非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動性

寇 靜

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，太原 030008)

非線性中立型時(shí)滯微分方程在2自由度控制系統(tǒng)和時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)中具有廣泛的應(yīng)用前景，對非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動性進(jìn)行分析，能夠提高非線性中立型時(shí)滯微分方程的輸出穩(wěn)定性[1]，因此相關(guān)的非線性中立型時(shí)滯微分方程振動性分析方法研究受到人們的極大關(guān)注[2]。本文對穩(wěn)態(tài)收斂條件下的非線性中立型時(shí)滯微分方程收斂性進(jìn)行分析，通過雙邊穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動性分析，最后通過驗(yàn)證得出有效性結(jié)論。

1 構(gòu)造非線性中立型時(shí)滯微分方程

估計(jì)非線性中立型時(shí)滯微分方程的M-P廣義逆矩，設(shè)x1(t),x2(t)為非線性中立型時(shí)滯微分方程雙邊界函數(shù)條件，研究非線性中立型時(shí)滯微分方程在雙邊界條件下的振動性[3]，在t→∞的情況下，根據(jù)非線性中立型時(shí)滯微分方程在雙邊界條件下的凸優(yōu)化條件，得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的松弛解代數(shù)方程組：

(1)

(2)

在線性子空間中進(jìn)行方程特征分解和周期解分析。

定理1振動性泛函定理[4]。在非線性中立型時(shí)滯微分方程中，令r個(gè)整數(shù)m1,m2,…,mr兩兩互素，a1,a2,…，ar是任意r個(gè)非線性中立型時(shí)滯微分方程的特征分布集，則同余方程為x≡aimodmi(1≤i≤r)，得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的特征分布矩陣：

(3)

利用平衡點(diǎn)平移特性，對振動特征解進(jìn)行邊界約束分析，得到了以下的邊界函數(shù)：

p=-(fx1+gx2)|P0(x01,x02)

(4)

q=detA

(5)

M=m1,m2,…，mr，得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的唯一解，其表達(dá)式為：

(6)

其中，Mi=M/mi，yiMi≡1modmi，1≤i≤r，所以在非線性中立型時(shí)滯微分方程解集中，采用高階時(shí)頻特征變換進(jìn)行非線性中立型時(shí)滯微分方程解的模糊度尋優(yōu)，得到核函數(shù)為：

K(xi,xj)=〈xi,xj〉

(7)

K(xi,xj)=(〈xi,xj〉+1)d

(8)

K(xi,xj)=exp(‖xi-xj‖2/2σ2)

(9)

上式中，核系數(shù)σ=0.707。

采用連續(xù)穩(wěn)定性分析方法，進(jìn)行非線性中立型時(shí)滯微分方程的模糊度分析：

(10)

上式經(jīng)常用于有理數(shù)或者無理數(shù)的逼近，采用有理積分控制方法，進(jìn)行非線性中立型時(shí)滯微分方程的輸出振動性特征解分析。

2 微分方程的振動性分析和證明

在實(shí)數(shù)域中求得穩(wěn)態(tài)收斂條件下非線性中立型時(shí)滯微分方程的連續(xù)格林函數(shù)的正多解，采用高斯混合邊緣融合方法進(jìn)行振動性特征解的非齊次邊界性分析[5]，構(gòu)建非線性中立型時(shí)滯微分方程的擾動特征泛函凸組合模型，分析其收斂性和振動性。

(11)

定義2非線性中立型時(shí)滯微分方程的決策函數(shù)F′(X)滿足W(F(X))≤LW(X)，L是常數(shù)，則稱F′(X)是Lipschitz區(qū)間函數(shù)，得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動性特征解的可逆矩陣：

(12)

(13)

公式(12)與公式(13)表示非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動性特征解的極大熵函數(shù)，此時(shí)在矩陣H中存在非線性中立型時(shí)滯微分方程的正交奇異特征解，表示為：

(14)

狀態(tài)變量x(t)中的標(biāo)量ξ和非零向量v滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性[6]，得到方程特征解的正定矩陣的階數(shù)為m，m-1列和第m+1列形成子方陣，表示為：

(15)

在實(shí)數(shù)域中求得的穩(wěn)態(tài)收斂條件下非線性中立型時(shí)滯微分方程的連續(xù)格林函數(shù)D的正多解，采用高斯混合邊緣融合方法進(jìn)行振動穩(wěn)定性特征解的非齊次邊界性分析[7]，半正定矩陣A-1(A|B)=(E|A-1B)中存在奇異的m階子方陣，得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的聯(lián)合特征函數(shù)為：

(16)

(17)

假設(shè){qN}單調(diào)遞增，qN≥1，得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的擾動特征泛函為：

(18)

(19)

構(gòu)建非線性中立型時(shí)滯微分方程的特征向量多項(xiàng)式，得到：

≤k‖W(x(k))‖∞

(20)

根據(jù)非線性中立型時(shí)滯微分方程的特征向量分析結(jié)果，對方程的收斂性進(jìn)行證明。

當(dāng)N→∞時(shí)，|x(k)|→0，得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的特征解滿足漸進(jìn)穩(wěn)定性，此時(shí)‖W(x(k))‖∞→0，由積矩陣Schur分解的擾動定理，得到：

(21)

(22)

得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動性特征解為：

(23)

可知，根據(jù)Schur收斂性條件，得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動解是漸進(jìn)穩(wěn)定的[9-10]。

3 實(shí)證分析

在實(shí)證分析中，取非線性中立型時(shí)滯微分方程的針振動系數(shù)ε=10-6，取x=(X1,X2) 為區(qū)間向量，目標(biāo)函數(shù)為：

f2(x)=X1+X2+1,

f3(x)=sinX1-cosX2.

(24)

x(0)=[[-1,2][-1,2]]

(25)

p取0.3時(shí)，求解出非線性中立型時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定特征量x=(X1,X2)：

X1=[-0.4301597103476526,

-0.4301595991717815]

(26)

X2=[-0.5698403045535088,

-0.5698402933776378]

(27)

計(jì)算

KX(l)={k∈{1,2,…,n}|W(xk(l))≠0)}

(28)

非線性中立型時(shí)滯微分方程的凸組合模型為：

f(x)=[1.071539141671495,

1.071539141671497]

(29)

最后得到非線性中立型時(shí)滯微分方程的尋優(yōu)曲線如圖1所示。

分析得知，本文方法進(jìn)行非線性中立型時(shí)滯微分方程振動性分析的尋優(yōu)能力較好。

4 結(jié)語

對非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動性進(jìn)行分析，能夠提高非線性系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性。本文利用采用高斯混合邊緣融合方法進(jìn)行振動性特征解的非齊次邊界性分析，構(gòu)建非線性中立型時(shí)滯微分方程的擾動特征泛函凸組合模型，分析其收斂性和穩(wěn)定性，分析得出非線性中立型時(shí)滯微分方程的振動解是漸進(jìn)穩(wěn)定，且方程的振動性特征解具有邊界性。