意義呢？這就是我們這篇文章所要探討的，本文從最基本的牛頓萬(wàn)有引力來(lái)推導(dǎo)拉普拉斯方程和均值公式。

下面我們引入本文將要出現(xiàn)的一些定義：

定義1 在引力場(chǎng)中有質(zhì)量為M的物體，某點(diǎn)處單位質(zhì)量物體所受到的引力為該點(diǎn)的萬(wàn)有引力，記為F，即

其中G為萬(wàn)有引力常數(shù)，r為兩個(gè)物體之間的距離。

定義2 在引力場(chǎng)中有質(zhì)量為M的物體，某點(diǎn)處單位質(zhì)量的物體對(duì)應(yīng)的引力勢(shì)能為該點(diǎn)的引力勢(shì)，記為U，即

1 符號(hào)說(shuō)明

本文所涉及到的符號(hào)作以下說(shuō)明：

球BR：以R為半徑，以原點(diǎn)為球心的球；球：B(x,R)以R為半徑，以x為球心的球；球面?B(x,R)：以R為半徑，以x為球心的球面；Rn：n維歐式空間。

2 勢(shì)函數(shù)與拉普拉斯方程

勢(shì)理論首先建立在力學(xué)中，牛頓萬(wàn)有引力定律建立之后，在18世紀(jì)，物理學(xué)的一個(gè)非常重要問(wèn)題是確定一個(gè)物體與另一個(gè)物體引力之間的大小。例如：地球與外部質(zhì)點(diǎn)的之間引力；太陽(yáng)與行星的之間的引力；地球與另一連續(xù)分布物體之間的引力等等。若不能把兩個(gè)物體都當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，就必須要考慮不同物體的形狀和質(zhì)量主要分布的情況。

下面我們從萬(wàn)有引力出發(fā)，通過(guò)具體公式來(lái)看各種情形的勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式及性質(zhì)。

2.1 單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)函數(shù)

由牛頓萬(wàn)有定律可知，設(shè)在P0(x0,y0,z0)點(diǎn)有質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)，p(x，y，z)點(diǎn)有質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)，那么質(zhì)點(diǎn)p與質(zhì)點(diǎn)p0之間的萬(wàn)有引力為:

若令

則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)處于它周?chē)馁|(zhì)點(diǎn)有引力的作用，該力的大小與質(zhì)量m成正比，與距離r成反比。

由勢(shì)函數(shù)定義可知，p點(diǎn)引力場(chǎng)的引力勢(shì)函數(shù)為:

那么，引力與引力場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)有如下關(guān)系

所謂說(shuō)勢(shì)函數(shù)是指把一個(gè)物體放在某個(gè)場(chǎng)里面，這個(gè)場(chǎng)就會(huì)對(duì)這個(gè)物體產(chǎn)生吸引力或排斥力，并且這個(gè)場(chǎng)在不同的位置產(chǎn)生的吸引力或排斥力也不同。

定理1 拉普拉斯發(fā)現(xiàn)，若p(x，y，z)是一個(gè)孤立的點(diǎn)，則其對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)u(x，y，z)為調(diào)和函數(shù)，即

Δu(x，y，z)=0.

證明：因?yàn)?/p>

其中G，m是常數(shù)，所以

因此，

=0.

2.2 多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)函數(shù)

若現(xiàn)在考察的質(zhì)點(diǎn)有許多個(gè)，例如在點(diǎn)a1，a2…al處有質(zhì)量分別為M1，M2…Ml的l個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則該l個(gè)質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的引力場(chǎng)勢(shì)函數(shù)為:

其中G是重力常數(shù)。同理，該勢(shì)函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。

2.3 連續(xù)分布的勢(shì)函數(shù)

如果我們考慮的質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)質(zhì)點(diǎn)，例如它的質(zhì)量均勻的分布在一個(gè)球上，并且質(zhì)點(diǎn)分布的的密度函數(shù)為ρ(x)，則它對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)為:

其中Ω表示連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)代表的幾何圖形。此處積分是對(duì)y積分，因此求拉普拉斯算子可以證明該勢(shì)函數(shù)也為調(diào)和函數(shù)。

定理2 在物理上，實(shí)際上勢(shì)函數(shù)是把單位質(zhì)量物體移到無(wú)窮遠(yuǎn)處做的功，即

前面我們已經(jīng)知道了勢(shì)函數(shù)的各種表現(xiàn)形式，那么對(duì)于一些特殊分布的質(zhì)點(diǎn)它的勢(shì)函數(shù)是怎樣的呢？

定理3 單位球的勢(shì)函數(shù)與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)函數(shù)一樣，即

(r表示質(zhì)點(diǎn)到單位球球心的距離)。

證明：若質(zhì)點(diǎn)均勻分布在單位球BR上，其總質(zhì)量為M，如圖

令u(x)=u(r)，|x|=r.其中r表示p點(diǎn)到球心的距離，和定理1一樣證明，可得

Δu=0.

則

可以發(fā)現(xiàn)上式是一個(gè)簡(jiǎn)單的常微分方程，可采用變量分離的方法求解，所以

等同于求解

則

lnu′(r)=-2lnr+c，

兩邊同時(shí)取指數(shù)

對(duì)上式兩邊取不定積分，則

(1)

又因?yàn)?/p>

(2)

綜合(1)(2)式，則

c=-GM，D=0

即

結(jié)論：說(shuō)明球體物體的勢(shì)函數(shù)與質(zhì)量成正比，與距離r成反比，即與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)函數(shù)一樣。

2.4 球殼外的勢(shì)函數(shù)

定理4 對(duì)于一個(gè)質(zhì)量均勻分布的球殼{R1<|x|

證明：略(和定理3一樣證明)。

2.5 球殼內(nèi)的勢(shì)函數(shù)

定理5 對(duì)于一個(gè)質(zhì)量均勻分布的球殼{R1<|x|

u(x，y，z)=c.

(其中c為常數(shù))。

證明：如圖

設(shè)p是球殼內(nèi)任意一點(diǎn)，我們考慮球殼在p點(diǎn)處的勢(shì)函數(shù)，不失一般性，設(shè)p點(diǎn)處的坐標(biāo)為p(0，0，r)；r

dv=Rsinθdφ·Rdθ·dR，

=R2sinθdφdθdR.

因此，該處的勢(shì)函數(shù)為:

其中

l2=R2+r2-2Rrcosθ.

因此，勢(shì)函數(shù)為：

=(R2-R1)2πGρ(y)R

=c

因?yàn)槊芏染鶆蚍植?，?y)是一個(gè)常數(shù)。

3 均值公式

現(xiàn)在設(shè)Ω是Rn上的一個(gè)開(kāi)集，且u是Ω上的一個(gè)調(diào)和函數(shù)，我們將從勢(shì)函數(shù)的角度來(lái)推導(dǎo)調(diào)和函數(shù)的均值公式，它說(shuō)明函數(shù)u在點(diǎn)x∈Ω上的取值u(x，y，z)等于u在球面?B(x,R)上的平均值，也等于它在球B(x,R)上的平均值。[1]

定理6 假設(shè)u是調(diào)和函數(shù)，并在B(x,R)={y∈Rз|(zhì)x-y|

則

接下來(lái)我們利用勢(shì)函數(shù)

來(lái)證明均值公式，為計(jì)算方便，設(shè)Gm為常數(shù)1，令

由定理1可知

Δu(x，y，z)=0.

由上述推導(dǎo)可知，要證明均值公式，即證

也就是要證

也就是需要證明在空間a點(diǎn)處關(guān)于單位質(zhì)量的球面?B(x,R)的勢(shì)函數(shù)等于在x處單位質(zhì)量所產(chǎn)生的引力在空間a點(diǎn)處的引力勢(shì)。

證明：如圖

由于空間a點(diǎn)是空間中任意的一點(diǎn)，為不失一般性，則設(shè)a點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m，0)，球面任意一個(gè)微元圈的圓心記為E(0，e，0)，由于球的半徑為R，則小圓環(huán)半徑為r=Rcosθ，點(diǎn)a到小圓環(huán)圓心E處的距離為d=m-Rcosθ，則

小圓環(huán)周長(zhǎng)：2πr=2πRsinθ.

小圓環(huán)面積：S=2πR2sinθdθ.

點(diǎn)a到球面上的微元圈的距離為：

因此，在空間a點(diǎn)處的勢(shì)函數(shù)為：

因此，定理得證。