回歸問題本源 設(shè)置層層提問

劉倩 林建南

【摘 要】 《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》這一節(jié)課以發(fā)現(xiàn)問題為學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)力貫穿始終，在遇到問題時(shí)設(shè)置層層問題來探究解決方法，以類比探究作為學(xué)習(xí)新問題的參考思維，以解決問題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)激情。設(shè)置問題的提問方向逐層深入，在問題的思考點(diǎn)、探究點(diǎn)之處不斷挖掘問題點(diǎn)，處處培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】 設(shè)置提問方向? 層層提問? 探究問題

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，激發(fā)學(xué)生的問題意識，啟迪學(xué)生探究問題的思維，培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、自我分析問題、自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的習(xí)慣。本文以《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧O(shè)置提問問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、深挖教材問題點(diǎn)，制作《預(yù)習(xí)研究清單》，設(shè)置預(yù)習(xí)問題

本節(jié)課在授課之前，讓學(xué)生先結(jié)合《預(yù)習(xí)研究清單》提前預(yù)習(xí)，根據(jù)清單發(fā)現(xiàn)問題、研究問題，書寫研究所得，引導(dǎo)學(xué)生挖掘教材的問題點(diǎn)、障礙點(diǎn)、思考點(diǎn)、探究點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探究問題的方法。

對于《預(yù)習(xí)研究清單》，可分為預(yù)設(shè)思考點(diǎn)清單，如：你有什么辦法可以比較快速地畫出正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象？預(yù)設(shè)問題點(diǎn)清單，如：如何用描點(diǎn)法畫出正弦函數(shù)的圖象呢？描的時(shí)候描幾點(diǎn)合適呢？預(yù)設(shè)探究點(diǎn)清單，如：借助幾何描點(diǎn)法，能否幫助我們作出三角函數(shù)的精確圖象，從而認(rèn)識新函數(shù)的圖象的真實(shí)面貌？

二、課例展示，層層提問，環(huán)環(huán)相扣，水到渠成

一個(gè)恰當(dāng)而耐人尋味的問題能夠激起學(xué)生思維的浪花。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握知識的本質(zhì)，所以在課堂教學(xué)中教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)問題來吸引學(xué)生注意力，喚起學(xué)生興趣。

1. 借預(yù)習(xí)清單，問函數(shù)之義

【提問方向】 回歸定義，準(zhǔn)確把握概念

問題1：為什么y=sinx（或y=cosx）是函數(shù)？

課堂反饋：學(xué)生通過預(yù)習(xí)及動(dòng)手去畫函數(shù)圖象會發(fā)現(xiàn)，畫出來的圖象的每一個(gè)自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值是唯一，結(jié)合之前學(xué)過的函數(shù)定義，學(xué)生就會初步對正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）下定義，教師再進(jìn)行引導(dǎo)對定義進(jìn)行完善。

2. 借經(jīng)驗(yàn)之手，問圖象特征

【提問方向】 回歸圖象特征，探究如何解決圖象特征問題

問題2：如何畫正弦函數(shù)圖象？

課堂反饋：根據(jù)正弦函數(shù)的定義域?yàn)镽，分別取一些自變量為正，為負(fù)及自變量為零的點(diǎn)，進(jìn)行描點(diǎn)連線。

問題3：描點(diǎn)的時(shí)候要描幾點(diǎn)合適呢？

課堂反饋：學(xué)生的答案五花八門，3個(gè)？5個(gè)？甚至更多……

【設(shè)計(jì)意圖】 教師通過有效的問題引發(fā)學(xué)生思考，另一方面也調(diào)動(dòng)課堂的積極性。教師先對學(xué)生的回答進(jìn)行肯定，通過評價(jià)能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生增強(qiáng)自信。

問題4：我們在研究函數(shù)時(shí)哪些知識可以幫助我們提前研究函數(shù)圖象的特征，從而減少工作量呢？

課堂反饋：學(xué)生從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)來思考，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性……，發(fā)現(xiàn)了如果知道正弦函數(shù)的奇偶性就可以幫助我們減少一半的工作量，從而開始探究函數(shù)奇偶性，討論尋求對應(yīng)的知識支撐，由誘導(dǎo)公式sinx=-sin（-x）可知，f（x）=sinx 是奇函數(shù)，所以只需畫出[0，+∞）上的函數(shù)圖象，利用奇函數(shù)圖象的對稱性可以直接畫出（-∞，0]上的圖象。

當(dāng)課堂進(jìn)行到這里，學(xué)生的積極性已經(jīng)充分調(diào)動(dòng)起來，開始主動(dòng)深入探究，部分學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了對于要在[0，+∞）上取點(diǎn)做圖，依舊是件費(fèi)勁的事，學(xué)生自然反問如何處理呢？教師順勢拋出以下思考點(diǎn)。

問題5：還有沒有辦法再“偷懶”一點(diǎn)？讓作圖區(qū)域再縮小到更合適的范圍呢？

教師點(diǎn)撥：剛剛探究奇偶性時(shí)我們用到了誘導(dǎo)公式，類比探究，誘導(dǎo)公式里還隱藏著什么函數(shù)性質(zhì)？

課堂反饋：學(xué)生再次從學(xué)過的誘導(dǎo)公式里找線索，發(fā)現(xiàn)通過 sin（x+2？仔）=sinx知道y=sinx這個(gè)函數(shù)具有周而復(fù)始的現(xiàn)象，因此只需畫[0，2？仔]上的函數(shù)圖象，再進(jìn)行平移，即可得到[0，+∞）上的函數(shù)圖象。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的，學(xué)生要能在情景中抽象出數(shù)學(xué)方法，養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，以簡馭繁。通過探究，我們把要畫出正弦函數(shù)圖象的區(qū)間縮小到了[0，2？仔]，學(xué)生這時(shí)候蠢蠢欲動(dòng)，覺得問題看起來似乎簡單多了。這時(shí)候教師可以放手讓學(xué)生嘗試，動(dòng)手畫出正弦函數(shù)的圖象。

3. 借數(shù)形結(jié)合，問繪制圖象

【提問方向】 回歸已有知識，探究如何進(jìn)行描點(diǎn)，取什么點(diǎn)？怎么描？

問題6：如何用描點(diǎn)法畫出y=sinx在區(qū)間[0，2？仔]上的圖象？

問題8：有向線段MP的數(shù)量就是T點(diǎn)縱坐標(biāo)的值，但是在作T點(diǎn)時(shí)我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)T和單位圓及三角函數(shù)線有重疊現(xiàn)象，這樣作出的圖不美觀。又該怎么處理呢？

設(shè)置探究點(diǎn)：處理重疊現(xiàn)象的基本方法就是進(jìn)行“位置分離”，自然是改變部分元素的相對位置，如何分離才能讓有向線段 的大小和形狀不變？請?zhí)骄俊?/p>

課堂反饋：學(xué)生提出處理方案，要讓描出的點(diǎn)落在區(qū)間[0，2？仔]上，自然是改變圓的位置，教師接著提出問題9。

問題9：那么可用什么方法改變圓的位置？

課堂反饋：利用圖形變換。例如，如果把單位圓O向左平移時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)有向線段M'P'數(shù)量不變。

【設(shè)計(jì)意圖】 教師通過一系列的提問引導(dǎo)學(xué)生分析正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（x，y）與單位圓中的圓心角x及其對應(yīng)的正弦線y之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，利用單位圓中的正弦線，描出正弦函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)T，為用幾何描點(diǎn)法作出y=sinx， x∈[0，2？仔]的圖象做準(zhǔn)備，為攻克難點(diǎn)做準(zhǔn)備。也正是通過這一系列的問題，讓學(xué)生對數(shù)與形的結(jié)合有了更深的認(rèn)識，對思維的拓展得到一定的提高。

這一探究過程也教會學(xué)生要學(xué)會邏輯地思考問題，能夠找出未知點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)聯(lián)，“數(shù)”不行“形”可以，“形”不行“數(shù)”可以，要學(xué)會有條理、合乎邏輯地思考問題，增強(qiáng)交流能力。

4. 借既有經(jīng)驗(yàn)，問新圖象畫法

探究正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象的過程其實(shí)就是在建立數(shù)學(xué)模型，教師提前設(shè)置有效的問題，幫助學(xué)生學(xué)會通過提出問題、分析問題、建立模型，更深入地理解正弦函數(shù)模型的本質(zhì)。因此，掌握了畫正弦函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn)后，也可以在余弦函數(shù)模型的背景下，自主地利用函數(shù)的奇偶性及周期性來畫余弦函數(shù)的圖象。

【提問方向】利用新學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探究如何解決新函數(shù)圖象的問題

問題10：如何畫出y=cosx的圖象？

設(shè)置探究點(diǎn)1：類比采用幾何描點(diǎn)法來作圖。作圖過程中，差異在哪兒？即如何把余弦線“豎立”起來？

設(shè)置探究點(diǎn)2：請你回歸正、余弦函數(shù)的定義本質(zhì)，尋求兩者關(guān)聯(lián)，探究畫出y=cosx的圖象的其他途徑。

引導(dǎo)點(diǎn)撥：將未知轉(zhuǎn)化為已知是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的方法，所以要畫余弦函數(shù)圖象請尋找與正弦函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)，改變函數(shù)作圖方式，從“形”再回到“數(shù)”重新思考，尋找兩函數(shù)解析式的聯(lián)系，利用圖象變換的視角思索問題。

在本節(jié)課的課堂教學(xué)中，以“發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—分解問題—轉(zhuǎn)化問題—解決問題”為主線整合教材，將“知識自然形成，問題自然化解，方法自然獲取，思維自然轉(zhuǎn)化”的教學(xué)理念貫穿課堂，帶領(lǐng)學(xué)生在問題的思考點(diǎn)、探究點(diǎn)、可挖掘點(diǎn)處探究，處處培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師在教學(xué)中要有意給學(xué)生留問題，要針對教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)每一個(gè)問題，通過一個(gè)個(gè)問題來揭示抽象的數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，減輕學(xué)生的理解負(fù)擔(dān)，同時(shí)也為學(xué)生的自我提問埋下伏筆，高效地利用課堂上有限的時(shí)間，達(dá)成課堂的三維教學(xué)目標(biāo)，從而增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，開闊數(shù)學(xué)視野，激活數(shù)學(xué)思維，有效提高教學(xué)效率。

參考文獻(xiàn)

[1] 周潔清.基于核心素養(yǎng)下培養(yǎng)學(xué)生提問意識.中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究，2017（14）.

[2] 宋菊，崔廣俊.立足數(shù)學(xué)課堂問題設(shè)置，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).中小學(xué)教育，2019（371）.