一種適合迭代求解的反饋力浸入邊界法

李旭，周洲，薛臣

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

工程實際中存在大量的流固耦合問題，物體存在復(fù)雜的運動或變形，這給數(shù)值求解帶來了困難。傳統(tǒng)的貼體網(wǎng)格方法已經(jīng)實現(xiàn)了對此類問題的計算，如動網(wǎng)格方法、嵌套網(wǎng)格方法。但是這些方法都不可避免地需要網(wǎng)格的運動，這就帶來了新的問題。當(dāng)物體出現(xiàn)大變形或大位移時，動網(wǎng)格方法計算可能會出現(xiàn)負網(wǎng)格，而嵌套網(wǎng)格方法則容易出現(xiàn)孤兒網(wǎng)格[1]，這都會影響計算的穩(wěn)定性。

浸入邊界法[2-3]采用笛卡爾網(wǎng)格進行計算，物面用一系列離散的Lagrange點表示，通過邊界對周圍流體網(wǎng)格施加力或直接施加速度邊界條件來等效物體對流體的作用。在對運動邊界進行計算時，只需要改變Lagrange點的作用區(qū)域，并不需要流體網(wǎng)格的運動，避免了傳統(tǒng)貼體網(wǎng)格方法網(wǎng)格的變形或運動，不僅保證了網(wǎng)格質(zhì)量，還降低了復(fù)雜幾何的網(wǎng)格生成難度。經(jīng)過多年的發(fā)展，目前已經(jīng)出現(xiàn)了許多種不同形式[4-5]的浸入邊界法。Goldstein的反饋力浸入邊界法(又稱虛擬邊界法，Virtual Boundary Method)正是這些方法中的一種[6-7]。該方法基于非定常Navier-Stokes(N-S)方程提出，其吸取了控制理論中反饋的思想，分別采用積分和比例環(huán)節(jié)，利用物面的速度誤差計算力源項，并利用力源不斷對流場進行反饋，最終實現(xiàn)無滑移邊界條件。該方法形式簡單，不用對物體內(nèi)外的流體網(wǎng)格單元進行區(qū)分，也不用對已有求解器進行大的改動，因此方便使用[8-9]，已經(jīng)成功應(yīng)用到了柔性變形[10-12]、撲翼運動[13-15]、葉柵顫振[16-19]、多相流計算[19]等問題上。

Goldstein的反饋力浸入邊界法含有對時間的積分項，這也是目前國內(nèi)外學(xué)者將該方法與非定常N-S方程求解結(jié)合的原因之一。對控制方程的求解采用的方法包括譜方法[9]、投影法[15,20]、格子玻爾茲曼方法[21]等，多為顯式時間推進。Goldstein的反饋力方法在應(yīng)用時有兩個不便：第一，積分和比例環(huán)節(jié)的反饋系數(shù)需要人為給定；第二，計算存在穩(wěn)定性問題。原始的反饋力浸入邊界法在進行顯式計算時，出于穩(wěn)定性的要求，求解方法有非常嚴(yán)格的時間步長限制[20,22]。顯式計算本來就有穩(wěn)定性要求，采用反饋力浸入邊界法后，受反饋力系數(shù)取值的影響，計算的時間步將必須取得很小，不然會引起發(fā)散，這降低了求解的效率。文獻[21]指出Lee研究了在采用反饋力浸入邊界法時不同時間推進方法的穩(wěn)定性范圍，對比了Adams-Bashforth格式與Runge-Kutta格式的差異，結(jié)果表明Runge-Kutta類方法穩(wěn)定性較強，但CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)數(shù)仍不能超過1。Shoele和Zhu[12]將加權(quán)隱式Crank-Nicolson格式與反饋力浸入邊界法結(jié)合，但反饋力源項仍然按照時間步進行更新，為保證格式的有界性，時間步長仍要受到限制。

由此可知，顯式求解制約了反饋力浸入邊界法發(fā)揮作用。與此相對，隱式方法通常是無條件穩(wěn)定的，計算時可采用更大的時間步，更加適合實際的工程計算。因此，將隱式求解方法與反饋力浸入邊界法結(jié)合是一種不錯的選擇。另外，對于一些不可壓的定常流動，往往可直接利用松弛迭代方法對不含時間項的N-S方程進行求解，如果能將反饋力浸入邊界法與這類定常求解方法結(jié)合，將進一步拓展該方法的使用范圍，但目前還未見到這方面研究公開發(fā)表。

基于以上思考，本文對Goldstein的反饋力浸入邊界法進行了改進，將原始方法中的時間積分項改為對迭代次數(shù)的求和。與原始方法相比，改進的方法不再含有與時間相關(guān)的參數(shù)。本文對一系列的定常與非定常算例進行了計算，結(jié)果表明改進后的方法可同時用于定常與非定常N-S方程的求解，這為以后反饋力浸入邊界法的應(yīng)用提供了新的選擇。

1 數(shù)值計算方法

1.1 控制方程

非定常不可壓的N-S方程組為

(1)

式中：ρ為密度;p為壓力；μ為層流黏性系數(shù)；F(x,t)為流體的力源項，其計算公式為

(2)

其中：f(xs,t)為物體的力源項；δ(x-xs)為Delta函數(shù)[23]，積分前的負號表示物體的力源與流體的力源方向相反。Goldestein的反饋力浸入邊界法計算物體的力源項的表達式為

β′(u(x,t)-u(xs,t))

(3)

式中：u(x,t)為流體計算得到的物面速度，可通過Delta函數(shù)計算得到；u(xs,t)為物面真正的速度。式(3)含有兩個待定參數(shù)：α′和β′，需要人為給定，控制原理如圖1所示。

圖1 反饋力浸入邊界法原理Fig.1 Principle of feedback forcing immersed boundary method

圖1中的比例積分環(huán)節(jié)代表式(3)，通過每個時間步的速度誤差反饋，使|u(x,t)-u(xs,t)|趨于0，從而實現(xiàn)無滑移邊界條件。

Delta函數(shù)是物面節(jié)點與流場網(wǎng)格單元信息交流的關(guān)鍵，其形式并不唯一，本文選用的Delta函數(shù)為

δ(r)=

(4)

阻力系數(shù)的計算參考文獻[20]，表達式為

(5)

式中：右邊第1項表示物面上力源的積分，S指物體表面，fx為反饋力法計算物面上一點x方向的動量源項；第2項反映運動加速度的效應(yīng)，V表示物體的體積；uc,x表示物體質(zhì)心平動速度在x方向的分量。同理可得物體其他方向的受力。本文所有算例的密度均取為ρ=1.0 kg/m3。需說明的是，本文在采用式(2)計算時，反饋力參數(shù)均取正值。

1.2 反饋力浸入邊界法的改進

Goldstein的反饋力浸入邊界法(后文統(tǒng)稱原始方法)與顯式求解方法結(jié)合將嚴(yán)重限制計算的效率，難以在工程應(yīng)用中推廣。而隱式格式通常沒有穩(wěn)定性的限制，將反饋力浸入邊界法與隱式格式結(jié)合，是一種有效的解決辦法，也能更好地發(fā)揮反饋力浸入邊界法的優(yōu)點，這正是本文改進方法的出發(fā)點。

在進行數(shù)值計算時，Goldstein反饋力的計算公式可寫為

β′(u(x,t)-u(xs,t))

(6)

式中：i表示時間步數(shù)，t=N′·Δt，N′表示當(dāng)前的時間步數(shù)。即式(3)中對時間的積分項化為了對時間步的求和。通過對不同時間步的速度誤差進行反饋來最終滿足物面邊界條件，這是目前國內(nèi)外學(xué)者計算時采用的通用方式。

從純反饋的原理出發(fā)，通過對式(6)進行分析，本文認(rèn)為既然α′和β′需要人為給定，可以對其重新進行定義，令α=α′·Δt，β=β′，則可得

β(u(x,N)-u(xs,N))

(7)

式中：N表示當(dāng)前計算的迭代次數(shù)。式(7)不含時間相關(guān)的參數(shù)，積分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)化為不同次迭代速度誤差的求和，而非式(6)中不同時間步速度誤差的求和，這是與原始方法最大的不同之處。相同的是，仍然是通過對流場速度誤差的反饋來計算力源項。相比式(6)，改進后的方法有兩方面的好處：第一，由于不含時間相關(guān)參數(shù)，可直接與一些定常N-S方程迭代求解方法結(jié)合；第二，在非定常計算時，通過迭代次數(shù)來計算力源項更加適合隱式求解，因為隱式推進一個時間步內(nèi)往往有多次迭代的要求。

進一步來看，方程求解的迭代過程就是流域內(nèi)的網(wǎng)格單元速度不斷調(diào)整，達到收斂，從而與給定邊界條件相適應(yīng)的過程，這正好與控制系統(tǒng)中的反饋作用相類似。當(dāng)實際的輸出量與給定值存在偏差時，系統(tǒng)就不斷通過誤差反饋來減小偏差，從而使得輸出量等于給定值。也就是說，直接利用迭代過程中的速度誤差來計算力源項，并將其反饋給流體以期實現(xiàn)無滑移邊界條件是可行的，反饋原理的本質(zhì)不應(yīng)與N-S方程的具體求解方法有關(guān)。

因此，改進的方法將具有更大的適用性。本文改進的方法不僅能與含有時間項的N-S方程進行結(jié)合，還能與不含時間項的N-S方程進行迭代求解，本文將對這一觀點進行驗證。

Fluent是目前一款應(yīng)用較廣泛的CFD商業(yè)軟件，其基于有限體積法，求解器分為兩大類：密度基和壓力基。密度基求解器定常與非定常計算均按照時間推進求解，壓力基求解器則不同。對于定常計算，壓力基求解器求解的是不含時間項的N-S方程，非定常計算才含有時間項，且為隱式時間推進[24]。本文選用壓力基求解器，基于軟件中的用戶自定義函數(shù)(User-Defined Functions， UDFs)，通過一系列定常與非定常算例的計算，驗證本文改進反饋力浸入邊界法的有效性。

各個算例空間離散均采用二階精度。對于非定常計算，時間推進則采用一階隱式。定常計算可直接根據(jù)迭代進行力源的更新。對于非定常隱式計算，改進方法的實施步驟如下：

步驟1初始化，讀入物面Lagrange點坐標(biāo)。

步驟2每個時間步開始，如果物面位置發(fā)生變化，則更新Lagrange點，并在本時間步的迭代過程中保持其坐標(biāo)不變。根據(jù)迭代次數(shù)，利用改進方法進行力源項的更新，并將其添加到動量方程中，參與控制方程的求解。

步驟3待本時間步迭代收斂，利用最終的力源進行本時間步物體受力的計算。

步驟4重復(fù)步驟2和步驟3，進行下一時間步的計算。

反饋力源的計算在DEFINE_ADJUST宏中進行，并通過DEFINE_SOURCE宏將其加給動量方程。關(guān)于UDF更多的使用細節(jié)，可參考Fluent自帶的UDF Manual進行了解。

2 改進反饋力浸入邊界法的驗證

2.1 靜止圓柱繞流

對靜止圓柱繞流的計算是驗證數(shù)值方法的經(jīng)典算例。首先，本文對雷諾數(shù)Re=40時靜止圓柱的流動進行了計算，以此來驗證本文改進的反饋力方法在定常N-S方程求解時的有效性。采用Fluent壓力基求解器中兩種不同的定常計算方法，控制方程求解均不含時間項，進行松弛迭代求解。此時由于計算不再是時間推進求解，Goldstein的原始公式不再適用。

圓柱表面均勻分布75個Lagrange點，所在流域采用均勻網(wǎng)格，網(wǎng)格間距Δx的選取采用文獻[25]的方法,計算網(wǎng)格量為29 380。

如圖2所示，計算源項時需要對網(wǎng)格單元進行搜索，為減少搜索的范圍，流體網(wǎng)格被分成了內(nèi)外兩個域。圓柱阻力系數(shù)的定義為

(8)

式中：U∞為自由來流速度，U∞=5.84 m/s；D為圓柱直徑，D=1×10-4m。采用矩形計算域，60D×40D。入口采用速度入口，出口采用壓力出口，上下邊界設(shè)置為對稱邊界條件，空間離散采用二階精度。將分別基于Simplec和Couple算法對靜止圓柱繞流進行計算。其中Simplec為分離式求解(經(jīng)典的壓力修正算法)，Couple則為耦合式求解，以此來檢驗改進方法對不同求解格式的可靠性。

圖2 計算網(wǎng)格分布Fig.2 Grid distribution in simulation

確定好網(wǎng)格和邊界條件后，就需要對α和β進行取值。雖然反饋原理的本質(zhì)不變，但α和β的取值會影響到反饋的效果。α和β選取過大，會引起計算振蕩，甚至導(dǎo)致顯式計算發(fā)散；選取過小，會使得收斂變慢[9]。正如前文所說，目前并沒有理論的方法確定α和β的最優(yōu)值，這與計算狀態(tài)和求解器本身相關(guān)，本文選取的值也是經(jīng)過嘗試確定的。

本文研究了α和β的取值對計算結(jié)果的影響。由于物體靜止，式(5)中的第2項為0?；赟implec算法，對比不同反饋力參數(shù)對計算收斂的影響，結(jié)果如圖3所示。

圖3 反饋力參數(shù)對收斂的影響Fig.3 Influence of feedback forcing parameters for iteration

在3種不同取值下，阻力系數(shù)均收斂到了相同值。取α=1.0，β=0.1時，阻力系數(shù)的振蕩比較明顯，即超調(diào)量大；取α=0.01，β=0.001時，阻力系數(shù)波動幅值較小，但達到平穩(wěn)速度較慢。因此，確定本算例反饋力參數(shù)α=0.1，β=0.01。

在計算過程中，每進行一次迭代，反饋力的源項都會得到更新，再將式(7)的力源分布到周圍的流體網(wǎng)格上，進行下一次迭代，如此反復(fù)進行，直到計算收斂。

取Simplec計算收斂后流場的流線如圖4所示。由于雷諾數(shù)較小，可以看出圓柱后方形成了兩個對稱、穩(wěn)定的分離渦。表1是計算得到的圓柱繞流特征參數(shù)(阻力系數(shù)CD和無量綱回流區(qū)長度L/D)，分別是兩種求解方法與改進的反饋力浸入邊界法結(jié)合(表中用Simplec和Couple表示)，并與文獻[26-28]的結(jié)果對比。通過圓柱繞流特征參數(shù)的對比可知，本文計算得到的圓柱阻力系數(shù)和回流區(qū)的長度與文獻符合較好。

再取圓柱表面的壓力系數(shù)Cp與文獻[29]對比，如圖5所示。可以看出，本文改進方法計算的壓力系數(shù)與文獻[29]給出的計算結(jié)果符合很好，表明本文改進的反饋力浸入邊界法是有效的。不同于原始方法，本文改進的方法能用于不含時間項N-S方程的迭代求解，且反饋力系數(shù)取值對收斂結(jié)果沒有大的影響。由于Simplec計算求解速度快，本文以后的計算均采用Simplec算法。

圖4 圓柱流線(Re=40)Fig.4 Streamlines on circular cylinder at Re=40

表1 Re=40阻力系數(shù)和回流區(qū)長度對比

圖5 靜止圓柱壓力系數(shù)Fig.5 Pressure coefficient for stationary circular cylinder

以上計算求解的是不含時間項的N-S方程，為驗證改進方法在非定常隱式求解上的有效性，本文對Re=40時的圓柱繞流進行了非定常模擬。同樣基于Simplec算法，對含有時間項的N-S方程進行求解，對原始反饋力浸入邊界法與改進方法的收斂效果進行對比。

在進行隱式計算時，原始方法的源項是按照時間步進行計算的，則每個時間步只在最開始進行更新，一個時間步內(nèi)其值保持不變。本文改進方法的源項基于迭代次數(shù)計算，每一次迭代后源項均會得到修正，一個時間步內(nèi)其值一般是變化的。

時間步長取為0.002 s，一個時間步內(nèi)迭代20次，采用相同的計算設(shè)置，對兩種方法的收斂特性進行對比。圖6為阻力系數(shù)的收斂曲線。可以看出，采用原始方法進行隱式計算時收斂較慢，特別是在快接近穩(wěn)定值的時候，最終到500個時間步才完全收斂。而本文改進的方法則很快收斂，阻力在100個時間步后就達到平穩(wěn)。

參考文獻[14]，定義CFL數(shù)為

式中：Δx=2.96×10-6m，為圓柱周圍Euler網(wǎng)格尺寸。本文改進方法隱式計算與文獻顯式結(jié)果對比如表2所示。由于本文是隱式求解，與顯式計算[8, 14]相比，CFL數(shù)可以取的很大，這也體現(xiàn)了隱式求解的好處。

圖6 靜止邊界隱式計算收斂效率對比Fig.6 Comparison of efficiency for implicit iterations at stationary boundary

從數(shù)值求解上來看，在代數(shù)方程求解的過程中，源項影響的是方程組的常數(shù)項。隱式求解每一次迭代都修正源項，使得源項與速度場的同步性得到改善，能起到加速收斂的作用。也就是說，改進的方法更加適合非定常隱式求解。

表2 Re=40時隱式與顯式結(jié)果對比

2.2 振蕩圓柱

為驗證改進方法對運動邊界模擬的可行性，選取靜止流體中往復(fù)振動的圓柱[29-30]進行非定常計算，采用Simplec算法求解不可壓非定常N-S方程，通過與文獻對比來驗證本文方法在運動物體求解上的有效性。

本算例計算域的大小取為40D×40D，圓柱將在水平方向進行往復(fù)運動，平衡位置在原點處，運動方程為

x(t)=-Asin(2πft)

(9)

式中：x為圓柱水平方向位移；A為振動幅值；f為振動頻率。

在本算例中，影響計算結(jié)果的關(guān)鍵參數(shù)為雷諾數(shù)Re和KC(Keulegan-Carpenter)數(shù)，分別定義為

(10)

式中：umax為圓柱振動的最大速度，umax=2πfA。本文選取Re=100，KC=5。

參考文獻[8]，四周遠場邊界設(shè)置為無剪切的物面條件。由于采用隱式計算，一個周期只取360個時間步，每個時間步內(nèi)迭代次數(shù)為20次。反饋力參數(shù)取值見表3。

對于圓柱表面運動速度的計算，可直接對式(9) 求導(dǎo)獲得，然后將該速度代入式(7)中進行力源項的計算。在一個時間步內(nèi)，圓柱的位置不會變化，每迭代一次，流場速度得到更新，反饋力

表3 不同算例反饋力參數(shù)Table 3 Feedback parameters for different cases

源項就會進行更新，然后再將其添加到動量方程中，進行下一次迭代，直到該時間步收斂。

與2.1節(jié)相同，流場網(wǎng)格分為了兩個域，內(nèi)區(qū)域網(wǎng)格量為40 000，圓柱運動過程都在其中，外區(qū)域網(wǎng)格量為31 824，總計網(wǎng)格為71 824，物面有75個Lagrange點。在計算過程中，只對圓柱所在區(qū)域的網(wǎng)格進行搜索判斷以及反饋力源項的賦值。運動穩(wěn)定后，得到流場不同時刻的壓力及渦量如圖7所示。

圖7中渦量的正負分別用虛線和實線表示，當(dāng)圓柱向遠離平衡位置方向運動時，其后會形成兩個強度相同、方向相反的對稱渦；而當(dāng)圓柱向平衡位置返回時，其將分開之前形成的這對渦，并改變渦的旋轉(zhuǎn)方向，這種現(xiàn)象與文獻[30]一致。

圖7 不同相位下的渦量/壓力等值線Fig.7 Vorticity/pressure contours at different phase angles

取改進方法計算的圓柱一個周期的阻力曲線與文獻進行對比，如圖9所示。可以看出，阻力的最大、最小值并不是在特殊相位(t=0.25nT，n為正整數(shù)，T為振動周期)時取得，這與圓柱運動過程中流體的慣性有關(guān)，表現(xiàn)出了遲滯特性，計算得到的振動圓柱阻力的變化與文獻[30]符合較好。

圖8 運動邊界隱式計算效率對比Fig.8 Comparison of efficiency for implicit iterations at moving boundary

圖9 阻力系數(shù)變化曲線Fig.9 Time history of drag coefficient

以上結(jié)果表明本文改進的反饋力浸入邊界法可與隱式求解方法結(jié)合，對運動物體進行迭代計算，且收斂效果優(yōu)于原始方法。

2.3 運動橢圓翼

振動圓柱只有一個方向的運動，橢圓翼的運動要更加復(fù)雜，其不僅有平動，還有繞自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，可用其來研究昆蟲翅膀運動時非定常流動機理[31]。本節(jié)將選取靜止流體中的橢圓翼來驗證本文改進方法對物體復(fù)雜運動的模擬能力。

橢圓翼運動如圖10[31]所示，質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動規(guī)律為

(11)

(12)

阻力系數(shù)和升力系數(shù)的定義分別為

(13)

圖10 橢圓翼運動路徑[31]Fig.10 Flapping path of ellipse wing[31]

式中：c為橢圓翼的長軸長，取c=1 m。橢圓翼的短軸長b=0.25 m。一個周期T分為360個時間步，內(nèi)迭代次數(shù)為20。選取計算域為80c×80c，四周遠場邊界采用無剪切壁面，總網(wǎng)格量為164 160。由于運動比較復(fù)雜，物面取150個Lagrange點。

計算穩(wěn)定后，得到橢圓翼運動周期內(nèi)不同時刻的渦量圖如圖11所示。在向下運動過程中，橢圓翼前后緣會產(chǎn)生一對反向旋轉(zhuǎn)的渦(t=0.25T)，由于橢圓翼自身的旋轉(zhuǎn)作用，這對渦將逐漸靠近(t=0.44T)。在向上撲動過程中，之前形成的這對渦會從橢圓翼表面脫落(t=0.74T)，形成一對相互作用的偶極子，并向下運動(t=0.99T)。

得到橢圓翼的阻力和升力變化規(guī)律如圖12所示?？梢钥闯?，由于橢圓翼流場非定常特性明顯，其氣動力變化并不是簡單的正弦曲線。另外，本文計算的橢圓翼的升力阻力變化與文獻[14]基本一致，且相比文獻[14]，計算沒有明顯的數(shù)值振蕩，表明可以利用本文改進的方法進行隱式計算，對復(fù)雜的非定常運動進行模擬。

圖11 一個周期內(nèi)不同時刻的渦量圖Fig.11 Vorticity fields during one period

圖12 撲動過程中的氣動力曲線Fig.12 Curves of aerodynamic coefficients during flapping

2.4 靜止圓球

為進一步驗證本文方法對三維物體模擬的可靠性，選取靜止圓球進行定常計算，求解不含時間項的N-S方程。采用Simplec算法，計算域大小為80D×60D×60D，D=0.001 m。

為減少網(wǎng)格量，本文在圓球所處的流域進行了局部網(wǎng)格加密，如圖13所示，加密后總的網(wǎng)格量為282萬。遠場邊界分別采用速度入口和壓力出口。

圓球表面的網(wǎng)格如圖14所示，采用三角形單元來離散球面，共計有3 860個單元。來流速度分別取15 m/s和25 m/s，對Re=150和Re=250時的圓球繞流進行計算，得到流場如圖15所示。可以看出，在Re=150時，繞圓球的流動是軸對稱的。但在Re=250時，雖然圓球本身是軸對稱的，但流動的對稱性減弱，x-y面的流動和x-z面的流動存在差異，流場只存在面對稱，即上下對稱。由于x-z面渦不對稱，圓球產(chǎn)生了側(cè)力，但流動依舊保持穩(wěn)態(tài)。

圖13 局部網(wǎng)格加密Fig.13 Local refining for computation mesh

圖14 圓球表面的Lagrange網(wǎng)格單元Fig.14 Lagrange mesh of sphere surface

圖15 不同雷諾數(shù)圓球繞流流線Fig.15 Streamlines for flow past sphere at different Re

本文計算得到圓球的受力與文獻對比如表4所示?？梢钥闯觯疚挠嬎憬Y(jié)果與文獻結(jié)果符合較好，在Re=250時，圓球產(chǎn)生了側(cè)力(表中用Cc表示)。表明本文改進的反饋力浸入邊界方法適合三維物體的計算。

表4 圓球氣動特性對比

3 結(jié) 論

本文對Goldstein的反饋力浸入邊界法進行了研究和改進，將原始方法中含有的對速度誤差的時間積分轉(zhuǎn)化為迭代過程中速度誤差的求和，利用多個定常與非定常算例驗證了改進方法的有效性。得到的主要結(jié)論有：

1) 可直接基于迭代次數(shù)對反饋力源項進行計算。與原始方法相比，由于不含時間相關(guān)參數(shù)，改進的反饋力浸入邊界法可與求解定常N-S方程的松弛迭代方法結(jié)合，用于定常流動計算。

2) 隱式時間推進可以避免反饋力浸入邊界法顯式求解時嚴(yán)格的時間步長限制。本文改進的反饋力浸入邊界法適合于隱式時間推進，可實現(xiàn)對非定常N-S方程的求解，且收斂特性要優(yōu)于原始方法。

3) 改進的方法與原始方法均是基于速度誤差反饋的思想求解力源項，但本文改進的反饋力浸入邊界法有更廣泛的適用性。