非等間距GM(1,1)冪指數(shù)優(yōu)化模型在變形監(jiān)測中的應(yīng)用

魏家猛，刁建鵬 ，姜華根

(西南林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 昆明 650051)

隨著現(xiàn)代化發(fā)展進(jìn)程的腳步，中國基礎(chǔ)建筑飛速發(fā)展，機(jī)場、高鐵、地鐵等與日俱增，施工期間，隨著進(jìn)度的發(fā)展，建筑物必定會隨著荷載的增加發(fā)生沉降現(xiàn)象，為保證工作順利進(jìn)行，必須對建筑物進(jìn)行變形監(jiān)測，借助儀器對動態(tài)的建筑物進(jìn)行靜態(tài)的、周期性的測量，將獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行基準(zhǔn)網(wǎng)穩(wěn)定性分析以確保監(jiān)測數(shù)據(jù)的可靠性[1]。將每期獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，并以時間序列為因變量尋找觀測值與時間序列之間存在的不確定性關(guān)系，用熟知的模型將這種不確定性關(guān)系表達(dá)出來，再對建筑物進(jìn)行預(yù)測。常見的模型有小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色模型、回歸分析和時間序列等。

20世紀(jì)80年代中國學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立了一門以“小樣本，貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象的新理論。因其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于不同的領(lǐng)域，并取得優(yōu)異的成果[2]。如劉思峰、黨耀國等通過分析誤差出現(xiàn)的原因，確定了背景值對灰色模型預(yù)測范圍的影響[3]?；ㄏ蚣t、 李海英等將灰色模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行組合，并成功應(yīng)用于變形監(jiān)測[4]。黃聲享、李志成等將非等間距模型進(jìn)行變換處理解決了沉降觀測中灰色模型必須等距的的實用性問題[5]。這些學(xué)者的研究使灰色模型得到了充分的發(fā)展。

本文在灰色非等間距模型冪指數(shù)模型的基礎(chǔ)上利用灰色模型中差商近似代替微商，推導(dǎo)出求解非等間距冪模型中冪指數(shù)γ的計算公式。與常規(guī)回歸分析建模進(jìn)行對比，并驗證了該方法適用于變形監(jiān)測的有效性、正確性和實用性。

1 回歸分析

1.1 非線性回歸方程定義

在求非線性回歸方程時一般可分為2步，第一，確定函數(shù)的類型，可以根據(jù)散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)組成曲線的形狀進(jìn)行確認(rèn)。第二，求解與函數(shù)相關(guān)的參數(shù)，在利用最小二乘求解非線性回歸方程時是非常復(fù)雜的，通常情況下是通過變換自變量和因變量將回歸曲線變換為常用的一元線性方程進(jìn)行求解；或者將曲線進(jìn)行多項式擬合，通過多項式將2個變量之間的關(guān)系描述出來，把曲線回歸轉(zhuǎn)換為常用的多項式回歸，簡化問題[6]。

將預(yù)選的回歸曲線f(x,y,a,b)=0線性化寫為：

v=A+B×u

式中的v,u是分別只含一個變量關(guān)于x和y的函數(shù)，A、B是關(guān)于參數(shù)a、b的函數(shù)。

利用最小二乘估計得出a、b的最優(yōu)估值，此后用一元線性回歸方程來描述非線性回歸方程之間的關(guān)系，如下：

在得到一元線性回歸方程后利用函數(shù)逆變換還原目標(biāo)函數(shù)得到非線性回歸方程。

1.2 回歸方程的擬合精度評估

(1) 回歸方程的穩(wěn)定性

式中σa、σb為a、b的標(biāo)準(zhǔn)差；σab為a、b的協(xié)方差。

(2) 回歸方程的方差分析

觀測值之間的差異用觀測值與其算術(shù)平均值的離差平方和表示，稱為總離差平方和，如下

將總離差平方和進(jìn)行分解，最終可以得到由回歸平方和和殘余平方和表示的總離差平方和，其表示如下：

也可簡化為：

S=U+Q

U為回歸平方和，反映了在y總的變差中由x和y的線性關(guān)系引起的y變化的部分，即在總離差平方和中占得比例，Q為殘余平方和，反映觀測值與預(yù)測值之間的差異，也可以解釋為x和y之間線性關(guān)系以外的影響因素，Q越小擬合程度越好。

(3)R2檢驗

為驗證回歸方程中y和x之間的線性關(guān)系是否顯著，作假設(shè)H0：β=0，即y和x之間不存在線性關(guān)系。由回歸方程的方差分析可知U在S中所占的比例越大，x和y的線性關(guān)系越強(qiáng)烈，因此定義R2為衡量曲線擬合的指標(biāo)[6]，如下：

R2為相關(guān)系數(shù)，由上式可看出R的取值為(0,1)，一般在范圍0.8～1內(nèi)，可以認(rèn)為回歸平方和所占的比例大，擬合程度好，自變量與因變量具有很強(qiáng)的相關(guān)性。

(4) 顯著性檢驗

在假設(shè)H0：β=0下，即y和x之間不存在線性關(guān)系。構(gòu)造統(tǒng)計量F：

式中f為自由度，

如果在顯著水平α下，F(xiàn)>F(f,n-f-1)，則認(rèn)為回歸方程式顯著的，方程系數(shù)不顯著為零，可以進(jìn)行預(yù)測。

2 非等間距冪模型參數(shù)優(yōu)化模型

2.1 非等間距冪指數(shù)優(yōu)化模型定義

設(shè)原始非負(fù)序列為x(0)(t)={x(0)(t1),

x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，其中，△tk=tk-t(k-1)≠const，k=2，3,…,n，對原始序列進(jìn)行累加生成：

{x(1)(tk)={x(1)(t1),x(1)(t2)，…，x(1)(tn)}

式中

將序列x(1)進(jìn)行緊鄰均值生成得序列：Z(1)=(Z(1)(t2),Z(1)(t3)，…,Z(1)(tn))

其中，Z(1)tk=0.5(x(1)tk+x(1)t(k-1)),k=2,3，…,n

則非等間距GM(1，1)冪模型的灰色微分方程模型為：

x(0)+aZ(1)(tk)=b(Z(1)(tk))γ

特別，當(dāng)γ=0時上式為非等間距模型，當(dāng)γ=2時為灰色非等間距Verhulst模型。因此，處理好γ的選擇問題就能建立精確的預(yù)測模型[7]。

2.2 參數(shù)求解

+ax(1)(t)=b(x(1)(t))γ的兩邊同時除以

(x(1)(t))γ得：

對上式中的t進(jìn)行求導(dǎo)并整理可得：

[x(0)(tk)]2×[Z(1)(tk)]γ-1=a×(γ-1)×

[Z(1)(tk)]γx(0)(tk).

同理，當(dāng)t=tk+1時可得：

將上式進(jìn)行相除消去參數(shù)a，整理上式后可得冪指數(shù)γ的計算公式：

取k=2,3,…,n-1時，可以得到n-2個γ值，記為γk，構(gòu)造關(guān)于γ的函數(shù)g(γ)如下：

令

由函數(shù)可以看出，在函數(shù)取最小值時的γ就是所求的最優(yōu)估值。根據(jù)極值存在條件可得：

將上述得到的估值γ帶入模型的微分方程，通過求解，最終得到參數(shù)的表達(dá)式如下：

由此非等間距冪指數(shù)模型的響應(yīng)時間式為：

還原式為：

2.3 預(yù)測模型檢驗

灰色非等間距冪模型是否能應(yīng)用于變形監(jiān)測，其可靠性與精度檢驗可以由殘差大小檢驗，關(guān)聯(lián)度檢驗，后驗方差檢驗等進(jìn)行判斷，采用殘差統(tǒng)計特征進(jìn)行后驗方差檢驗，以預(yù)測值或擬合值殘差為基礎(chǔ)，求取檢驗后方差比c和小誤差概率值P，以后驗方差和小概率的值大小評判精度[8]，參照標(biāo)準(zhǔn)如表1。步驟如下：

(1)求取殘差:

(2)殘差均值及測量值均值。

(3)殘差的方差值：

(4)原始數(shù)據(jù)方差：

表1 精度等級表

3 實例分析

某建筑在施工過程中，為確工程安全，進(jìn)行沉降觀測。選取8期數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其中前7期為建模，第8期作為預(yù)測。在回歸分析中，由于數(shù)據(jù)為負(fù)序列，無法進(jìn)行對數(shù)變換。因此，利用數(shù)據(jù)的變換將原始數(shù)據(jù)變化量進(jìn)行Y=Y+10變換，方便多種回歸模型的的選擇和建立，最終進(jìn)將得到的預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行還原，得到需要的預(yù)測數(shù)據(jù)。以下數(shù)據(jù)皆是在Matlab中進(jìn)行編程計算的，表2為數(shù)據(jù)整理的結(jié)果。

表2 預(yù)測成果表

3.1 精度分析

在上表中，回歸方程的擬合效果指標(biāo)R2為0.935，說明擬合度很不錯，顯著性檢驗統(tǒng)計量F為72.168，可認(rèn)為回歸是高度顯著的。在非等間距冪指數(shù)模型的預(yù)測中，后驗差c為0.0155(≤0.35)，小概率P為1(≥0.95)，根據(jù)灰色模型精度評定標(biāo)準(zhǔn)為1級。2者皆滿足建模的精度需求，因此可以進(jìn)行數(shù)據(jù)的預(yù)測。將第8期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測檢驗擬合效果，如表3模型預(yù)測表。

表3 模型預(yù)測表

3.2 模型分析

表3對2種模型進(jìn)行了預(yù)測檢驗，回歸分析的預(yù)測數(shù)據(jù)為-5.7374，殘差為0.4626，灰色模型預(yù)測值為-6.6093，殘差為0.4093。通過2種方法的進(jìn)行的預(yù)測值對比，回歸分析絕對平均殘差和相對平均誤差分別為0.3043和8.82%，灰色模型的絕對平均殘差和相對平均誤差分別為為0.1196和2.6%，由擬合效果圖圖1可以看出2種方法都可以很好地擬合出變化曲線，在圖2殘差對比圖中可知2種方法的預(yù)測效果皆在毫米級以內(nèi)，且灰色模型的殘差普遍小于回歸分析，灰色冪指數(shù)優(yōu)化模型擬合效果較優(yōu)于回歸分析。

4 結(jié)論與建議

通過灰色模型與回歸模型的數(shù)據(jù)對比分析，灰色冪指數(shù)優(yōu)化模型可以應(yīng)用于建筑物的沉降預(yù)測，并能在一定程度上提高模型的預(yù)測精度。故此， 灰色冪指數(shù)優(yōu)化模型可以作為一種建筑物沉降預(yù)測的預(yù)測手段。

由于冪指數(shù)模型對原始數(shù)據(jù)較常規(guī)模型更為靈敏，在數(shù)據(jù)獲取過程中應(yīng)當(dāng)確定數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。盡量減少粗差和觀測方法對原始序列造成的影響，保證預(yù)測模型的擬合精度。