隨機(jī)微分方程平衡θ-Heun法的收斂性

康紅喜，張引娣，蔣 茜

(長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院 陜西 西安 710064)

0 引言

隨機(jī)微分方程由于能夠很好地描述各種事物的客觀現(xiàn)象，所以被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。為了能夠更加準(zhǔn)確地解釋說明各種客觀現(xiàn)象，學(xué)者們先后研究出了許多數(shù)值方法。收斂性與穩(wěn)定性是研究一個(gè)新數(shù)值方法的主要對(duì)象，它們能夠評(píng)判一個(gè)數(shù)值方法是否有效。文獻(xiàn)[1-6]分別研究了Euler法、Milstein法的收斂性。另外Heun方法[7]和全隱式的平衡方法[8]也是求解隨機(jī)微分方程的有效方法。θ-Heun方法[9]是在Heun方法的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的。本研究對(duì)θ-Heun方法進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)造一種新的Heun方法，即平衡θ-Heun方法，并研究用這種新方法求解隨機(jī)微分方程的收斂性。

1 隨機(jī)微分方程與數(shù)值方法

1.1 隨機(jī)微分方程

(1)

其中:t∈[0,T]；x∈Rd，稱函數(shù)f(x)為漂流項(xiàng)，函數(shù)g(x)為擴(kuò)散項(xiàng)，二者在[0,T]上都是連續(xù)可測(cè)的，且有E|x0|2<∞;隨機(jī)過程W(t)是濾過概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t>0,步長(zhǎng)h>0時(shí)，其增量ΔW(t)=W(t+h)-W(t)獨(dú)立于{Ft}，因此有ΔW(t)～N(0,h)。

1.2 數(shù)值方法

定義1求解方程(1)的θ-Heun方法[9]為

Xn+1=Xn+(1-θ)f(Xn)h+g(Xn)ΔWn+θf(Xn+hf(Xn))h，

(2)

在這個(gè)方法的基礎(chǔ)上結(jié)合平衡法的思想，構(gòu)造出一種新的Heun法，即平衡θ-Heun方法。

定義2稱

Xn+1=Xn+(1-θ)f(Xn)h+g(Xn)ΔWn+θf(Xn+hf(Xn))h+Cn(Xn)(Xn-Xn+1)

(3)

為求解隨機(jī)微分方程(1)的平衡θ-Heun方法，當(dāng)θ=0時(shí)，方法(3)即為平衡法。式(3)中Cn(Xn)=C0(tn,Xn)h+C1(tn,Xn)|ΔWn|,記C0(X)=C0,C1(X)=C1,控制函數(shù)C0、C1為d×d的實(shí)值矩陣，滿足可逆矩陣

M(t,X)=I+α0C0(t,X)+α1C1(t,X)，

在本文中我們記x(tn)是方程(1)在tn處的精確值，Xn是用平衡θ-Heun方法在tn處求得方程(1)解的近似值，X(tn+1)是用平衡θ-Heun方法在x(tn)處進(jìn)行一步迭代得到的近似解。

2 平衡θ-Heun方法的收斂性

定義3[11]記平衡θ-Heun方法的局部誤差為δn+1=x(tn+1)-X(tn+1)，n=0,1,2,…，N-1。全局誤差為εn=x(tn)-Xn，n=1,2,…，N-1。

定義4[12]若存在正常數(shù)C(C與h無關(guān))，當(dāng)h→0有

則稱p1、p2、p分別為數(shù)值方法在均值意義下局部收斂階、均方意義下局部收斂階、均方強(qiáng)收斂階。

引理1[13]如果f(x)、g(x)滿足條件

(i) Lipschitz條件：對(duì)任意的x,y∈Rd，存在常數(shù)L1>0，使得

|f(x)-f(y)|2∨|g(x)-g(y)|2≤L1|x-y|2；(ii) 線性增長(zhǎng)條件：對(duì)任意的x∈Rd，存在常數(shù)L2>0，使得

|f(x)|2∨|g(x)|2≤L2(1+|x|2)或|f(x)|∨|g(x)|≤L2(1+|x|)；

那么方程(1)滿足性質(zhì)

(ii)?t0≤s≤t≤T，有E|x(t)-x(s)|2≤c(t-s),c>0。

2.1 均值、均方相容階

定理1如果方程(1)滿足引理1的(i)和(ii)，矩陣函數(shù)M(x)可逆且滿足|M(x)|≤K，假設(shè)矩陣函數(shù)C0、C1各分量一致有界，則平衡θ-Heun法是p1=3/2階均值相容，p2=1階均方相容，即

其中：C是不依賴于h的常數(shù)，但是可以依賴于T和初值x0。

證明設(shè)0

(4)

(5)

由于δn+1=x(tn+1)-XB(tn+1)，再利用θ-Heun法的均值、均方相容階定理1[9]，則

|E(δn+1)|=|E(x(tn+1)-XB(tn+1))|≤|E(x(tn+1)-XH(tn+1))|+

|E(XH(tn+1)-XB(tn+1))|≤Ch2+|E(XH(tn+1)-XB(tn+1))|。

(6)

從真解x(tn)出發(fā)，對(duì)XH(tn+1),XB(tn+1) 分別經(jīng)式(2)和式(3)一步計(jì)算可得

XB(tn+1)=x(tn)+(I+Cn(x(tn)))-1((1-θ)f(x(tn))h+

θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)，

(7)

XH(tn+1)=x(tn)+(1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn。

(8)

結(jié)合式(7)、(8)可得

XH(tn+1)-XB(tn+1)=[I-(I+Cn(x(tn)))-1]((1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+

g(x(tn))ΔWn)=[(I+Cn(x(tn)))-1(I+Cn(x(tn)))-(I+Cn(x(tn)))-1]((1-θ)f(x(tn))h+

g(x(tn))ΔWn+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h)=(I+Cn(x(tn)))-1Cn(x(tn))((1-θ)f(x(tn))h+

θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)。

(9)

記Cn(x(tn))=Cn，因?yàn)棣n與Ftn獨(dú)立，所以E((I+Cn)-1Cng(x(tn))ΔWn)=0，再由|M(t,x)-1|≤K可得

|E(XH(tn+1)-XB(tn+1))|=

|E(I+Cn)-1Cn((1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)|≤

Kh|E(Cn(1-θ)f(x(tn)))|+Kh|E(Cnθf(x(tn)+hf(x(tn))))|。

(10)

|E(Cnθf(x(tn)+hf(x(tn))))|≤E(E(|Cnθf(x(tn)+hf(x(tn)))||Ftn))=

E(|θf(x(tn)+hf(x(tn)))|E|Cn|Ftn)≤E(|f(x(tn)+hf(x(tn)))|E|C0h|+|C1||ΔWn||Ftn)≤

(11)

同理可得

|E(Cn(1-θ)f(x(tn)))|≤Ch1/2。

(12)

結(jié)合式(6)、(10)～(12)得，|E(δn+1)|≤Ch2+Ch3/2≤Ch3/2,h→0。

下面我們證明定理的第二部分。

對(duì)δn+1=x(tn+1)-XB(tn+1)兩邊平方并取均值，可得

E|δn+1|2=E|x(tn+1)-XB(tn+1)|2≤2E|x(tn+1)-XH(tn+1)|2+2E|XH(tn+1)-XB(tn+1)|2≤

2Ch2+2E|XH(tn+1)-XB(tn+1)|2。

(13)

根據(jù)式(9)，利用不等式(a+b+c)2≤3a2+3b2+3c2，可得

其中：

E|Cnf(x(tn))h|2≤h2E(E|Cnf(x(tn))h|2|Ftn)≤2h2E(|f(x(tn))|2E(|C0|2h2+

|C1|2|ΔWn|2|Ftn))≤2L2h2(|C0|2h2+|C1|2h)E(1+|x(tn)|2)≤Ch3。

(14)

同理

E|Cnf(x(tn)+hf(x(tn)))h|2=h2E(E|Cnf(x(tn)+hf(x(tn)))|2|Ftn)≤

(15)

又E|Cng(x(tn))ΔWn|2=E(|g(x(tn))|2E(|CnΔWn|2|Ftn))，而

因此

(16)

2.2 均方收斂階

定理2在定理1的條件下，對(duì)于方程(1)平衡θ-Heun法的均方收斂階為1/2，即

其中：C為常數(shù)。

證明設(shè)0≤θ≤1，

(17)

其中：

μn=(I+Cn(x(tn)))-1((1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)-

(18)

結(jié)合歐氏內(nèi)積〈x,y〉=xΤy,〈x,x〉=|x|2，對(duì)式(17)兩邊平方并取均值可得

E|εn+1|2=E〈εn+δn+1+μn,εn+δn+1+μn〉≤

E|εn|2+2E|δn+1|2+2E|μn|2+2|E〈εn,δn+1〉|+2|E〈εn,μn〉|。

(19)

進(jìn)一步計(jì)算式(18)，得

(20)

為了方便討論，令

(21)

結(jié)合式(20)、(21)，可得

E|μn|2=E|An((1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)+

(22)

下面設(shè)max{|C0(x)|,|C1(x)|}≤M2，利用引理1，分別計(jì)算(22)式最后一個(gè)不等式的各項(xiàng)，即

6E|Anf(x(tn))h|2≤

(23)

同理可以得到

(24)

由E|ΔWn|4=3h2，則

(25)

(26)

(27)

(28)

根據(jù)式(22)～(28)，可得

E|μn|2≤Ch2+ChE|εn|2。

(29)

接下來計(jì)算式(19)的后兩項(xiàng)，由|Eδn+1|≤Ch2及Holder不等式，可得

2(E|εn|2)1/2(E|Ch2|2)1/2≤2(hE|εn|2)1/2(h-1E|Ch2|2)1/2≤hE|εn|2+Ch3。

(30)

同理

則

2|E〈εn,μn〉|≤hE|εn|2+Ch2+ChE|εn|2≤Ch2+ChE|εn|2。

(31)

又因?yàn)镋|δn+1|2≤Ch2，結(jié)合式(19)、(29)～(31)，得

E|εn+1|2≤Ch2+E|εn|2+Ch2+ChE|εn|2+hE|εn|2+Ch3+Ch2+ChE|εn|2≤

(1+Ch)E|εn|2+Ch2。

(32)

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

對(duì)于試驗(yàn)方程dx(t)=-5x(t)dt+0.5x(t)dW(t)，當(dāng)x0=1,T=1，我們用h=Δt=2-4來模擬該方程的精確解。對(duì)于數(shù)值方法的控制參數(shù)取C0=-λ/2,C1=0以及θ=0.15時(shí)，用Matlab軟件模擬平衡θ-Heun法和θ-Heun法的數(shù)值解，得到圖2。通過觀察圖2可以知道平衡θ-Heun法的數(shù)值解與精確解逼近程度優(yōu)于θ-Heun法。

圖1 平衡θ-Heun法的收斂性Figure 1 Convergence of balanced θ-Heun method

圖2 數(shù)值解與精確解的對(duì)比Figure 2 Comparison of numerical solution and exact solution