概率q階猶豫模糊熵及其應(yīng)用

尹文靜，鄭婷婷，李龍妹

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 安徽 合肥 230601)

0 引言

自1965年Zadeh[1]提出模糊集理論以來(lái)，該理論為解決一些不確定性問(wèn)題提供了重要手段。 隨著模糊集理論的深入研究，它被擴(kuò)展到許多領(lǐng)域，如直覺(jué)模糊集[2]、二型模糊集[3]等,并且學(xué)者們將這些理論成功應(yīng)用于屬性約簡(jiǎn)、多屬性決策問(wèn)題[4-5]。 2017年，Yager[6]提出了q階模糊集的概念，主要是考慮到直覺(jué)模糊集與畢達(dá)哥拉斯模糊集對(duì)于隸屬度與非隸屬度的取值范圍有限，而這個(gè)概念的提出能更好地解決直覺(jué)模糊集和畢達(dá)哥拉斯模糊集不能表示的模糊問(wèn)題。 Liu等[7]和Peng等[8]研究了q階模糊集環(huán)境下的不確定性度量，并解決了一些模式識(shí)別、醫(yī)學(xué)診斷和聚類(lèi)分析等問(wèn)題。在許多實(shí)際情況下很難定義隸屬度函數(shù)，因此Torra[9]提出了猶豫模糊集理論，為處理多個(gè)隸屬度的情形提供了有效的途徑。 朱斌[10]為猶豫模糊集增加了概率，可以有效地反映決策者的偏好在決策中的作用，并將新的猶豫模糊集命名為概率猶豫模糊集。

為了度量不確定信息，Zadeh[11]于1968年提出了模糊熵的概念來(lái)度量模糊集的模糊性。 模糊熵的概念很快被擴(kuò)展到直覺(jué)模糊集[12]，并成功地應(yīng)用于模式識(shí)別、屬性決策[13]等問(wèn)題。此外，隨著猶豫模糊集的發(fā)展，猶豫模糊熵成為一個(gè)重要的研究方向。2012年，Xu等[14]給出了猶豫模糊集模糊熵與交叉熵的概念,并根據(jù)定義提供了一系列具體的公式。但是，隨著研究的不斷深入，現(xiàn)有的猶豫模糊熵中仍然存在不足,需要探究新的猶豫模糊熵以更加有效地反映信息的不確定程度。本文在充分結(jié)合q階模糊集和概率猶豫模糊集優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了概率q階猶豫模糊集的概念，并給出了概率q階猶豫模糊熵的公理化準(zhǔn)則；利用幾何方法構(gòu)造了概率q階猶豫模糊集的熵平面，討論了參數(shù)α對(duì)熵的影響，將其推廣到廣義概率q階猶豫模糊熵，并應(yīng)用概率q階猶豫模糊熵解決了多屬性決策問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 概率猶豫模糊集

定義1[10]設(shè)U為一個(gè)有限論域，論域U上的概率猶豫模糊集H定義為

H={〈x,hH(x)(pH(x))〉|x∈U}，

1.2 q階猶豫模糊集

2 概率q階猶豫模糊集

3 一種新的概率q階猶豫模糊熵

結(jié)合文獻(xiàn)[13]中直覺(jué)模糊熵的公理化準(zhǔn)則，提出了概率q階猶豫模糊熵的公理化準(zhǔn)則。

圖1 概率q階猶豫模糊熵平面(πq,Δq,E)Figure 1 Probabilistic q-rung orthopair hesitant fuzzy entropy plane (πq,Δq,E)

式中：0<α<1。

式中：Mπ,E表示猶豫度對(duì)熵的影響；MΔ,E表示核值對(duì)熵的影響。 顯然，當(dāng)Mπ,E=MΔ,E時(shí)，核值與猶豫度對(duì)熵的影響速率相同。 為了便于討論，給出替代率的概念，即

RSπ,Δ=α/(1-α),RSΔ,π=(1-α)/α，

式中：RSπ,Δ表示核值相對(duì)于猶豫度的替代率；RSΔ,π表示猶豫度相對(duì)于核值的替代率。當(dāng)α<0.5時(shí)，猶豫度相對(duì)于核值的替代率更強(qiáng)一些；當(dāng)α>0.5時(shí)，核值相對(duì)于猶豫度的替代率更強(qiáng)一些；當(dāng)α=0.5時(shí)，猶豫度與核值的相互作用相同。

4 廣義概率q階猶豫模糊熵

本小節(jié)將概率q階猶豫模糊熵推廣到一般情況，并分析該公式的特征。

定理2定義8的模糊熵公式滿(mǎn)足定義6的四條公理化準(zhǔn)則。

證明定理2的證明過(guò)程與定理1類(lèi)似，這里省略。

接下來(lái)討論參數(shù)λ對(duì)概率q階猶豫模糊熵的影響。

圖2 λ對(duì)廣義熵的影響Figure 2 The effect of λ on generalized entropy

證明設(shè)U={x}，計(jì)算可得

由此可見(jiàn)，不同的熵值可以代表不同的熵曲面，它們均可以反映不同概率q階猶豫模糊集的模糊程度，同時(shí)也都滿(mǎn)足熵的公理化準(zhǔn)則。為了討論上述熵測(cè)度在概率q階猶豫模糊集中的合理性，將上述熵測(cè)度分別退化為q階猶豫模糊集下的熵測(cè)度。

故此時(shí)可以得出退化后的熵測(cè)度為

通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，退化后的熵測(cè)度與文獻(xiàn)[13]的基本準(zhǔn)則一致，即滿(mǎn)足熵隨著猶豫度的增加而增大，隨著核值的減少而增大。

5 多屬性決策問(wèn)題

5.1 決策步驟

步驟1確定屬性權(quán)重。為了加強(qiáng)最優(yōu)決策和確定信息的完整性，用熵測(cè)度來(lái)確定權(quán)重，

步驟2構(gòu)建得分函數(shù)。得分函數(shù)可以表示為

步驟3對(duì)備選方案進(jìn)行排名。對(duì)所有備選方案U={x1，…，xm}進(jìn)行排序，根據(jù)得分函數(shù)S(xi)選擇最佳方案。

5.2 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證所描述方法的可靠性，以投資五家公司{x1,x2,x3,x4,x5}為例，它們滿(mǎn)足四個(gè)屬性{A1，A2，A3，A4}下的要求。為了選擇最好的投資公司，對(duì)這些投資公司進(jìn)行了評(píng)估，概率q階猶豫模糊決策矩陣D如表1所示。取α=0.5，使用熵測(cè)度來(lái)確定權(quán)重，表2顯示了λ=1、λ=2和λ=4三種不同情況下的屬性權(quán)重。這三種情況下的得分函數(shù)S(xi)如表3所示，可知x2是最優(yōu)的選擇。

通過(guò)上述計(jì)算過(guò)程以及結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，q階猶豫模糊集中每一個(gè)q階模糊集發(fā)生概率的可能值是相等的，這顯然不符合在實(shí)際決策中決策者在猶豫模糊環(huán)境下的判斷和評(píng)估。因此，相比q階猶豫模糊集，概率q階猶豫模糊集可以保留更多的決策信息。

表1 概率q階猶豫模糊決策矩陣DTable 1 Probabilistic q-rung orthopair hesitant fuzzy decision matrix D

表2 屬性權(quán)重Table 2 Attribute weight

表3 得分函數(shù)Table 3 Score function

6 小結(jié)

本文結(jié)合了q階模糊集與概率猶豫模糊集的優(yōu)點(diǎn)，提出了概率q階猶豫模糊集的概念，并且給出了概率q階猶豫模糊熵的公理化準(zhǔn)則。利用概率q階猶豫模糊熵的幾何特點(diǎn)構(gòu)造了熵平面，并且提出了廣義概率q階猶豫模糊熵。概率q階猶豫模糊熵的提出也為概率q階猶豫模糊集的多屬性決策問(wèn)題提供了新的途徑。