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——談“同構(gòu)式”在解題中的應(yīng)用

張曉飛

(江蘇省南京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)，211900)

2020年高考已經(jīng)落下帷幕,縱觀各地的高考試卷,發(fā)現(xiàn)在全國理科一卷和全國文科二卷中出現(xiàn)了如下的兩道題,它們涉及一個(gè)知識點(diǎn)——同構(gòu)式.

試題1若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

試題2若2x-2y<3-x-3-y,則( )

(A)ln(y-x+1)>0

(B)ln(y-x+1)<0

(C)ln|y-x|>0

(D)ln|y-x|<0

這里說的同構(gòu)式,指的是結(jié)構(gòu)、形式相同的解析式.對于一個(gè)方程或不等式,經(jīng)過適當(dāng)變形、整理后,使其左、右兩邊表示成“結(jié)構(gòu)相同”的式子,由此構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性可使問題簡便解決.

例如,在試題1中,將2a+log2a=4b+2log4b變形為2a+log2a=22b+log22b-1.構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x,利用f(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)增,可得a<2b,選B.在試題2中,2x-2y<3-x-3-y變形為2x-3-x<2y-3-y.構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-3-x,由g(x)在R上單調(diào)增,可得x0成立,選A.

同構(gòu)式在函數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在方程和不等式的相關(guān)問題中,筆者以下從幾個(gè)方面具體說明.

一、方程問題

評注由方程組中方程的同構(gòu)性轉(zhuǎn)換思維方向,將函數(shù)的定義域與值域問題轉(zhuǎn)化為新方程解的存在性問題,揭示了問題的本質(zhì),簡化了問題求解途徑.

二、解不等式問題

例2已知cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),θ∈[0,2π),求θ的取值范圍.

評注觀察不等式的函數(shù)與結(jié)構(gòu)特征再變形,是生成同構(gòu)式的關(guān)鍵、構(gòu)造函數(shù)的前提條件,由此利用函數(shù)單調(diào)性可順利解題.

三、不等式恒成立問題

例3已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a及f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解(1)略.

解當(dāng)a≥1時(shí),對任意x∈(0,1),g(x)>0>f(x),g(x)>f(x)顯然恒成立.

例5已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1 (a<-1),對任意x1,x2∈(0,+∞),恒有不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評注本題是二元不等式恒成立問題,求解的常規(guī)思路是首先根據(jù)f(x)的單調(diào)性對不等式進(jìn)行去絕對值的操作,再由同構(gòu)思想變形為f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,將二元函數(shù)問題通過構(gòu)造函數(shù)H(x)=f(x)+4x減元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題進(jìn)行求解.

縱觀上述例題,不難發(fā)現(xiàn)此類題目實(shí)際上是命題者將原先形式明顯、結(jié)構(gòu)統(tǒng)一或者相似的問題經(jīng)過加工、調(diào)整變成看似沒有規(guī)律的復(fù)雜的問題.而解題者要做的工作就是還原題目的本質(zhì),使其天然去雕飾,清水出芙蓉.