基于Box-Cox變換的南京市二手房房價模型實證分析*

劉 冰 金躍強 李朝陽

(1.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學(xué)公共基礎(chǔ)課部， 江蘇南京 210043；2. 河南工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院， 河南鄭州 450001)

一、引言

隨著我國經(jīng)濟持續(xù)穩(wěn)定的發(fā)展及人均收入的不斷提高，人們對住房的需求也日益增加，房價也隨之不斷攀升。以南京為例，2005年城中新房住宅均價為7851元/，到了2015年城中新房均價已漲到28 061元/，十年間房價上漲了257.4%。

近些年來，許多學(xué)者對房價影響因素進行了研究：周爾民(2016)等利用2005—2013年數(shù)據(jù)，就宏觀經(jīng)濟、房地產(chǎn)行業(yè)、人口和市場需求水平等，利用R語言找到了影響房價的主要因素[1]；薛建譜(2013)等利用因果檢驗、長期均衡模型和誤差修正模型，從房價泡沫問題出發(fā)研究了我國房價，得出了短期內(nèi)收入和股價變動對房價影響顯著性較強，長期內(nèi)人均收入、造價和股價對房價影響顯著性較強的結(jié)論[2]；王志(2014)等研究了城市人口、工資收入、城市土地供應(yīng)等因素對房地產(chǎn)供求關(guān)系的影響，得出了2002—2008年中國除幾個沿海城市外其他主要城市中供求關(guān)系的變化在實際住房價格升值的占有很大比重的結(jié)論[3]；Baldi G(2014)利用房地產(chǎn)業(yè)的新凱恩斯主義動態(tài)隨機一般均衡模型，探討了在家庭借貸約束沖擊和偏好沖擊導(dǎo)致房價上漲和住房部門的擴張的情況下，央行通脹對房價以及自身產(chǎn)出增長率的影響[4]；Kieran McQuinn(2008)等分析了銀行可貸款額與房價之間的聯(lián)系，推導(dǎo)出收入、利率與房價之間的相互關(guān)系，建立了房價影響因素的模型并用愛爾蘭房地產(chǎn)市場數(shù)據(jù)進行了驗證[5]。上述的研究主要從宏觀經(jīng)濟、供求關(guān)系等方面研究了整個房地產(chǎn)行業(yè)。本文從二手房自身特征出發(fā)，利用Box-Cox變換對南京市二手房數(shù)據(jù)進行研究，通過建立南京市二手房單位面積房價影響因素模型，以便為購房者和賣房者對二手房的估價提供理論依據(jù)。

二、Box-Cox變換介紹

經(jīng)典的線性回歸模型為：

y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε

其中β0為回歸常數(shù)，β1,…,βp為回歸系數(shù)，ε為誤差項。這里對誤差項有著零期望、等方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布的要求。但在建立實際問題的模型時，經(jīng)常存在誤差項與假設(shè)違背的情況，為使誤差項滿足要求，經(jīng)常對y進行變量變換。Box-Cox變換就是一種常用的變換。Box-Cox變換是由Box和Cox在1964年提出的一種應(yīng)用廣泛的變換，具體對因變量y做如下變換：

其中λ為待定參數(shù)。此變換要求y的各分量都大于0，否則可用下面推廣的Box-Cox變換：

即先對y做平移，使得y+a各個分量都大于0后再做Box-Cox變換。它包含了對數(shù)變換、倒數(shù)變換等一些常用的變換，通過此變換尋找合適的λ，使得變換后的y(λ)～Nn(Xβ,σ2I)。

Box-Cox變換中參數(shù)λ通常可由極大似然估計給出，當(dāng)固定參數(shù)λ的取值時，β,σ2的似然函數(shù)為：

L(β,σ2)分別對β,σ2求偏導(dǎo)，并令其為0，可得β,σ2的最大似然估計為：

對一系列λ取值，似然函數(shù)的最大值Lmax(λ)取最大時對應(yīng)的λ，就是Box-Cox變換中參數(shù)λ的估計值。

三、南京二手房房價模型構(gòu)建

1.變量說明

本文數(shù)據(jù)采集時間為2018年3月，通過預(yù)處理最終選取了15 980條記錄，數(shù)據(jù)共包含11個變量、5個連續(xù)變量、6個離散變量。其中單位面積房價為因變量，其余為自變量，具體說明如表1：

表1 數(shù)據(jù)變量說明表

由于樓層這一定性變量有3個取值，不能簡單地給3個類別直接賦值，本文以高樓層作為基準，引入兩個0—1變量[6]235-265：

對于區(qū)域這一8個取值的定性變量，同樣以浦口作為基準，引入7個0—1變量x11～x17進行處理。

2.變量描述統(tǒng)計

不同的二手房具有不同的特征，這些特征共同決定二手房房價。在對單位面積房價影響因素模型建立之前，首先對各變量進行描述分析，從而對單位面積房價影響因素進行初步判斷，為后續(xù)研究做鋪墊。

圖1 單位面積房價直方圖

本文中，單位面積房價最低值為15 013元/平方米，所對應(yīng)的是江寧區(qū)江南青年城青楚門的一套非學(xué)區(qū)房，總面積49.96平方米；單位面積房價最高值為64 989元/平方米，所對應(yīng)的是鼓樓區(qū)西康新村的一套學(xué)區(qū)房，總面積38.93平方米。從圖1可以看出：單位面積房價呈現(xiàn)右偏分布，說明極少數(shù)價格高的住房拉高了房價的平均水平，這點從單位面積房價均值為29 842.73元/平方米，中位數(shù)為27 689元/平方米也可以得到印證。

從圖2可以看出：有學(xué)區(qū)住房的單位面積房價明顯高于無學(xué)區(qū)住房的單位面積房價；有地鐵住房的單位面積房價明顯高于無地鐵住房的單位面積房價，因此學(xué)區(qū)和地鐵是影響單位面積房價的兩個重要因素。

圖2 學(xué)區(qū)、地鐵與單位面積房價關(guān)聯(lián)

對于其他自變量，也可以類似討論?？傊肽Ｐ偷淖兞慷际呛投址繂挝幻娣e房價有密切關(guān)系，至于對房價影響是否顯著，可以通過模型顯著性檢驗進行判斷。

3.二手房房價模型建立及模型診斷

首先建立簡單的線性回歸模型。將所有變量錄入SPSS 20.0，得到南京二手房房價回歸模型，如表2。

表2 回歸系數(shù)及顯著性檢驗表

模型中決定系數(shù)R2為0.497，擬合優(yōu)度尚可；并且F值為927.822，對應(yīng)的概率P值為0.000小于0.01，F(xiàn)檢驗應(yīng)該拒絕原假設(shè)，引入的17個自變量在0.01的顯著水平下總體上對因變量有顯著性影響。每個自變量對應(yīng)的概率P值均小于0.01，說明引入的每個自變量在0.01的顯著水平下均對因變量有顯著影響。

接下來對模型進行診斷。表2中DW值1.914在2附近，說明模型無自相關(guān)；最大VIF值3.682小于10，說明模型無多重共線性。由圖3可知，隨著擬合值的增大，殘差和標(biāo)準化殘差也隨之增大，說明模型可能存在異方差問題；標(biāo)準化殘差和標(biāo)準直線偏離較大，說明誤差項可能不服從正態(tài)分布。為了解決這些問題，本文考慮對模型進行改進。

圖3 線性回歸模型診斷圖

把y(-0.6)作為因變量，對自變量做線性回歸，得到Box-Cox變換下的南京市二手房房價模型，如表3。

表3 Box-Cox回歸系數(shù)及顯著性檢驗表

模型中決定系數(shù)R2為0.513，擬合優(yōu)度有所提高；并且F值為989.285，對應(yīng)的概率P值為0.000小于0.01，F(xiàn)檢驗應(yīng)該拒絕原假設(shè)，引入的17個自變量在0.01的顯著水平下總體上對因變量有顯著性影響。每個自變量對應(yīng)的概率P值均小于0.01，說明引入的每個自變量在0.01的顯著水平下均對因變量有顯著影響。

表3中DW值1.903在2附近，說明模型無自相關(guān)；最大VIF值3.682小于10，說明模型無多重共線性。由圖4可知，Box-Cox回歸模型相對于線性回歸模型異方差得到了極大的改善；殘差QQ圖上的點也大體在一條直線附近，說明誤差服從正態(tài)分布；Cook距離表現(xiàn)正常，說明模型沒有異常點。因此，使用Box-Cox回歸模型刻畫單位面積房價與自變量之間的關(guān)系更合理。

圖4 Box-Cox回歸模型診斷圖

根據(jù)Box-Cox回歸模型結(jié)果，學(xué)區(qū)和區(qū)域會使單位面積房價存在顯著差異，所以，在Box-Cox回歸模型的基礎(chǔ)上，本文考慮學(xué)區(qū)和區(qū)域交互作用，建立Box-Cox交互回歸模型，結(jié)果如表4。

當(dāng)考慮了“區(qū)域×學(xué)區(qū)”的交互效應(yīng)時，一個明顯的變化是：學(xué)區(qū)房變量系數(shù)估計成為負數(shù)。因為“區(qū)域”“區(qū)域×學(xué)區(qū)”兩個變量的基準組是浦口，所以對應(yīng)的結(jié)論為：在浦口區(qū)，非學(xué)區(qū)房價格反而比學(xué)區(qū)房單位面積房價高(這一結(jié)論在原數(shù)據(jù)中也能得到體現(xiàn))。造成“浦口區(qū)非學(xué)區(qū)房價格反而比學(xué)區(qū)房單位面積房價高”的主要原因有二：第一，樣本中浦口學(xué)區(qū)房比例較低，只有19.5%；第二，與其他區(qū)域相比，浦口學(xué)區(qū)資源相對較差。

表4 box-cox交互回歸系數(shù)及顯著性檢驗表

四、小結(jié)

通過引入臥室數(shù)等十個變量對南京市二手房單位面積房價進行分析，給出了單位面積房價影響因素的線性回歸模型，并利用Box-Cox變換對模型進行改進，最終確定采用Box-Cox交互回歸模型來刻畫各因素和單位面積房價的關(guān)聯(lián)。從模型中可以看出：第一，學(xué)區(qū)和區(qū)域兩個因素對單位面積房價影響較大；地鐵、裝修、廳數(shù)、樓層、電梯、臥室數(shù)次之；面積和房齡對單位面積房價有負影響。第二，“學(xué)區(qū)優(yōu)勢”對各區(qū)域單位面積房價影響有所區(qū)別。鼓樓、雨花臺和棲霞區(qū)的學(xué)區(qū)房房價明顯高于非學(xué)區(qū)房房價；但浦口區(qū)學(xué)區(qū)房價格反而比非學(xué)區(qū)房房價低。

本文建立的Box-Cox交互回歸模型，不但引入的自變量均通過了顯著性檢驗，而且誤差項滿足經(jīng)典回歸模型的零期望、等方差、零協(xié)方差和正態(tài)分布的要求。由于影響單位面積房價的因素有很多，比如國家政策、土地供應(yīng)、周邊配套、小區(qū)環(huán)境等，在未來的研究中可以繼續(xù)加入這些因素，使模型更精確。