極點(diǎn)與極線(xiàn)視角下求解2020年高考圓錐曲線(xiàn)題

廣東第二師范學(xué)院番禺附屬中學(xué) (511400) 舒海燕福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 (350117) 陳清華

2020年高考落下帷幕，高考試題精彩紛呈，值得我們認(rèn)真研究和學(xué)習(xí).筆者試著對(duì)2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題進(jìn)行了探究.原題再現(xiàn)如下：

圖1

一、極點(diǎn)與極線(xiàn)的代數(shù)形式

定義1 對(duì)于圓錐曲線(xiàn)C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，已知點(diǎn)P(x0,y0)(非中心)及直線(xiàn)l:Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，則稱(chēng)點(diǎn)P和直線(xiàn)l是圓錐曲線(xiàn)C的一對(duì)極點(diǎn)和極線(xiàn).特別地：

(4)對(duì)于拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為y0y=p(x0+x).

二、極點(diǎn)與極線(xiàn)的幾何形式

圖2

定義2 如圖2，設(shè)P是不在圓錐曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引兩條割線(xiàn)依次交圓錐曲線(xiàn)于四點(diǎn)ABCD，連接AC、BD交于Q，連接AD、BC交于R，則直線(xiàn)QR為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線(xiàn).若P為圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)即為極線(xiàn).

三、實(shí)例分析

例1 (2020全國(guó)I卷理11)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直線(xiàn)l:2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線(xiàn)PA、PB，且切點(diǎn)為A、B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為( ).

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

圖3

圖4

圖5

(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)，設(shè)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1,k2,k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.

掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的極點(diǎn)與極線(xiàn)知識(shí)與常用性質(zhì)，不難洞悉專(zhuān)家在制高點(diǎn)上的命題趨勢(shì)與知識(shí)背景，可以幫助我們直觀感知，思辨論證,快速知道結(jié)論,明確解題方向，從黑暗的探索中去感受這光明的數(shù)學(xué)世界.