探“源”覓“圓” 才能“方圓”
——對(duì)一道課本習(xí)題的再認(rèn)識(shí)

江蘇省海門(mén)中學(xué) (226100) 顧旭東 王金忠

題目平易近人，可謂入手容易操作簡(jiǎn)單.也正因?yàn)榇蠹覍?duì)于書(shū)本的深耕挖掘，因此與阿波羅尼斯圓(以下簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓)有關(guān)的題目在各省市的模擬試卷上屢見(jiàn)不鮮，甚至在高考中也是頻頻出現(xiàn).筆者通過(guò)課堂研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于阿氏圓的由來(lái)能欣然接受，但對(duì)于其中的變用常感到心有余而力不足.鑒于此稍作整理，羅列如下，懇請(qǐng)各位同行和專(zhuān)家批評(píng)指正.

圖1

其中我們還不難發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：①該圓的圓心C與點(diǎn)A,B三點(diǎn)共線；②當(dāng)λ>1時(shí)，C在射線AB上；0<λ<1時(shí)，C在射線BA上．

點(diǎn)評(píng)：本題雖說(shuō)以阿圓為背景，但指向比較明確，難度一般，對(duì)普通類(lèi)學(xué)生的借鑒意義不大.而對(duì)于教師來(lái)講，實(shí)是一個(gè)不可多得素材.通過(guò)從特殊到一般的研究會(huì)發(fā)現(xiàn)其中定點(diǎn)、定值之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，我們先來(lái)看問(wèn)題2.

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)學(xué)生而言，困境就在于第一步，即如何利用阿圓的逆向思考來(lái)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移，無(wú)獨(dú)有偶筆者發(fā)現(xiàn)第58屆白俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的一道試題，對(duì)其中的兩個(gè)點(diǎn)與阿氏圓中學(xué)生苦苦探尋的點(diǎn)不謀而合.

題目如圖2，A為⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的割線l與⊙O交于點(diǎn)B,C,B′為點(diǎn)B關(guān)于直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，證明：直線OA與CB′的交點(diǎn)位置與直線l的選擇無(wú)關(guān).

圖2

同樣若通過(guò)建系(以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸)，圓方程為x2+y2=R2,不難發(fā)現(xiàn)xD·xA=R2.

圖3

經(jīng)過(guò)探索研究后，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A與點(diǎn)D不一般，若我們?cè)趫Ax2+y2=R2上任取一點(diǎn)P(x0,y0),則

圖4

圖5

圖6

同樣相關(guān)的結(jié)論在雙曲線與拋物線中也成立，在此不一一列出.為了表示對(duì)阿波羅尼斯的紀(jì)念，17世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬還把以下兩個(gè)關(guān)于圓的軌跡稱(chēng)為阿波羅尼斯軌跡.

①到n個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓;②動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B滿足mAP2+nBP2=k2(m、n、k是正常數(shù))，則點(diǎn)P的軌跡為圓.

希望通過(guò)本文的探源分析，能讓學(xué)生主動(dòng)體驗(yàn)阿圓系統(tǒng)化的建構(gòu)過(guò)程，從而真正意義上掌握阿圓.