高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中證明題的解題技巧

方亮

【摘要】在高中數(shù)學(xué)解題中，證明題是重要的題型，也是學(xué)生解題中的難點(diǎn)，主要考查學(xué)生邏輯思維能力和分析能力.在證明題解題中，如果缺少合適的解題方式，會(huì)使得解題陷入困境.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)傳授學(xué)生證明題解題技巧，幫助學(xué)生明確解題思路，提高學(xué)生解題效率，進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī).本文分析高中數(shù)學(xué)解題中證明題的解題技巧.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；證明題；解題技巧

在高中數(shù)學(xué)證明題解題教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生牢固掌握與透徹理解數(shù)學(xué)規(guī)律、定理、公式與概念等理論知識(shí)為前提，教授給他們一些常用的、有效的做題方法，使其形成清晰、簡(jiǎn)潔的證明思路，掌握科學(xué)的證明方法.

1 運(yùn)用綜合法求解數(shù)學(xué)證明題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，證明題是一類典型的綜合性題目，涉及的知識(shí)方面可謂是相當(dāng)廣泛，解答證明題時(shí)學(xué)生應(yīng)具備較為全面的知識(shí)體系，只有這樣才能完美地解決證明題.因此，高中數(shù)學(xué)教師首先可以指引學(xué)生運(yùn)用綜合法求解數(shù)學(xué)證明題，根據(jù)題目中提供的已知條件展開順向推理，使其通過一系列推導(dǎo)得出結(jié)論，讓他們證明結(jié)論的可靠性與真實(shí)性［1］.

例1 已知x，y，z是三個(gè)不全部一樣的實(shí)數(shù)，請(qǐng)證明x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.

根據(jù)不等式定理可以得到x4+y4≥2x2y2，x4+z4≥2x2z2，z4+y4≥2z2y2，

又因?yàn)閤，y，z是三個(gè)不全部一樣的實(shí)數(shù)，所以上述三個(gè)式子必然有一個(gè)無(wú)法取等號(hào)，

所以得到x4+y4+z4＞x2y2+x2z2+y2z2，

因?yàn)閤2y2+y2z2≥2xy2z，x2z2+y2z2≥2xyz2，x2y2+x2z2≥2x2yz，

所以不等式x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）成立.

2 采用分析法求解數(shù)學(xué)證明題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，分析法是求解證明題的常用方法之一，屬于逆證法的一種，學(xué)生需要體驗(yàn)從未知到已知的整個(gè)過程，對(duì)他們的邏輯思維能力有著較高要求.簡(jiǎn)單來(lái)說，使用分析法時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)先假設(shè)題目中所證明的結(jié)論是正確的，再推理出可以確保這一結(jié)論充分成立的結(jié)果，而且這些結(jié)論肯定是已知的定理，已證明過的命題或者題設(shè)中的已知條件.

例2 已知a大于0，請(qǐng)證明a2+1a2－2≥a＋1a－2.

解 要想證明式子a2+1a2－2≥a＋1a－2成立，只需要證明式子a2+1a2＋2≥a＋1a＋2成立即可，由于a大于0，所以又能夠推理出只需要證明式子a2+1a2＋22≥a＋1a＋22成立即可，把式子化簡(jiǎn)、整理以后能夠得到4a2+1a2≥2a2+2+1a2，觀察這一式子能夠發(fā)現(xiàn)a2+1a2≥2，故說明上面不等式成立.

3 利用歸納法求解數(shù)學(xué)證明題

歸納法主要用來(lái)證明同正整數(shù)n相關(guān)的數(shù)學(xué)命題，這種證明方法有固定的流程，有著較高的識(shí)別度，通常是由一系列有限的特殊事例得出結(jié)論的推理方法.在高中數(shù)學(xué)證明題解題教學(xué)中利用歸納法時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生清晰地意識(shí)到驗(yàn)證在整個(gè)證明過程中起著基礎(chǔ)條件的作用，關(guān)鍵是對(duì)式子展開推理，使其在推理中精準(zhǔn)找到遞推關(guān)系，助推他們順利證明結(jié)論［2］.

例3 請(qǐng)證明式子（3n+1）×7n－1可以被9整除.

解 當(dāng)n＝1時(shí)，原式等于4×7－1＝27，27÷9＝3，說明能夠被9整除，初步證明命題成立；假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，命題成立，原式等于（3k＋1）×7k－1可以被9整除；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原式等于（3k＋4）×7k+1－1＝［（3k＋1）×7k－1］＋18k×7k＋27k×7k，根據(jù)歸納假設(shè)（3k＋1）×7k－1可以被9整除，由于18k×7k＋27k×7k也可以被9整除，故（3k＋4）×7k+1－1同樣可以被9整除，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，該命題也成立.

4 應(yīng)用函數(shù)法求解數(shù)學(xué)證明題

函數(shù)法顧名思義是采用函數(shù)方面的知識(shí)進(jìn)行證明的一種解題方法，需發(fā)掘出研究對(duì)象中所包含的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)概念、性質(zhì)、基本規(guī)律與圖像等相關(guān)知識(shí)深入分析與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，最終實(shí)現(xiàn)證明結(jié)論的效果.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀題目信息，仔細(xì)解讀題干內(nèi)容，使其從中找到相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，讓他們把原題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題后加以證明.

例4 已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1，請(qǐng)證明1x＋1y≥3＋22.

解 根據(jù)x＞0，y＞0，x＋2y＝1，能夠得到y(tǒng)＝12（1－x），且x∈（0，1），這明顯是一個(gè)函數(shù)，據(jù)此可知1x＋1y＝1x＋21+x，要想證明1x＋1y≥3＋22，只需要證明函數(shù)f（x）＝1x＋21+x的最小值是3＋22即可，這樣就把這道證明題轉(zhuǎn)變成求解函數(shù)最小值的問題，假定z＝1x＋21+x，這時(shí)能夠把其轉(zhuǎn)化成有關(guān)x的二次函數(shù)，且其在x∈（0，1）范圍內(nèi)有解，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合思想能夠便捷地求解出其最小值是3＋22，由此題設(shè)得以證明.

5 使用反證法求解數(shù)學(xué)證明題

針對(duì)高中數(shù)學(xué)證明題解題教學(xué)來(lái)說，以上幾種解題技巧都屬于正向思維的運(yùn)用，但是有的證明題較為特殊，雖然也能夠基于正向視角展開證明，不過過程復(fù)雜，思路容易混亂，很難順利地證明出來(lái).這時(shí)高中數(shù)學(xué)教師可以引領(lǐng)學(xué)生使用反證法來(lái)求解證明題，使其假設(shè)題設(shè)中給出的結(jié)論不成立，然后往回推理，推導(dǎo)同已知條件相矛盾，間接證明結(jié)論的成立［3］.

例5 已知a，b，c都位于區(qū)間（0，1）里面，請(qǐng)證明（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中，最少有一個(gè)小于或者等于14.

解 根據(jù)0＜a＜1可以得到1－a＞0，然后利用不等式結(jié)論能夠得到（1－a）+b2≥（1－a）b＞14＝12，而針對(duì)b與c，采用同樣的方式能夠得到一樣的式子，將三個(gè)式子相加將會(huì)得到32＞32，這明顯是個(gè)矛盾，由此原命題成立.

6 總結(jié)

證明題作為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中一類比較常見的題型，同其他題目類型相比解題難度較大，除掌握穩(wěn)固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)以外，還應(yīng)具備較強(qiáng)的思維能力，高中數(shù)學(xué)教師在平常的解題訓(xùn)練中應(yīng)給予高度重視，專門開設(shè)證明題專題訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體題目靈活選用綜合法、分析法、歸納法、函數(shù)法與反證法等解題技巧，提升他們的解題水平.

參考文獻(xiàn)：

［1］陳羿霖.高中數(shù)學(xué)證明題解題思考［J］.科幻畫報(bào)， 2019（01）：89+91.

［2］周煊程.淺談高中數(shù)學(xué)證明題的解題思路［J］.中外企業(yè)家， 2018（15）：131.

［3］王立振.構(gòu)建解題思路 反思課堂教學(xué)——一類二元變量證明題的解題策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（02）：43-45.