著力問題解決 優(yōu)化思維品質(zhì)
——以函數(shù)零點存在問題的區(qū)間端點值探尋為例

張國良 陳麗琴

(江蘇省武進高級中學, 213161) (江蘇省前黃高級中學, 213161)

思維品質(zhì)反映了每個個體智力或思維水平的差異,主要包括廣闊性、深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性、敏捷性等方面．紐威爾和西蒙認為,問題是一種情境,問題解決就是由一定情境引起的,按照一定的目標,應用各種認知活動、技能等,經(jīng)過一系列思維操作,消除目前狀態(tài)與所想達成目標狀態(tài)之間差異的過程．問題解決是培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的重要載體,良好的思維品質(zhì)是問題解決的切實保障．

零點問題是函數(shù)的一個重點內(nèi)容,中學階段的解題途徑一般是通過零點存在定理來證明零點的存在性,是高考的熱點、難點問題．基于問題解決的視角,需找到恰當?shù)暮瘮?shù)零點所在某個區(qū)間,進而規(guī)范嚴謹?shù)乇磉_出來,獲得零點的存在性．因此,零點所在區(qū)間端點值的探尋和結(jié)論的演繹推理過程是培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)的良好載體．下面通過兩個具體的案例加以分析．

案例1已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+a,其中a∈R.若f(x)恰有2個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

1.問題求解

若a≤0,則f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)增,f(x)在(0,+∞)至多有1個零點,不合題意.

綜上,實數(shù)a∈(0,1)∪(1,+∞).

2.思維解密

當a>0時,f(x)的一個零點可從特殊值x=1獲得,尋找另一個零點成為解題的關鍵.

轉(zhuǎn)化思維模式,對f(x)進行放縮,由x>0,得ax>0,從而f(x)=lnx-ax+a

案例2已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,a∈R.

(1)試討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有2個零點,求a的取值范圍.

1.問題求解

(1)f′(x)=(2ex+1)(aex-1).

當a≤0時,f′(x)<0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)減;當a>0時,由f′(x)=0,得x=-lna.易見f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)減,在(-lna,+∞)單調(diào)增.

當a=1時,由f(x)min=f(-lna)=0,得f(x)只有1個零點,不合題意.

綜上,當0

2.思維解密

引導學生從多方面考慮,可以促進學生思維的廣闊性.我們對f(x)進行放縮變形,考慮到f(x)的表達式中有e2x與ex,聯(lián)想到常見不等關系ex≥x+1(當且僅當x=0時取到等號),即x≤ex-1,可得f(x)≥ae2x+(a-2)ex-(ex-1)=ae2x+(a-3)ex+1.

數(shù)學問題解決過程反映了學生數(shù)學素養(yǎng)的狀況,其思維品質(zhì)不是與生俱來的,個體存在差異,需要在學科教學中予以培養(yǎng).問題解決的過程不僅是學生獲取新知識的過程,更是學生通過新的證據(jù)檢驗和完善已有知識或理論,提升學生思維品質(zhì)的過程.因此,教師要在問題解決的過程中,充分調(diào)動學生學習的積極性,善于啟發(fā)、引導、點撥、解疑,使學生主動參與到探索知識的形成過程中去. 數(shù)學教學的根本任務不僅在于向?qū)W生傳授知識,更重要的是要優(yōu)化學生的思維品質(zhì),全面提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).