平面體系幾何組成分析的規(guī)則和技巧

史陽光，劉 磊

(伊犁師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆 伊寧 835000)

平面體系的機(jī)動(dòng)分析是判斷體系是否幾何不變,能否作為工程結(jié)構(gòu)使用[1]；學(xué)生掌握的好壞，影響著后續(xù)內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)力的計(jì)算；但是平面體系千變?nèi)f化，機(jī)動(dòng)分析中概念多，技巧性強(qiáng)[2-4]。這一章節(jié)對(duì)于沒有接觸實(shí)際工程的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)時(shí)往往感到無從下手，逐漸失去學(xué)習(xí)的積極性。結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合相關(guān)例題進(jìn)行分析，為學(xué)生提供一種有章可循的分析技巧。

1 幾何不變體系的組成規(guī)則

在分析幾何體系時(shí)，常用到有3個(gè)規(guī)則。

1.1 3剛片規(guī)則

3個(gè)剛片用3個(gè)鉸兩兩相聯(lián)，且3鉸不共線，組成無多余約束的幾何不變體系。這個(gè)規(guī)則講解時(shí)必須給學(xué)生強(qiáng)調(diào)：3鉸不在1條直線上，若3鉸共線則為瞬變體系。3鉸可以是實(shí)鉸也可以是虛鉸，但剛片必須用鉸兩兩相聯(lián)。如圖1所示，3個(gè)剛片雖有3個(gè)鉸相聯(lián)，但鉸0不是聯(lián)系剛片2、3或者剛片1、3的鉸，不能用3剛片規(guī)則進(jìn)行分析判定。

1.2 2剛片規(guī)則及推論

2個(gè)剛片用1個(gè)鉸和1根不經(jīng)過此鉸的鏈桿相聯(lián)，組成幾何不變體系。或3個(gè)剛片用3根不全平行也不相交于1點(diǎn)3根鏈桿相聯(lián)，構(gòu)成無多余約束的幾何不變體系[5]。如圖2所示，1、3剛片用13桿和鉸連結(jié)形成擴(kuò)大剛片后與剛片2同樣用1根鏈桿和1個(gè)鉸相連，組成幾何不變體系。

1.3 2元體規(guī)則

在1個(gè)體系上增加2元體，不會(huì)改變原有體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)。2元體形式多樣。圖3均可看成2元體。

2 多角度看待體系

3個(gè)規(guī)則講解后，教師要循序漸進(jìn)，為分析復(fù)雜體系做準(zhǔn)備。如圖4所示簡支梁。2剛片規(guī)則分析：梁AB看成一個(gè)剛片，地基看成1個(gè)剛片，用1、2、3三根不全平行也不交于1點(diǎn)的鏈桿相聯(lián)，組成無多余約束的幾何不變體系；用2元體規(guī)則分析：地基看成1個(gè)剛片依次增加2元體23A、AB1；組成無多余約束的幾何不變體系。用3剛片規(guī)則分析：鏈桿1、梁AB、基礎(chǔ)均看成剛片，3剛片用3個(gè)鉸兩兩相連，構(gòu)成幾何不變體系。看似簡單的簡支梁，從不同的角度去分析，其結(jié)果都一樣；這樣可以讓學(xué)生多角度去看待問題，加深學(xué)生對(duì)規(guī)則的理解和應(yīng)用。

3 機(jī)動(dòng)分析模式及算例

3.1 觀察地基與平面體系的聯(lián)接

若地基與體系用3根既不全平行也不相交于1點(diǎn)的鏈桿相聯(lián)，已滿足2剛片規(guī)則，則可去除支座鏈桿和地基，只分析體系內(nèi)部是否幾何可變(如圖5所示)。去除支座鏈桿后，只分析上部體系，根據(jù)2元體規(guī)則逐漸形成兩個(gè)擴(kuò)大的剛片I、II，2個(gè)剛片用鏈桿AB和鉸0相連，組成無多余約束的幾何不變體系。

3.2 觀察體系中是否有2元體

增減2元體對(duì)幾何體系的不變性沒有影響，去除2元體時(shí)，從體系的最外側(cè)開始去除，增加2元體時(shí)必須在已經(jīng)確定幾何不變的基礎(chǔ)上進(jìn)行增加。圖6所示，體系中有2元體，依次去除2元體123、534、756、978、A86、B46、A6B，最后只剩下基礎(chǔ)，判定為無多余約束的幾何不變體系；也可在基礎(chǔ)上依次增加2元體A6B、A86、B46、978、756、534、123。判定結(jié)果同樣為無多與約束的幾何不變體系。圖7依次去除2元體DAC、EBC、DCE、GDF、HEF、GFH，判定為幾何不變體系。

3.3 巧用三角形

三角形本身為幾何不變，可以看成剛片。如圖8所示，三角形可以看成1個(gè)剛片，用鏈桿23、56、14相連，符合2剛片規(guī)則，無多余約束的幾何不變體系。也可以利用3剛片規(guī)則鏈桿12、56、34看成剛片，增加2元體251、364形成2個(gè)擴(kuò)大的三角形剛片，每2個(gè)剛片用兩根鏈桿形成1個(gè)實(shí)鉸5、6，以及虛鉸0，3鉸不共線，為幾何不變體系。

圖9中，去除支座鏈桿與地基，△ABC看成剛片，增加2元體ADC、CEB形成擴(kuò)大剛片I，△DGF、△EFH，看成剛片II、III，3個(gè)剛片用3個(gè)鉸D、E、F相聯(lián)，組成無多余約束的幾何不變體系。

3.4 順藤摸瓜 巧用鏈桿

當(dāng)上部體系與基礎(chǔ)用多于3根的鏈桿相聯(lián)時(shí)，首先考慮用擴(kuò)大剛片的方式，運(yùn)用用2剛片規(guī)進(jìn)行判定?；A(chǔ)必須看成1個(gè)剛片(如圖10)。地基看成1個(gè)剛片，與剛片II形成擴(kuò)大剛片，與剛片III用2剛片規(guī)則，再次形成擴(kuò)大剛片，與剛片I再用兩剛片規(guī)則，組成幾何不變體系。4根支座鏈桿與基礎(chǔ)相連，則基礎(chǔ)看成1個(gè)剛片，如果在基礎(chǔ)上無法增加2元體形成擴(kuò)大剛片，此時(shí)需要考慮3剛片規(guī)則(圖11所示)。首先，去2元體EFG、BHG。若把三角形EDC、三角形CBA看成兩個(gè)剛片，這兩個(gè)三角形用鉸C相聯(lián)，地基與任意三角形聯(lián)接都不符合3剛片規(guī)則，必須另辟蹊徑，可以觀察到與地基直接相連的有DE、DC支座鏈桿1、2這4根鏈桿看成“藤”，只需找到與地基相聯(lián)的2個(gè)“瓜”，支座鏈桿2與DE同時(shí)聯(lián)接EG，EG就是要找的其中1個(gè)剛片，DC和支座鏈桿1與三角形ABC相聯(lián)三角形ABC就是要找的剛片。至此3個(gè)剛片就全部找到了，符合3剛片規(guī)則，組成無多與約束的幾何不變體系。圖12所示，地基用5根支座鏈桿與體系相聯(lián)，從地基出發(fā)無法增加2元體形成擴(kuò)大剛片，所以2剛片規(guī)則行不通；若把三角形ABD、ACF看成剛片，與地基相聯(lián)無法用3剛片規(guī)則。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)與地基相聯(lián)的桿件有DB、DA、支座鏈桿1、2。按照順藤摸瓜可以找到剛片BE和ACF，與地基可以用3剛片規(guī)則分析，無多余約束的幾何不變體系。

綜上所述：分析時(shí)可以在已知不變的體系上去除2元體，簡化體系。或增加2元體形成擴(kuò)大剛片。看支座鏈桿與地基的鏈接數(shù)目，等于3根去除地基和支座鏈桿，只分析體系本身，大于3根，用2剛片規(guī)則形成擴(kuò)大剛片或3剛片規(guī)則，處地基外在尋找2個(gè)剛片。還可以計(jì)算自由度。如果W>0,必為幾何可變體系。W≤0，用3個(gè)規(guī)則進(jìn)行分析。

4 結(jié)語

幾何體系機(jī)動(dòng)性分析時(shí)，利用3個(gè)規(guī)則及分析技巧，有助于學(xué)生快速理解掌握本章節(jié)內(nèi)容，做到有的放矢，快速解題，通過此方法的應(yīng)用，為學(xué)生提供一種新的技巧。