加權(quán)線段和的最值問(wèn)題

施宇彬

【摘要】線段和的最值問(wèn)題是全國(guó)各地中考的熱門命題類型，其表現(xiàn)形式主要有兩種，即“a+b”型和“a+k·b”型.其中“a+b”型問(wèn)題以“將軍飲馬問(wèn)題”為主，再輔以少量變式，也有少量的“費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題”.而“a+k·b”型問(wèn)題主要有三類：“胡不歸問(wèn)題”、阿波羅尼斯圓問(wèn)題、定邊對(duì)定角問(wèn)題.而本文中將重點(diǎn)介紹的是幾何法中的“胡不歸模型”.操作方法是通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，轉(zhuǎn)移線段的位置，從而有機(jī)地聚合線段，求得最值.

【關(guān)鍵詞】加權(quán)線段;胡不歸模型;轉(zhuǎn)化思想

平面幾何知識(shí)是初中階段數(shù)學(xué)必考的重要內(nèi)容之一，最值問(wèn)題一直是中考命題的熱、難點(diǎn).而線段和的最值問(wèn)題特別是加權(quán)線段和“a+k·b”型往往在壓軸題中，與動(dòng)點(diǎn)結(jié)合，綜合性比較強(qiáng)，因此難度比較大，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中較難突破的題型.本文主要通過(guò)對(duì)加權(quán)線段和“a+k·b”型問(wèn)題構(gòu)造“胡不歸模型”求解，讓學(xué)生能解一題通一類，真正做到舉一反三，觸類旁通.

一、問(wèn)題產(chǎn)生

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)D是線段OA上的一點(diǎn)，連接CD.

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AD方向以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D，然后再沿著DC方向以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C后停止，求點(diǎn)P這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程所用時(shí)間的最小值.

此問(wèn)題來(lái)自2019年浙江省金華市初中畢業(yè)升學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練卷，考生普遍對(duì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間最小值的求解感到手足無(wú)措.求解最值問(wèn)題，首先我們的第一思路一定是在七下時(shí)候所學(xué)習(xí)到的“將軍飲馬”模型，眾所周知，在“將軍飲馬”類問(wèn)題中，其實(shí)質(zhì)是“a+b”型問(wèn)題，各條線段前的系數(shù)都為1，通過(guò)“對(duì)稱轉(zhuǎn)移”方法，轉(zhuǎn)化線段求得最值. 而此題中，點(diǎn)P沿AD方向、DC方向的速度并不相同，根據(jù)題意，運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示為：12AD+CD.整體考慮，如果我們能在圖中找到（或構(gòu)造出）12AD這一線段，那問(wèn)題就迎刃而解了.到底如何轉(zhuǎn)換呢？在此，我們提出解決加權(quán)線段和最值問(wèn)題非常著名的“胡不歸模型”.

二、問(wèn)題背景

從前，有個(gè)小伙子在外地做學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路.由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理，所以選擇了全是砂礫地帶的直線路徑A→B（如圖2），而忽視了走折線路徑A→D→B雖路程多但速度快的實(shí)際情況.當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，老人剛剛咽氣，小伙子失聲痛哭，鄰里勸慰小伙子時(shí)告訴他，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？……”

這個(gè)古老的傳說(shuō)，引起人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問(wèn)題”.

三、模型構(gòu)建

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：

如果當(dāng)初這個(gè)小伙子懂得運(yùn)用“胡不歸模型”，選擇了先沿著驛道快馬加鞭走到D′位置，然后再直沖家門或許他還是有希望見到自己老父親的最后一面的，這是多么凄美的故事??！

四、模型應(yīng)用

讓我們回到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間最小值的求解中，根據(jù)題意，P在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間表示為12AD+CD.再通過(guò)應(yīng)用“胡不歸模型”，我們發(fā)現(xiàn)sin30°=12.如圖4，轉(zhuǎn)化為求CD+DF的最小值（DF⊥AE），我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線且DF⊥AE時(shí)為最小值（此時(shí)D在D′位置），故分析可得：12AD+CDmin=1cos∠OCD·OD+（OA-OC·tan∠OCD）·sin∠DAF=32+23.

問(wèn)題的本質(zhì)：“a+k·b”型問(wèn)題利用三角函數(shù)sin α=k，通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移線段位置，根據(jù)“垂線段最短”將斜線段轉(zhuǎn)化為垂線段求最值.

五、模型推廣

如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y=-x2+4x上，且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AB與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，1）.

點(diǎn)P為線段AB上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBE的面積最大時(shí)，求PH+HF+12FO的最小值.

分析：此題選自2018年重慶中考卷第26題，通過(guò)以上對(duì)“胡不歸模型”的介紹與講解，相信我們對(duì)此題的最值求解不再是難題.不同于前面例題介紹的，這里是求三段線段和的最小值，看起來(lái)難度好像更大.執(zhí)果索因，我們發(fā)現(xiàn)，求PH+HF+12FO的最小值是在△PBE的面積最大的前提條件下，通過(guò)分析，我們可以知道此時(shí)點(diǎn)P的位置是唯一的，因此PH的長(zhǎng)度是固定的、可求的.所以求PH+HF+12FO的最小值我們轉(zhuǎn)換成求HF+12FO的最小值.再由sin30°=12，我們通過(guò)旋轉(zhuǎn)線段30°角，就可以將系數(shù)的問(wèn)題解決了.

解答過(guò)程如圖6至圖12.

問(wèn)題小結(jié)：第（2）問(wèn)考查雙最值問(wèn)題.前半部分根據(jù)面積最大值轉(zhuǎn)換成求線段最大值，從而將P點(diǎn)化動(dòng)為靜;后半部分為三條線段和最小問(wèn)題，其中一條線段的長(zhǎng)度前面帶有系數(shù)，建立“胡不歸模型”，構(gòu)造三角函數(shù)，再根據(jù)垂線段最短，利用思維導(dǎo)圖方法，從而將問(wèn)題得到完美解決.

六、模型演練

（2017年廣州中考題） 如圖13，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED.

（1）求證：四邊形OCED是菱形.

（2）連接AE，若AB=6 cm，BC=5 cm.

① 求sin∠EAD的值.

② 若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），連接OP，一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以1.5 cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.

此題為2017年廣州中考題，留給讀者自行學(xué)習(xí)演練，體會(huì)“胡不歸模型”的方法步驟：

本文旨在通過(guò)“胡不歸模型”來(lái)解決學(xué)生不太擅長(zhǎng)的“a+k·b”型線段的最值問(wèn)題.著名數(shù)學(xué)家、莫斯科大學(xué)教授雅潔卡婭提出：解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題.教師要讓學(xué)生跳出題海，提升能力，提高素養(yǎng)，要注重問(wèn)題的通性通法.教師在講解題目時(shí)要抓住問(wèn)題的本質(zhì)，把題目思路理清楚，過(guò)程講清楚，讓學(xué)生解題有抓手，還要注重聯(lián)系，把題目都串聯(lián)起來(lái)，將方法進(jìn)行提升，真正可以起到“做一題、會(huì)一類、通一片”的效果.本文的內(nèi)容僅代表個(gè)人對(duì)此類數(shù)學(xué)問(wèn)題的一些想法和實(shí)踐，若有不當(dāng)之處，敬請(qǐng)專家批評(píng)、指正，本人不甚感謝.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張洪彥.構(gòu)造幾何圖形解題例說(shuō)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)， 1998（5）：44-45.