圓錐曲線中的“圓性”探析*

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000) 虞關(guān)壽

先看下列兩個(gè)問題：

1、已知圓O：x2+y2=r2，圓O上有一動(dòng)點(diǎn)M在y軸上的投影為N，在x軸上有兩個(gè)定點(diǎn)A(a,0),B(b,0)，其中a≠b,b≠0，連接MA,NB相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是什么？

2、已知圓O的半徑為定長(zhǎng)，A是圓O所在平面上不在圓O圓周上的一定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

第二個(gè)問題由圓錐曲線的定義易知：當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓；當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線.

從上面兩個(gè)問題可看出，在圓中適當(dāng)調(diào)整一些條件可生成出圓錐曲線，即圓錐曲線可由圓而來(lái).圓錐曲線的定義、有關(guān)性質(zhì)及解決問題的方法策略都可“圓”化，充分體現(xiàn)出圓的基礎(chǔ)性.本文從圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、解題策略等方面探究其中的“圓性”.

一、橢圓的定義可由圓的定義來(lái)生成

我們先看圓的定義：平面有一動(dòng)點(diǎn)M到一定點(diǎn)F的距離為定長(zhǎng)a，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡叫做圓.

將定點(diǎn)F看成是兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的合點(diǎn)，直線段MF看成是兩條線段MF1,MF2的合線段，現(xiàn)將兩定點(diǎn)F1,F2拉開一段距離，設(shè)拉開的距離|F1F2|=2c，這時(shí)動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1,F2的距離和為|MF1|+|MF2|=2a，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就成了橢圓.

橢圓就其外形來(lái)看，可以看成圓在一個(gè)外力作用下壓成的.

解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)，兩定點(diǎn)F1(0,-3),F2(0,3)，由已知條件知MF1+MF2=10>6，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的一個(gè)橢圓.

二、橢圓、雙曲線、拋物線可由圓與圓的位置關(guān)系來(lái)呈現(xiàn)

平面內(nèi)有兩個(gè)定圓，這兩個(gè)定圓半徑不等，有一個(gè)動(dòng)圓，這個(gè)動(dòng)圓與這兩個(gè)定圓都相切(外切或內(nèi)切)，則這動(dòng)圓的圓心所形成的軌跡為橢圓、雙曲線或拋物線.

例2 (1)已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且與圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為＿＿＿；

(2)已知兩圓C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9，一動(dòng)圓與這兩個(gè)定圓都外切，則動(dòng)圓的圓心軌跡方程為；

(3)已知圓A:(x+2)2+y2=1與定直線l:x=1，且動(dòng)圓P與圓A外切，并且與直線l相切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為.

(3)設(shè)動(dòng)圓圓心為P(x,y)，半徑為r，∵動(dòng)圓P與圓A都外切，∴PA=r+1，∵動(dòng)圓P與直線l相切，∴點(diǎn)P到直線l的距離為r.現(xiàn)將直線l向右平移一個(gè)單位得直線l′:x=2，則點(diǎn)P到直線l′的距離為r+1，即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線l′的距離，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，其軌跡方程是y2=-8x.

三、圓錐曲線的一些幾何性質(zhì)可由圓來(lái)體現(xiàn)出來(lái)

橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)常與其它元素結(jié)合來(lái)考查，如與直線、與圓等.有三個(gè)圓常常出現(xiàn)在各級(jí)各類的考試中，是我們值得要關(guān)注的.

1、橢圓、雙曲線、拋物線的焦半徑直徑圓

定理1 橢圓中以焦半徑為直徑的圓必與長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切；

雙曲線中以焦半徑為直徑的圓必與實(shí)軸為直徑的圓相切；

拋物線中以焦半徑為直徑的圓必與頂點(diǎn)處的切線相切.

下面以橢圓為例證之.

圖1

2、橢圓、雙曲線、拋物線的焦點(diǎn)弦直徑圓

定理2 橢圓中以焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相離；雙曲線中以焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相交；拋物線中以焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.

下面以拋物線為例證之.

圖2

例4 已知拋物線y2=2px(p>0)中，過(guò)焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，記拋物線的準(zhǔn)線為l，以AB為直徑的圓為M，如圖2，求證：圓M與準(zhǔn)線l相切.

3、橢圓、雙曲線、拋物線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓

定理3橢圓中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心軌跡是以原焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓；雙曲線中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心軌跡是以過(guò)原頂點(diǎn)的兩平行開線段(長(zhǎng)為2b)；拋物線中焦點(diǎn)三角形(另一焦點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處)的內(nèi)切圓圓心軌跡是以原焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線.

下面以雙曲線為例證之.

圖3

從上述證明過(guò)程中，也可得到雙曲線焦點(diǎn)三角形的一個(gè)重要性質(zhì)：雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓過(guò)定點(diǎn).

四、圓錐曲線的一些綜合問題可由圓輔助解決

下面以橢圓為例體會(huì)解決圓錐曲線問題可借助圓的功能去完成.

圖4 圖5

圖6 圖7