劉倩 林建南
【摘 要】 《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》這一節(jié)課以發(fā)現(xiàn)問題為學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)力貫穿始終,在遇到問題時(shí)設(shè)置層層問題來探究解決方法,以類比探究作為學(xué)習(xí)新問題的參考思維,以解決問題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)激情。設(shè)置問題的提問方向逐層深入,在問題的思考點(diǎn)、探究點(diǎn)之處不斷挖掘問題點(diǎn),處處培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】 設(shè)置提問方向? 層層提問? 探究問題
數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向,激發(fā)學(xué)生的問題意識,啟迪學(xué)生探究問題的思維,培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、自我分析問題、自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的習(xí)慣。本文以《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》的教學(xué)為例,談?wù)勅绾卧O(shè)置提問問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
一、深挖教材問題點(diǎn),制作《預(yù)習(xí)研究清單》,設(shè)置預(yù)習(xí)問題
本節(jié)課在授課之前,讓學(xué)生先結(jié)合《預(yù)習(xí)研究清單》提前預(yù)習(xí),根據(jù)清單發(fā)現(xiàn)問題、研究問題,書寫研究所得,引導(dǎo)學(xué)生挖掘教材的問題點(diǎn)、障礙點(diǎn)、思考點(diǎn)、探究點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探究問題的方法。
對于《預(yù)習(xí)研究清單》,可分為預(yù)設(shè)思考點(diǎn)清單,如:你有什么辦法可以比較快速地畫出正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象?預(yù)設(shè)問題點(diǎn)清單,如:如何用描點(diǎn)法畫出正弦函數(shù)的圖象呢?描的時(shí)候描幾點(diǎn)合適呢?預(yù)設(shè)探究點(diǎn)清單,如:借助幾何描點(diǎn)法,能否幫助我們作出三角函數(shù)的精確圖象,從而認(rèn)識新函數(shù)的圖象的真實(shí)面貌?
二、課例展示,層層提問,環(huán)環(huán)相扣,水到渠成
一個(gè)恰當(dāng)而耐人尋味的問題能夠激起學(xué)生思維的浪花。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握知識的本質(zhì),所以在課堂教學(xué)中教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)問題來吸引學(xué)生注意力,喚起學(xué)生興趣。
1. 借預(yù)習(xí)清單,問函數(shù)之義
【提問方向】 回歸定義,準(zhǔn)確把握概念
問題1:為什么y=sinx(或y=cosx)是函數(shù)?
課堂反饋:學(xué)生通過預(yù)習(xí)及動(dòng)手去畫函數(shù)圖象會發(fā)現(xiàn),畫出來的圖象的每一個(gè)自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值是唯一,結(jié)合之前學(xué)過的函數(shù)定義,學(xué)生就會初步對正弦函數(shù)(余弦函數(shù))下定義,教師再進(jìn)行引導(dǎo)對定義進(jìn)行完善。
2. 借經(jīng)驗(yàn)之手,問圖象特征
【提問方向】 回歸圖象特征,探究如何解決圖象特征問題
問題2:如何畫正弦函數(shù)圖象?
課堂反饋:根據(jù)正弦函數(shù)的定義域?yàn)镽,分別取一些自變量為正,為負(fù)及自變量為零的點(diǎn),進(jìn)行描點(diǎn)連線。
問題3:描點(diǎn)的時(shí)候要描幾點(diǎn)合適呢?
課堂反饋:學(xué)生的答案五花八門,3個(gè)?5個(gè)?甚至更多……
【設(shè)計(jì)意圖】 教師通過有效的問題引發(fā)學(xué)生思考,另一方面也調(diào)動(dòng)課堂的積極性。教師先對學(xué)生的回答進(jìn)行肯定,通過評價(jià)能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,幫助學(xué)生增強(qiáng)自信。
問題4:我們在研究函數(shù)時(shí)哪些知識可以幫助我們提前研究函數(shù)圖象的特征,從而減少工作量呢?
課堂反饋:學(xué)生從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)來思考,如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性……,發(fā)現(xiàn)了如果知道正弦函數(shù)的奇偶性就可以幫助我們減少一半的工作量,從而開始探究函數(shù)奇偶性,討論尋求對應(yīng)的知識支撐,由誘導(dǎo)公式sinx=-sin(-x)可知,f(x)=sinx 是奇函數(shù),所以只需畫出[0,+∞)上的函數(shù)圖象,利用奇函數(shù)圖象的對稱性可以直接畫出(-∞,0]上的圖象。
當(dāng)課堂進(jìn)行到這里,學(xué)生的積極性已經(jīng)充分調(diào)動(dòng)起來,開始主動(dòng)深入探究,部分學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了對于要在[0,+∞)上取點(diǎn)做圖,依舊是件費(fèi)勁的事,學(xué)生自然反問如何處理呢?教師順勢拋出以下思考點(diǎn)。
問題5:還有沒有辦法再“偷懶”一點(diǎn)?讓作圖區(qū)域再縮小到更合適的范圍呢?
教師點(diǎn)撥:剛剛探究奇偶性時(shí)我們用到了誘導(dǎo)公式,類比探究,誘導(dǎo)公式里還隱藏著什么函數(shù)性質(zhì)?
課堂反饋:學(xué)生再次從學(xué)過的誘導(dǎo)公式里找線索,發(fā)現(xiàn)通過 sin(x+2?仔)=sinx知道y=sinx這個(gè)函數(shù)具有周而復(fù)始的現(xiàn)象,因此只需畫[0,2?仔]上的函數(shù)圖象,再進(jìn)行平移,即可得到[0,+∞)上的函數(shù)圖象。
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的,學(xué)生要能在情景中抽象出數(shù)學(xué)方法,養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣,以簡馭繁。通過探究,我們把要畫出正弦函數(shù)圖象的區(qū)間縮小到了[0,2?仔],學(xué)生這時(shí)候蠢蠢欲動(dòng),覺得問題看起來似乎簡單多了。這時(shí)候教師可以放手讓學(xué)生嘗試,動(dòng)手畫出正弦函數(shù)的圖象。
3. 借數(shù)形結(jié)合,問繪制圖象
【提問方向】 回歸已有知識,探究如何進(jìn)行描點(diǎn),取什么點(diǎn)?怎么描?
問題6:如何用描點(diǎn)法畫出y=sinx在區(qū)間[0,2?仔]上的圖象?
問題8:有向線段MP的數(shù)量就是T點(diǎn)縱坐標(biāo)的值,但是在作T點(diǎn)時(shí)我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)T和單位圓及三角函數(shù)線有重疊現(xiàn)象,這樣作出的圖不美觀。又該怎么處理呢?
設(shè)置探究點(diǎn):處理重疊現(xiàn)象的基本方法就是進(jìn)行“位置分離”,自然是改變部分元素的相對位置,如何分離才能讓有向線段 的大小和形狀不變?請?zhí)骄俊?/p>
課堂反饋:學(xué)生提出處理方案,要讓描出的點(diǎn)落在區(qū)間[0,2?仔]上,自然是改變圓的位置,教師接著提出問題9。
問題9:那么可用什么方法改變圓的位置?
課堂反饋:利用圖形變換。例如,如果把單位圓O向左平移時(shí),我們發(fā)現(xiàn)有向線段M'P'數(shù)量不變。
【設(shè)計(jì)意圖】 教師通過一系列的提問引導(dǎo)學(xué)生分析正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)(x,y)與單位圓中的圓心角x及其對應(yīng)的正弦線y之間關(guān)系的基礎(chǔ)上,利用單位圓中的正弦線,描出正弦函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)T,為用幾何描點(diǎn)法作出y=sinx, x∈[0,2?仔]的圖象做準(zhǔn)備,為攻克難點(diǎn)做準(zhǔn)備。也正是通過這一系列的問題,讓學(xué)生對數(shù)與形的結(jié)合有了更深的認(rèn)識,對思維的拓展得到一定的提高。
這一探究過程也教會學(xué)生要學(xué)會邏輯地思考問題,能夠找出未知點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)聯(lián),“數(shù)”不行“形”可以,“形”不行“數(shù)”可以,要學(xué)會有條理、合乎邏輯地思考問題,增強(qiáng)交流能力。
4. 借既有經(jīng)驗(yàn),問新圖象畫法
探究正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象的過程其實(shí)就是在建立數(shù)學(xué)模型,教師提前設(shè)置有效的問題,幫助學(xué)生學(xué)會通過提出問題、分析問題、建立模型,更深入地理解正弦函數(shù)模型的本質(zhì)。因此,掌握了畫正弦函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn)后,也可以在余弦函數(shù)模型的背景下,自主地利用函數(shù)的奇偶性及周期性來畫余弦函數(shù)的圖象。
【提問方向】利用新學(xué)經(jīng)驗(yàn),探究如何解決新函數(shù)圖象的問題
問題10:如何畫出y=cosx的圖象?
設(shè)置探究點(diǎn)1:類比采用幾何描點(diǎn)法來作圖。作圖過程中,差異在哪兒?即如何把余弦線“豎立”起來?
設(shè)置探究點(diǎn)2:請你回歸正、余弦函數(shù)的定義本質(zhì),尋求兩者關(guān)聯(lián),探究畫出y=cosx的圖象的其他途徑。
引導(dǎo)點(diǎn)撥:將未知轉(zhuǎn)化為已知是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的方法,所以要畫余弦函數(shù)圖象請尋找與正弦函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián),改變函數(shù)作圖方式,從“形”再回到“數(shù)”重新思考,尋找兩函數(shù)解析式的聯(lián)系,利用圖象變換的視角思索問題。
在本節(jié)課的課堂教學(xué)中,以“發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—分解問題—轉(zhuǎn)化問題—解決問題”為主線整合教材,將“知識自然形成,問題自然化解,方法自然獲取,思維自然轉(zhuǎn)化”的教學(xué)理念貫穿課堂,帶領(lǐng)學(xué)生在問題的思考點(diǎn)、探究點(diǎn)、可挖掘點(diǎn)處探究,處處培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師在教學(xué)中要有意給學(xué)生留問題,要針對教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)每一個(gè)問題,通過一個(gè)個(gè)問題來揭示抽象的數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),減輕學(xué)生的理解負(fù)擔(dān),同時(shí)也為學(xué)生的自我提問埋下伏筆,高效地利用課堂上有限的時(shí)間,達(dá)成課堂的三維教學(xué)目標(biāo),從而增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性,開闊數(shù)學(xué)視野,激活數(shù)學(xué)思維,有效提高教學(xué)效率。
參考文獻(xiàn)
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