注重探究學習 激發(fā)學生興趣
——以“平面與平面垂直的性質(zhì)”教學設計為例

羅賢旭

(浙江省麗水中學, 323000)

本文介紹“平面與平面垂直的性質(zhì)”一節(jié)課的教學設計，供大家分析研究.

一、 復習回顧,引入課題

師:請同學們回顧兩個平面垂直有哪些判定方法?

生:平面與平面垂直的判定定理.

師:很好!能用文字語言與符號語言表述判定定理嗎?

生1:文字語言:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面相互垂直.符號語言:a⊥β,a?α?α⊥β.

師:這位同學回答得很好,也就是說線面垂直可以得到面面垂直．說明大家對平面與平面垂直的判定定理學習得非常好!

師:(PPT展示面面垂直判定定理的圖形語言，如圖1)除了判定定理之外,我們還有其他判定平面垂直的方法嗎?

生:(思考片刻后繼續(xù)沉默)

生2:二面角是直角.(回答得很輕)

師:大家覺得這位同學說得對嗎?

生：(少數(shù)學生)可能.

師:(展示二面角是直角的圖形，如圖2)同學們,我們一起來回憶面面垂直是如何定義的.我們首先學習了二面角的概念,然后進一步學習了二面角的平面角的作法,最后定義二面角是直角的兩個平面相互垂直!

生：(齊)對!(同學們都有頓時豁然開朗的感覺).

設計意圖立體幾何中判定定理與性質(zhì)定理具有相互依存關(guān)系,通過復習回顧判定定理喚起學生對垂直概念的思考,同時也為后面性質(zhì)定理的學習做了鋪墊.

師:如果將判定定理中的某個條件和結(jié)論換個位置,結(jié)果還成立嗎?比如說:α⊥β,a?α?a⊥β.

生:不一定成立.

師:那同學們能舉出反例嗎?

生:直線可能和平面平行,也可能會相交但不垂直.

師:(PPT展示學生說的兩種情形，如圖3)很好！這兩種情況都會出現(xiàn)不垂直.

師:平面α內(nèi)是否存在與平面β垂直的直線?

生：(齊)存在!

師:那這樣的直線該如何作出來?同學們思考下,然后我們請一位同學上白板演示一下.

生3:在白板上老師已經(jīng)畫好的平面α內(nèi)作一條直線a垂直于交線l.

設計意圖通過改變條件與結(jié)論的方式,引導學生尋找垂直的直線,也就很自然得到本節(jié)課的要點——平面垂直的性質(zhì)定理.

師:同學們作的直線一定垂直于平面β嗎?

生:一定!

師:在未證明之前這還只是同學們的一種猜想,下面我們一起來證明這個猜想.

二、借助模型,論證猜想

師:在如圖4所示的長方體中,面A′ADD′與面ABCD垂直,直線A′A垂直于其交線AD，直線A′A與平面ABCD垂直嗎?

生:垂直.

師:更一般地,我們需要證明的問題是:已知α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l,則a⊥β.(展示PPT圖形如圖5)同學們一起分析一下:我們現(xiàn)在要證明的是線面垂直,可以尋找線線垂直,那么能找到兩條相交直線與已知直線垂直嗎?

生4:已知條件中已有a⊥l,只要在平面β內(nèi)再作一條直線與a垂直

師:嗯,請這位同學說說自己的想法.

生4:在平面β內(nèi)過直線a與l的交點O作射線b⊥l,則a⊥b.

師:為什么?

生4:因為兩條射線組成角的是二面角的平面角.

師:非常好,你是怎么想到這個方法的?

生4:老師開始上課時給我們復習了用直二面角判定平面垂直,所以就自然想到了.

設計意圖平面垂直的性質(zhì)定理的證明其實是有難度的,學生思維方法里面很難直接想到用定義,課前復習定義就為學生聯(lián)想用定義法證明性質(zhì)定理搭建了橋梁.

師:這就是今天要學習的面面垂直的性質(zhì)定理我們一起來重新整理一下其文字語言、圖形語言及符號語言.

文字語言:若兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

符號語言:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.

圖形語言:如圖6.

三、借助模型,運用性質(zhì)

例1如圖7,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求證:BC⊥平面PAB.

師:同學們思考后有想法嗎?

生5:在平面PAB內(nèi)只能找到一條直線PA與BC垂直,其余直線都不垂直.

師:其余直線都不垂直嗎?

生:其余的直線肯定和BC垂直,因為題目是要我們證明線面垂直.

師:分析得很好!垂直的現(xiàn)狀是肯定的,只是我們目前具有的條件很難證明他們的垂直關(guān)系,該怎么辦?

生:可以過點A作AD⊥PB,那么AD就垂直平面PBC,也就垂直BC.

師:很好!你是怎么想到作這條垂線的?

生:因為題目條件是兩個平面垂直,我們今天學習的面面垂直的性質(zhì)定理就是由面面垂直得到線面垂直,進一步可以得到線線垂直.

師:理解非常到位．面面垂直為我們作平面的垂線提供了路徑.

設計意圖鱉臑是高中立體幾何的重要模型,這個模型雖然很簡潔,但是對于培養(yǎng)學生運用性質(zhì)定理起到了很好的鋪墊作用.

四、改變條件,生成結(jié)論

思考1在平面α⊥β的基礎上,改變面面垂直的性質(zhì)定理的條件,看看你能得到什么樣的結(jié)論,并給出證明.

生6:過平面α外一點P作一條直線a⊥β,則直線a∥α.

師:很好!如何證明?

生6:感覺肯定平行,但我不知道如何說明.

生7:可以在平面α內(nèi)作一條直線b垂直于交線l(如圖8),那么直線b就垂直于平面β,則由線面垂直的性質(zhì)定理得到a∥b,所以a∥α.

師:這位同學給出了這個命題的證明，請問同學們還能得到其他命題嗎?

生8:既然在平面外可以作一條直線,我覺得過平面α內(nèi)一點P作直線a⊥β,則直線a?α.

師:這位同學的命題該如何證明呢?

生:(沉默)

師:同學們想想看,性質(zhì)定理說平面α內(nèi)垂直于交線的直線一定垂直平面β，現(xiàn)在反過來,我們的問題是證明過平面α內(nèi)一點作平面β的垂線一定在平面α內(nèi),同學們有什么啟發(fā)嗎?

生9:這條直線肯定是垂直于交線的.

師:對!然后呢?

生9:過點P作交線的垂線,則這條直線就垂直于平面β,這條直線就是問題中給出的直線,所以我們只需要證明兩條直線重合.

師:很好!(PPT展示圖形語言如圖9)其實,過平面外一點只能作一條直線與已知平面垂直,我們通過探究發(fā)現(xiàn)這兩條直線是同一條直線 這種證明方法在數(shù)學中稱為同一法!

五、增加條件,生成結(jié)論

思考2在α⊥β的基礎上,增加一個垂直于平面β的平面γ,你又能得到什么樣的結(jié)論?

生10:如果增加條件γ∥α,且γ∩α=m,則m∥l.

師:這位同學得到的這個結(jié)論應該是我們平面與平面平行的性質(zhì)的特殊情況.

生11:我覺得增加的平面如果與α不平行,那么就會相交．即增加條件γ∩α=n,γ∩β=m,則n⊥β.

師:很好!這位同學給出了不同的條件和結(jié)論,下面分組討論如何證明?

小組1: 我們用線面垂直的判定定理證明先在平面β內(nèi)取一點P,過點P在平面β內(nèi)作a⊥l,b⊥m,再由面面垂直的性質(zhì)定理得a⊥α,則a⊥n;同理可得b⊥n,因為a∩b=P,則n⊥β.

師:小組1幾位同學討論的結(jié)果非常好,我想問你們怎么想到這樣證明的?

小組1: 要證線面垂直,需找線線垂直，首先想到今天學習的線面垂直性質(zhì)定理,證明的難點是找到兩條相交直線,然后我們聯(lián)想到鱉臑那個例子中構(gòu)造輔助線的方法.

師:能夠聯(lián)想到例題的方法,很好！ 其他組還有用不同的方法證明的嗎?

小組2:我們通過線面平行的性質(zhì)定理證明了結(jié)論，先在平面α內(nèi)作a⊥l,則a⊥β;在平面γ內(nèi)作b⊥m,則b⊥β,進而a∥b. 因為b?γ,則a∥γ.又α∩γ=n,由線面平行的性質(zhì)定理得a∥n,所以n⊥β.(同學們響起掌聲)

師:同學們非常善于思考,這組同學們能夠?qū)⑶懊嫠鶎W線面平行的性質(zhì)定理應用到今天的證明過程中,實現(xiàn)了知識間的相互轉(zhuǎn)化.

六、歸納總結(jié)拓展深化

師:下面請同學們歸納一下線線垂直,線面垂直,面面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系(白板書寫).

生:上黑板完成三者的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系,將垂直關(guān)系用箭頭串聯(lián)起來(圖13).