探討平面束方法在解析幾何中的重要應(yīng)用

紅霞 高峰 聶淑媛 楊繼真

【摘要】平面束是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，而且其應(yīng)用比較廣泛.本文根據(jù)我們多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及教改探索，首先介紹平面束的基本概念，其次深入探討平面束方法在空間解析幾何中的巧妙應(yīng)用，希望能夠?yàn)榻處熃虒W(xué)研究工作與學(xué)生掌握該方法提供一定的參考價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】有軸平面束;平行平面束;應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金（No.11701257），河南省教育廳高校重點(diǎn)項(xiàng)目（No.18A110025），數(shù)學(xué)學(xué)科中高等師范教育與基礎(chǔ)教育融合發(fā)展和協(xié)同創(chuàng)新研究（2017-JSJYYB-074）、（2018XJGGJS-10）

高校本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)中解析幾何是非常重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，它延續(xù)了中學(xué)平面幾何以及立體幾何.它不僅緊密聯(lián)系數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等專業(yè)課程，同時也是微分幾何、高等幾何以及拓?fù)鋵W(xué)等課程的基礎(chǔ).平面是空間中最特殊的曲面，而平面束是空間幾何研究中最基礎(chǔ)、最重要的內(nèi)容，它的方程的建立更是教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn).本文主要通過實(shí)踐以及探索，進(jìn)一步分析了當(dāng)前高校解析幾何課程中極其重要的內(nèi)容之一——平面束方法，同時突出了平面束方法在實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用.

一、基本概念

定義[1]?空間中，通過同一條直線的所有平面的集合稱為有軸平面束，那一條直線叫做平面束的軸.空間中平行于同一個平面的所有平面的集合稱為平行平面束.

這里l，m是不全為零的任意實(shí)數(shù).

在求解一定約束條件下的平面方程問題時，通常思路就是利用課本上的常用方法點(diǎn)位式方程、三點(diǎn)式方程、截距式方程、一般式方程、法式方程等.也就是尋找待求平面的法向量或平面的方向向量或平面上的一個點(diǎn)，用以上方法來求解.有時我們采取這些方法求解方程的問題時，可能會使問題變得更復(fù)雜，此時如果采取平面束方法來解決問題將會變得更簡潔明了.

二、平面束的應(yīng)用

（1）求通過兩個平面的交線的平面方程

分析：所求平面方程過某一給定的直線時，一般情況下使用平面束方法.平面束方法的解題步驟是先寫出平面束方程，再根據(jù)另外已知條件求出平面束的參數(shù)比值或者參數(shù)值，從而達(dá)到求平面方程的目的.特別地，如果給定的直線方程不是一般式時，首先將方程轉(zhuǎn)換為一般式形式再求平面方程.

（2）求過給定直線且在給定平面上的射影平面

分析：空間解析幾何中最基本最常見的問題之一是求過給定直線且在給定平面上的投影平面問題.事實(shí)上，這類問題有很多解法.其中最巧妙的解法是利用平面束方法，也就是只要我們求出經(jīng)過已知直線且與已知平面垂直的平面即可.

（3）求給定點(diǎn)到已知直線的距離.

分析：求一個點(diǎn)到一條直線距離的公式以及相關(guān)推導(dǎo)問題在一般的解析幾何教材中都會給出，但給出的求解公式相對比較長，記憶很難，計(jì)算也比較大，學(xué)生不易掌握.其實(shí)不妨用平面束方法來解決這類問題.設(shè)平面π經(jīng)過給定直線和給定點(diǎn)，平面π′經(jīng)過給定直線且垂直于平面π，用平面束方法來確定這兩個平面.事實(shí)上，所求給定點(diǎn)到給定直線的距離d等于給定點(diǎn)到平面π′的距離.通過這樣的操作，把求點(diǎn)到直線的距離巧妙地轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離問題，而通常學(xué)生最容易把握點(diǎn)到平面的距離公式，計(jì)算過程也相對少.

從以上幾個典型例題可以看出，有軸平面束和平行平面束方法確實(shí)能使許多復(fù)雜的問題簡單化，能起到簡單明了的效果.

結(jié)?語

平面是最特殊的曲面，而平面束是滿足特有性質(zhì)的一些平面集合，從而它們擁有很多良好的性質(zhì).比如判定給定直線與平面的位置關(guān)系問題、計(jì)算點(diǎn)到一條直線的距離問題、求給定直線在平面上的射影問題等都可以利用平面束的方法得到解決.

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