高超聲速滑翔目標(biāo)自適應(yīng)跟蹤方法

黃景帥，李永遠(yuǎn)，湯國建,*，包為民, 3

1. 國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073 2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076 3. 中國航天科技集團(tuán)有限公司，北京 100048

與傳統(tǒng)彈道式目標(biāo)不同，高超聲速滑翔目標(biāo)(Hypersonic Glide Target, HGT)具有大升阻比的氣動(dòng)外形，在臨近空間以大于5的馬赫數(shù)飛行，依靠氣動(dòng)力實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離滑翔和大范圍機(jī)動(dòng)[1]。隨著HGT相關(guān)技術(shù)日趨成熟，對(duì)該類目標(biāo)的跟蹤引起了廣泛的關(guān)注，主要的難點(diǎn)在于較低的飛行高度降低了雷達(dá)可探測的時(shí)間、所建立的跟蹤模型難以囊括其復(fù)雜多變的機(jī)動(dòng)模式[2-3]。

與跟蹤其他機(jī)動(dòng)目標(biāo)相比，跟蹤HGT存在一定的特殊性但也存在普遍性，相同的條件下量測傳感器精度完全由所建立的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型和采用的濾波算法決定，因此如何實(shí)現(xiàn)高精度的HGT跟蹤也是主要涉及這兩方面。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型用于表征目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)，特別是機(jī)動(dòng)目標(biāo)，濾波算法基于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型從噪聲量測中提取出目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。常用的運(yùn)動(dòng)模型包括常速度(Constant Velovity, CV)模型(屬于非機(jī)動(dòng)模型)常加速度(Constant Acceleration, CA)模型、Singer模型、當(dāng)前統(tǒng)計(jì)(Current Statistics, CS)模型、Jerk模型等，除了CV其他均屬于機(jī)動(dòng)模型[4]。由于HGT依靠氣動(dòng)力實(shí)施機(jī)動(dòng)，因此氣動(dòng)力加速度對(duì)于跟蹤系統(tǒng)來說是主要的未知輸入項(xiàng)，對(duì)其建模的優(yōu)劣一定程度上決定了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的匹配性[5]。文獻(xiàn)[2]將HGT氣動(dòng)力加速度中的未知?dú)鈩?dòng)系數(shù)項(xiàng)建模成維納隨機(jī)過程，并擴(kuò)展至系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)其進(jìn)行濾波估計(jì)，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定跟蹤。文獻(xiàn)[6]中采用與文獻(xiàn)[2]中類似的建模方法，分別對(duì)HGT非跳躍式和跳躍式2種飛行軌跡進(jìn)行了跟蹤濾波，發(fā)現(xiàn)當(dāng)非跳躍式軌跡中的傾側(cè)角發(fā)生符號(hào)翻轉(zhuǎn)時(shí)由于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型匹配不及時(shí)會(huì)引起較大的估計(jì)誤差。文獻(xiàn)[3,7]進(jìn)一步考慮了各氣動(dòng)系數(shù)之間的耦合，給出了更加精確的氣動(dòng)力加速度模型，但是需要一定先驗(yàn)控制量的假設(shè)。上述模型均是從動(dòng)力學(xué)的角度出發(fā)，對(duì)氣動(dòng)力加速度進(jìn)行精細(xì)建模，稱之為“動(dòng)力學(xué)”模型。當(dāng)然，從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度也可直接將HGT的加速度或氣動(dòng)力加速度建模成已有的機(jī)動(dòng)模型，但是與“動(dòng)力學(xué)”模型相比通常缺乏理論根據(jù)性和清晰的物理意義，跟蹤精度對(duì)模型的參數(shù)較為敏感，需設(shè)置合適[6,8]。

由于HGT機(jī)動(dòng)模式多樣，利用單一固定模型的適應(yīng)性較差，難以獲得高精度的跟蹤，甚至針對(duì)HGT的某種機(jī)動(dòng)形式現(xiàn)有的機(jī)動(dòng)模型均不能較好地匹配，例如HGT為了調(diào)整側(cè)向運(yùn)動(dòng)會(huì)發(fā)生傾側(cè)角符號(hào)的切換[9]。文獻(xiàn)[10]基于非零均值正弦波相關(guān)模型對(duì)目標(biāo)加速度進(jìn)行均值補(bǔ)償和方差自適應(yīng)，提高了跟蹤高超聲速跳躍滑翔式目標(biāo)時(shí)的模型適應(yīng)性。文獻(xiàn)[11]在認(rèn)為控制變量服從一階時(shí)滯過程的前提下，實(shí)現(xiàn)了氣動(dòng)參數(shù)模型與飛行狀態(tài)的自適應(yīng)匹配，仿真結(jié)果表明當(dāng)HGT目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)所提模型的跟蹤性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[6]利用具有不同機(jī)動(dòng)頻率的CS模型構(gòu)成的交互式多模型(Interacting Multiple Model, IMM)對(duì)HGT進(jìn)行跟蹤，并對(duì)目標(biāo)氣動(dòng)力加速度方差進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，估計(jì)精度優(yōu)于傳統(tǒng)的CS模型。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)的IMM算法用于跟蹤HGT，提高了跟蹤精度和效率。上述基于自適應(yīng)模型的跟蹤方法通常需要一定的假設(shè)條件，其普適性和準(zhǔn)確性有待商榷，難以實(shí)用；而多模型方法中由于缺乏可靠先驗(yàn)信息使模型集個(gè)數(shù)和模型轉(zhuǎn)移概率難以確定，模型集過少不能全面地表征目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)，模型集冗余會(huì)增加計(jì)算量、引起模型間的競爭，跟蹤精度甚至得不到提升。此外，在跟蹤HGT的仿真驗(yàn)證時(shí)，被跟蹤軌跡的設(shè)計(jì)大都未結(jié)合HGT實(shí)際可能采用的軌跡設(shè)計(jì)方法且未考慮完成制導(dǎo)任務(wù)的需求，致使跟蹤結(jié)果的可信度有所欠缺。

如前所述，目標(biāo)跟蹤精度和濾波算法也緊密相關(guān)，相同目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型采用不同的濾波算法通常會(huì)產(chǎn)生不同的估計(jì)精度，在目標(biāo)跟蹤中自適應(yīng)或魯棒的濾波方法已經(jīng)廣泛地用于處理模型誤差。針對(duì)系統(tǒng)模型中未知的噪聲統(tǒng)計(jì)特性，提出了多種噪聲估計(jì)器，其中基于極大后驗(yàn)準(zhǔn)則的Sage-Husa估計(jì)器由于結(jié)構(gòu)簡單、原理清晰得到了大量關(guān)注[13-15]。但是，文獻(xiàn)[16]指出Sage-Husa只有當(dāng)過程噪聲或量測噪聲已知其中之一才是有效的。而且，引入估計(jì)器后易引起濾波的不收斂[17]。對(duì)于狀態(tài)模型誤差，基于正交性原理的強(qiáng)跟蹤濾波(Strong Tracking Filtering, STF)表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性，其通過漸消因子放大預(yù)測狀態(tài)誤差的協(xié)方差，強(qiáng)迫模型誤差出現(xiàn)時(shí)正交性原理依然能夠盡可能滿足，進(jìn)而調(diào)整增益矩陣來增加新觀測數(shù)據(jù)的比重，以降低狀態(tài)估計(jì)誤差[18]。文獻(xiàn)[19]將STF用于跟蹤脈沖機(jī)動(dòng)衛(wèi)星，可快速地降低脈沖機(jī)動(dòng)引起的估計(jì)誤差，實(shí)現(xiàn)了高精度穩(wěn)定跟蹤。文獻(xiàn)[20]將STF應(yīng)用至高階容積卡爾曼濾波(Kalman Filtering, KF)，增強(qiáng)了其跟蹤目標(biāo)時(shí)的魯棒性。文獻(xiàn)[21]提出了一種歸一化的STF用于跟蹤小脈沖機(jī)動(dòng)的航天器。由此，針對(duì)HGT運(yùn)動(dòng)模型誤差幾乎無法避免的情況，也可配合魯棒的濾波算法來提高跟蹤精度。

眾所周知，系統(tǒng)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)卡爾曼濾波結(jié)果的影響較大。上述所提跟蹤方法大多通過不同方式對(duì)系統(tǒng)過程噪聲的協(xié)方差實(shí)施自適應(yīng)調(diào)整，最終提高跟蹤濾波精度。文獻(xiàn)[22]在跟蹤機(jī)動(dòng)飛機(jī)時(shí)通過CS模型中的目標(biāo)加速度遞歸方程和均值輸入估計(jì)方法提出了一種自適應(yīng)CS模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)過程噪聲協(xié)方差的自適應(yīng)調(diào)整。為解決跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)Singer模型參數(shù)的失配問題，文獻(xiàn)[23]采用多模型方法中的似然函數(shù)并根據(jù)其變化自適應(yīng)地調(diào)整最大加速度參數(shù)。對(duì)機(jī)動(dòng)模型中的關(guān)鍵參數(shù)實(shí)施自適應(yīng)調(diào)整的方法結(jié)構(gòu)簡單、原理清晰，對(duì)跟蹤HGT具有一定借鑒意義。

為了提高HGT跟蹤方法的適應(yīng)性和精度，本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上提出了一種機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)的跟蹤方法。首先將氣動(dòng)力加速度建模成形式簡潔的Singer模型，基于正交性原理和無跡卡爾曼濾波算法利用濾波新息計(jì)算得到可反映狀態(tài)模型誤差大小的調(diào)整因子，然后用于放大Singer模型中的機(jī)動(dòng)頻率參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)當(dāng)前模型誤差的自適應(yīng)。仿真結(jié)果表明所提方法的適應(yīng)性好、計(jì)算量小，能夠?qū)GT 2種典型的機(jī)動(dòng)飛行軌跡實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤。

1 目標(biāo)跟蹤模型

目標(biāo)跟蹤模型通常由狀態(tài)方程和量測方程組成，所建模型與目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)模式的匹配程度直接影響著跟蹤精度。

1.1 狀態(tài)方程

圖1給出了HGT相對(duì)于地基雷達(dá)再入運(yùn)動(dòng)的示意圖，oxyz表示雷達(dá)坐標(biāo)系，也即東北天坐標(biāo)系?？紤]地球旋轉(zhuǎn)，則HGT的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(1)

式中：δr/δt和δ2r/δt2分別為相對(duì)速度v和相對(duì)加速度；g和a分別為目標(biāo)所受的引力加速度和氣動(dòng)力加速度；ω和r分別為地球自轉(zhuǎn)角速度和目標(biāo)地心矢徑；2ω×(δr/δt)和ω×(ω×r)分別為科式加速度項(xiàng)和牽連加速度項(xiàng)。

圖1 目標(biāo)相對(duì)地基雷達(dá)的再入運(yùn)動(dòng)Fig.1 Target reentry motion relative to ground-based radar

為了獲得系統(tǒng)的狀態(tài)方程，需將式(1)投影至雷達(dá)坐標(biāo)系下。設(shè)v=[vx,vy,vz]T，則相對(duì)加速度的各分量為

(2)

考慮橢圓地球，則引力加速度的形式為[24]

g=grr0+gωω0

(3)

式中：r0和ω0分別為r和ω方向上的單位矢量，其各分量分別為

(4)

其中：r為目標(biāo)地心矢徑r的模;px、py和pz為p的3個(gè)分量;Ro為Ro的模；Bo為地理緯度;μo=Bo-φo，φo為地心緯度。gr和gω的表達(dá)式分別為

(5)

式中：μ為地球引力常數(shù);J2為帶諧修正系數(shù);aE為地球的長半軸。式(5)中，為了計(jì)算簡便近似地用地基雷達(dá)緯度φo替代目標(biāo)緯度φ。

科式和牽連加速度項(xiàng)的表達(dá)式分別為

(6)

(7)

式中：r=[rx,ry,rz]T;ω為ω的模。

氣動(dòng)力加速度作為HGT跟蹤系統(tǒng)中主要的未知輸入項(xiàng)，需進(jìn)行重點(diǎn)考慮。這里直接從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度，將a建模成現(xiàn)有的機(jī)動(dòng)模型?？紤]HGT一直受到氣動(dòng)力的作用，且機(jī)動(dòng)強(qiáng)度有所起伏，選用介于CV模型和CA模型之間的Singer模型來匹配a的真實(shí)變化，因此有[4,25]

(8)

式中：λx、λy和λz分別為3個(gè)方向上的機(jī)動(dòng)頻率；wx、wy和wz為互不相關(guān)的零均值高斯白噪聲，功率譜密度分別為2λxσ2、 2λyσ2和2λzσ2，σ2為當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)加速度的方差，表達(dá)式為

(9)

式中：amax為目標(biāo)加速度的最大幅值，目標(biāo)以amax或-amax實(shí)施機(jī)動(dòng)的概率均為Pmax，P0為目標(biāo)加速度為零的概率。

針對(duì)上述運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，系統(tǒng)狀態(tài)方程可寫

(10)

式中：X為系統(tǒng)狀態(tài)向量，具體表達(dá)式為

X=[px，py，pz，vx，vy，vz，ax，ay，az]T

(11)

F(X)的表達(dá)式見附錄A;w表示過程噪聲，為互不相關(guān)的零均值白噪聲向量，其自相關(guān)函數(shù)為

E[w(t1)wT(t2)]=Wδ(t1-t2)

(12)

式中：W為對(duì)角矩陣;δ(·)為狄拉克δ函數(shù)。

為了后續(xù)的濾波估計(jì)，需將式(10)進(jìn)行離散化。設(shè)采樣周期為T，則式(10)轉(zhuǎn)化為

(13)

(14)

1.2 量測方程

地基雷達(dá)提供的量測量包括相對(duì)距離R、方位角A和高低角E，如圖2所示。

圖2 地基雷達(dá)量測量Fig.2 Ground-based rabar measurements

由圖2，易得量測方程為

(15)

(16)

式中：p=[px，py，pz]T。

由于相對(duì)距離和角度之間的量級(jí)相差較大，為了降低濾波過程中出現(xiàn)矩陣條件數(shù)病態(tài)的可能性，將量測量轉(zhuǎn)換至直角坐標(biāo)系下，可表示為

(17)

式中:Hk為系數(shù)矩陣。

(18)

(19)

(20)

2 基于UKF算法的機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)

鑒于HGT機(jī)動(dòng)模式多樣，僅用單一固定的Singer模型難以表征氣動(dòng)力加速度的變化。在卡爾曼濾波過程中，新息反映著系統(tǒng)模型所存在的誤差。假設(shè)量測方程準(zhǔn)確的前提下，新息代表著狀態(tài)模型誤差，下面將其用于自適應(yīng)Singer模型中的機(jī)動(dòng)頻率參數(shù)。起始將式(8)中的機(jī)動(dòng)頻率取至很小，此時(shí)Singer模型無限接近于CA模型，認(rèn)為機(jī)動(dòng)加速度變化平緩。當(dāng)HGT機(jī)動(dòng)加速度變化幅度增加時(shí)，放大機(jī)動(dòng)頻率參數(shù)調(diào)整過程噪聲協(xié)方差。

由于狀態(tài)方程是非線性的，因此只能選用非線性的濾波算法。相比于擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended KF, EKF)，基于無跡變換的UKF省去了復(fù)雜雅克比矩陣的運(yùn)算，且具有更高的理論精度[26]。因此，選用UKF作為濾波估計(jì)的框架。

2.1 機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)

對(duì)于線性KF，若系統(tǒng)模型能夠完全匹配真實(shí)模型，則濾波器輸出的新息序列滿足正交性原理，即[26]

(21)

式中：ξk為新息向量，即量測量與其預(yù)測值的差。當(dāng)式(21)滿足時(shí)，意味著量測量中的有用信息被完全提取出來，因此新息序列的正交性可作為衡量濾波性能的標(biāo)志。

對(duì)于次優(yōu)的非線性濾波器，新息序列不可能是完全正交的。此時(shí)若是弱自相關(guān)的，即可認(rèn)為其具有較好的濾波性能。以EKF為例，考慮如下形式的非線性系統(tǒng)：

(22)

(23)

式中：Kk為濾波增益；Φk-1和Γk的表達(dá)式為

(24)

因此，對(duì)于EKF使新息正交性滿足的充分條件為

(25)

(26)

(27)

那么，量測量的預(yù)測值為

(28)

因此，ξk表示為

(29)

將式(29)和式(26)代入式(25)得

(30)

(31)

(32)

當(dāng)狀態(tài)模型存在誤差時(shí)，會(huì)導(dǎo)致式(32)不再滿足，左右兩端不相等的程度反映著誤差的大小，并采用左右兩端主對(duì)線上元素的比值對(duì)其進(jìn)行量化，具體形式為

(33)

式中：ζd稱為調(diào)整因子，反映了第d個(gè)量測通道上誤差大小。當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行大幅度機(jī)動(dòng)引起狀態(tài)模型誤差時(shí)，可利用ζd對(duì)機(jī)動(dòng)模型中的機(jī)動(dòng)頻率實(shí)施相應(yīng)調(diào)整，以降低模型誤差，提高濾波精度。當(dāng)存在模型誤差時(shí)，Vk的真實(shí)值在實(shí)際計(jì)算中是未知的，可以通過式(34)對(duì)其進(jìn)行估算：

(34)

式中：κ為遺忘因子，通常設(shè)置為0.95。

針對(duì)上述所建立的HGT跟蹤模型，量測量轉(zhuǎn)換后三通道上的調(diào)整因子可分別用于調(diào)整x、y和z方向上的機(jī)動(dòng)頻率，x方向的調(diào)整策略為

(35)

2.2 基于UKF算法的自適應(yīng)實(shí)現(xiàn)

由于式(33)是基于EKF推導(dǎo)得出的，不能直接嵌入至UKF框架下，因此采用如式(36)所示的等效計(jì)算式：

(36)

式中：Py為依賴式(22)所描述的模型計(jì)算得到的新息協(xié)方差矩陣的標(biāo)稱值，表達(dá)式為

(37)

對(duì)于式(22)所描述的非線性系統(tǒng)，首先對(duì)濾波器進(jìn)行如式(38)的初始化：

(38)

自適應(yīng)UKF算法可分為如下幾個(gè)步驟[26]：

1) 計(jì)算simga點(diǎn)和權(quán)重系數(shù)

(39)

(40)

式中：β為與系統(tǒng)狀態(tài)先驗(yàn)分布有關(guān)的常數(shù)，通常設(shè)為2。

2) 時(shí)間更新

(41)

(42)

3) 機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

4) 量測更新

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證所提方法跟蹤濾波的性能，首先設(shè)計(jì)2條典型HGT的飛行軌跡用于跟蹤，并與其他幾種跟蹤模型進(jìn)行對(duì)比。

3.1 HGT軌跡設(shè)計(jì)

以美國洛馬公司發(fā)布的通用飛行器CAV-H模型為研究對(duì)象，分別基于阻力加速度-速度剖面跟蹤和高斯偽譜優(yōu)化方法生成2條再入飛行軌跡?？紤]飛行過程中受多種約束的影響，主要設(shè)置最大過載為3g、最大動(dòng)壓為100 kPa和最大駐點(diǎn)熱流密度為1 800 kW/m2，控制量攻角和傾側(cè)角的最大變化率分別為20 (°)/s和85 (°)/s，初終端的狀態(tài)約束如表1所示[12]。

表1 CAV-H再入初終端條件[12]Table 1 Initial and terminal reentry conditions for CAV-H[12]

跟蹤阻力加速度-速度剖面是HGT再入段軌跡規(guī)劃與制導(dǎo)中常用的一種方法，其將再入段分為初始下降段和滑翔段，以是否滿足平衡滑翔條件為交班點(diǎn)，攻角剖面事先給定，初始下降段采用零傾側(cè)角飛行，在滑翔段跟蹤設(shè)計(jì)的阻力加速度-速度剖面用于控制縱向運(yùn)動(dòng)，由此確定傾側(cè)角的幅值，側(cè)向運(yùn)動(dòng)由視線方位角誤差走廊進(jìn)行控制，用于確定傾側(cè)角符號(hào)的翻轉(zhuǎn)時(shí)機(jī)。以縱向跳躍幅度最小為性能指標(biāo)，基于高斯偽譜方法進(jìn)行軌跡優(yōu)化。具體兩軌跡的形態(tài)和狀態(tài)量的變化如圖3～圖5所示，“軌跡1”和“軌跡2”分別為基于跟蹤剖面和高斯偽譜方法獲得的軌跡。可看出，“軌跡1”存在傾側(cè)角符號(hào)的翻轉(zhuǎn)，會(huì)引起HGT的階躍機(jī)動(dòng)，當(dāng)傾側(cè)角不翻轉(zhuǎn)時(shí)機(jī)動(dòng)較平緩；“軌跡2”的傾側(cè)角連續(xù)變化，機(jī)動(dòng)幅度強(qiáng)于“軌跡1”中傾側(cè)角符號(hào)不翻轉(zhuǎn)時(shí)的幅度。上述2種典型軌跡可充分驗(yàn)證跟蹤模型對(duì)不同機(jī)動(dòng)模式的適應(yīng)性。

圖3 HGT跟蹤軌跡Fig.3 HGT trajectories to be tracked

圖4 控制量隨時(shí)間變化Fig.4 Control variables versus time

圖5 升阻加速度隨時(shí)間變化Fig.5 Lift and drag accelerations versus time

3.2 跟蹤濾波

為了充分地驗(yàn)證所提機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)方法的有效性，將其分別與基于Singer模型的方法、文獻(xiàn)[6]中提出的基于CS模型的方法、文獻(xiàn)[7]中提出的基于動(dòng)力學(xué)模型的方法和文獻(xiàn)[6]中提出的利用IMM實(shí)現(xiàn)機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)的方法進(jìn)行性能對(duì)比。基于Singer模型的方法將氣動(dòng)力加速度建模成Singer模型，如式(8)所示，基于動(dòng)力學(xué)模型的方法見附錄B，基于CS模型的方法將氣動(dòng)力加速度建模成CS模型，形式為[6]

(53)

為了后續(xù)書寫方便，將基于Singer模型的方法簡記為“Singer”，在“Singer”基礎(chǔ)上引入自適應(yīng)機(jī)動(dòng)頻率的方法記為“Adaptive Singer”，基于動(dòng)力學(xué)模型的方法記為“Dynamics”，基于CS模型的方法記為“Current Statistics”，圖6所示的基于IMM的方法記為“IMM-Singer”。為了保持仿真驗(yàn)證的一致性，除“Adaptive Singer”中基于UKF算法對(duì)機(jī)動(dòng)頻率進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整外，其他方法也均采用UKF算法。每種方法進(jìn)行300次的蒙特卡羅仿真，采用均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)來評(píng)估濾波結(jié)果的估計(jì)精度，位置RMSE的計(jì)算公式為

圖6 交互式多模型算法結(jié)構(gòu)Fig.6 Structure of interacting multiple model algorithm

(54)

3.2.1 軌跡1

將雷達(dá)部署在經(jīng)緯高為(35°, 0.5°, 0)的位置，設(shè)其最大量測距離為800 km。考慮地球曲率影響，易得雷達(dá)可量測的軌跡弧段及相應(yīng)狀態(tài)量的變化，如圖7～圖9所示。由于圖4中t≈600 s時(shí)，傾側(cè)角發(fā)生了符號(hào)翻轉(zhuǎn)，相應(yīng)地在圖9中引起了雷達(dá)坐標(biāo)系下氣動(dòng)力加速度的突變。

圖7 可觀測弧段(軌跡1)Fig.7 Observable segment (trajectory 1)

圖8 量測量真值(軌跡1)Fig.8 Noise-free measurements (trajectory 1)

圖9 雷達(dá)坐標(biāo)系下氣動(dòng)力加速度真值(軌跡1)Fig.9 True aerodynamic accelerations in radar frame (trajectory 1)

(55)

式中：Λij為從模型i轉(zhuǎn)移到模型j的概率。

基于上述方法和仿真設(shè)置，分別進(jìn)行300次的蒙特卡羅仿真，圖10～圖12給出了位置、速度和氣動(dòng)力加速度的均方根誤差隨時(shí)間的變化。可看出，當(dāng)氣動(dòng)力加速度突變引起狀態(tài)模型誤差時(shí)，“Adaptive Singer”能夠快速地降低估計(jì)誤差，顯著優(yōu)于“Singer”，說明對(duì)自適應(yīng)機(jī)動(dòng)頻率的有效性。在700 s以后，目標(biāo)機(jī)動(dòng)幅值有變化但較平緩，該方法表現(xiàn)出輕微的自適應(yīng)過度，導(dǎo)致精度略低于其他幾種方法，此時(shí)“Singer”和“Current Statistics”的精度稍高。“IMM-Singer”中由于采用IMM方法對(duì)機(jī)動(dòng)頻率進(jìn)行自適應(yīng)，因此其估計(jì)精度與“Adaptive Singer”最為接近?！癈urrent Statistics”理論上也具有噪聲方差的自適應(yīng)能力，但是當(dāng)加速度均值估計(jì)不準(zhǔn)確時(shí)，可能適得其反，其結(jié)果劣于沒有自適應(yīng)能力的“Singer”?！癉ynamics”對(duì)HGT階躍機(jī)動(dòng)的適應(yīng)性最差。

圖10 位置RMSE(軌跡1)Fig.10 RMSE of position (trajectory 1)

圖11 速度RMSE(軌跡1)Fig.11 RMSE of velocity (trajectory 1)

圖12 氣動(dòng)力加速度RMSE(軌跡1)Fig.12 RMSE of aerodynamic acceleration (trajectory 1)

3.2.2 軌跡2

將雷達(dá)部署在經(jīng)緯高為(23°, 5°, 0)的位置，與“軌跡1”相同，易得雷達(dá)可量測的軌跡弧段及相應(yīng)狀態(tài)量的變化，如圖13～圖15所示。相比于軌跡1，軌跡2的機(jī)動(dòng)是連續(xù)的，但是機(jī)動(dòng)幅度的變化強(qiáng)于軌跡1無傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)的時(shí)刻。

圖13 可觀測弧段(軌跡2)Fig.13 Observable segment (trajectory 2)

圖14 量測量真值(軌跡2)Fig.14 Noise-free measurements (trajectory 2)

圖15 雷達(dá)坐標(biāo)系下氣動(dòng)力加速度真值(軌跡2)Fig.15 True aerodynamic accelerations in radar frame (trajectory 2)

為驗(yàn)證各方法的適應(yīng)性，仿真設(shè)置與軌跡1中保持一致，圖16～圖18給出了300次蒙特卡羅仿真后位置、速度和氣動(dòng)力加速度的均方根誤差隨時(shí)間的變化。可看出，“Adaptive Singer”方法的濾波精度最高，對(duì)HGT機(jī)動(dòng)幅度變化的適應(yīng)性最好，特別是在目標(biāo)機(jī)動(dòng)幅度變化較大時(shí)，而“IMM-Singer”次之。由于機(jī)動(dòng)幅度變化要強(qiáng)于軌跡一非階躍機(jī)動(dòng)的時(shí)刻，導(dǎo)致其他幾種方法的估計(jì)精度較差，難以適應(yīng)HGT多樣的機(jī)動(dòng)模式。

圖16 位置RMSE(軌跡2)Fig.16 RMSE of position (trajectory 2)

圖17 速度RMSE(軌跡2)Fig.17 RMSE of velocity (trajectory 2)

圖18 氣動(dòng)力加速度RMSE(軌跡2)Fig.18 RMSE of aerodynamic acceleration (trajectory 2)

通過對(duì)不同軌跡的跟蹤濾波表明，所設(shè)計(jì)的“Adaptive Singer”對(duì)HGT的階躍機(jī)動(dòng)和連續(xù)幅值變化的機(jī)動(dòng)均具有較好的適應(yīng)性。圖19給出了各方法單次跟蹤濾波的計(jì)算時(shí)間，可看出“IMM-Singer”約為其他方法的2倍，計(jì)算量大。相比于其他幾種方法，“Adaptive Singer”不僅濾波精度高，而且計(jì)算量幾乎沒有增加，實(shí)時(shí)性好。

圖19 單次跟蹤濾波計(jì)算時(shí)間Fig.19 Computational time for single tracking filtering

4 結(jié) 論

為了精確跟蹤機(jī)動(dòng)模式多樣的高超聲速滑翔目標(biāo)，基于正交性原理和UKF算法提出了一種機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)的跟蹤方法。通過仿真驗(yàn)證，得到如下3點(diǎn)結(jié)論：

1) 由于HGT機(jī)動(dòng)形式多樣，幾乎無法用固定的跟蹤模型將其囊括，因此狀態(tài)模型誤差固然會(huì)存在。

2) 介于CV和CA模型之間的Singer模型可作為表征HGT機(jī)動(dòng)的基礎(chǔ)模型，再結(jié)合其他方法合理地調(diào)整其機(jī)動(dòng)頻率，降低模型誤差。

3) 所提的“Adaptive Singer”方法能夠較好地適應(yīng)HGT的多種機(jī)動(dòng)形式，與利用交互式多模型進(jìn)行機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)的方法相比，跟蹤精度高，計(jì)算量小。

(A1)

式中:F1=vx，F(xiàn)2=vy，F(xiàn)3=vz，F(xiàn)4、F5和F6的表達(dá)式分別為

(A2)

Rosinμo)sin2Bo-(pz+Rocosμo)·

sinBocosBo]-2ωvxsinBo+ay

(A3)

Rocosμo)cos2Bo-(py-Rosinμo)·

sinBocosBo]+2ωvxcosBo+az

(A4)

F7、F8和F9的表達(dá)式為

(A5)

附錄B

若從動(dòng)力學(xué)角度對(duì)HGT氣動(dòng)加速度進(jìn)行建模，由于其采用傾側(cè)轉(zhuǎn)彎控制方式，則氣動(dòng)力加速度的形式為[1]

(B1)

式中：ρ為大氣密度，近似為高度的指數(shù)函數(shù);v為相對(duì)速度v的模;CVtoR為目標(biāo)速度坐標(biāo)系至雷達(dá)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣;η為目標(biāo)的面質(zhì)比。將式(B1)中的右邊部分分為可用目標(biāo)位置和速度表示的量和不可表示的量，具體形式為[7,24]

(B2)

式中：M的表達(dá)式為

(B3)

(B4)

式中：γ為雷達(dá)坐標(biāo)系至目標(biāo)速度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過程中的滾轉(zhuǎn)角。通常情況下，HGV的面質(zhì)比、氣動(dòng)系數(shù)和制導(dǎo)控制規(guī)律等先驗(yàn)信息均難以獲知，因此廣義氣動(dòng)系數(shù)是待估計(jì)的未知量。由于HGT在飛行過程中受到熱流密度、動(dòng)壓、過載和控制量等因素的制約，其控制變量—攻角和傾側(cè)角的變化應(yīng)相對(duì)平緩，可用維納隨機(jī)過程來表征廣義氣動(dòng)系數(shù)的變化，形式為[6]

(B5)

式中：wD、wLS和wLC為互不相關(guān)的零均值高斯白噪聲。將式(11)中ax、ay和az分別替換為ηD、ηLS和ηLC即為動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)向量，其狀態(tài)方程的形式與式(10)一致。