從烙餅中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

陳友鵬

《烙餅問題》是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書四年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中“優(yōu)化問題”第一課時(shí)的內(nèi)容，主要通過討論烙餅時(shí)怎樣合理安排操作最節(jié)省時(shí)間，讓學(xué)生體會(huì)在解決問題中優(yōu)化思想的應(yīng)用。這部分知識(shí)對(duì)學(xué)生來說比較抽象、不易理解，雖然學(xué)生在生活中接觸過烙餅，但缺乏烙餅的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，所以在這節(jié)課的教學(xué)中，我通過演繹、列舉、觀察、合作討論、優(yōu)化等方法，由直觀到抽象，幫助學(xué)生理解“怎樣烙餅才最合理”的實(shí)踐策略，從而培養(yǎng)學(xué)生初步的優(yōu)化意識(shí)。教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)：一是通過簡(jiǎn)單事例，使學(xué)生初步體會(huì)優(yōu)化思想在解決問題過程中的應(yīng)用，形成尋找解決問題最優(yōu)化方案的意識(shí)，并嘗試尋找解決問題的最優(yōu)化方案。二是通過觀察、操作、比較、討論、思考等活動(dòng)，尋找規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和科學(xué)探究的精神。三是通過探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)探索和合作的樂趣，充分感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生合理安排時(shí)間的良好習(xí)慣。教學(xué)重點(diǎn)是初步體會(huì)優(yōu)化思想的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)是尋找解決問題的最優(yōu)方案，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課

師：在日常生活中，我們經(jīng)常能碰到一些數(shù)學(xué)問題。下面，同學(xué)們就和陳老師一起走進(jìn)生活。（利用交互式電子白板的拉幕功能，逐步顯示相關(guān)信息。）

師：這是哪里呢？媽媽在干什么？這節(jié)課我們就一起來研究“烙餅問題”。（板書課題）生活中你見過怎么烙餅嗎？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)生活化的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，為新知教學(xué)做好準(zhǔn)備。

自主探索 探究烙法

（一）解讀信息，理解烙餅規(guī)則

課件呈現(xiàn)主題圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息：每次只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面要烙3分鐘。

教師追問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生深入解讀以下數(shù)學(xué)信息。

1.每次只能烙兩張餅是什么意思？（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，鍋里面同時(shí)最多能放下兩張餅。如果只剩下一張餅，也可以只放一張。）

2.兩面都要烙是什么意思？（一張餅的正面要烙，反面也要烙。）教師強(qiáng)調(diào)：為了表達(dá)方便，我們可以把先烙的一面叫做正面，后烙的一面叫做反面。

設(shè)計(jì)意圖：“每次只能烙兩張餅，兩面都要烙”是活動(dòng)的基礎(chǔ)，是操作活動(dòng)得以進(jìn)行的基點(diǎn)和前提。但學(xué)生由于自身知識(shí)的局限，在解讀主題圖時(shí)，常表現(xiàn)為照本宣科，淺嘗輒止。而解決這個(gè)問題需要教師適時(shí)引導(dǎo)。通過對(duì)信息的解讀，使學(xué)生透過文字的表面深入理解烙餅的規(guī)則。

（二）探究雙數(shù)張餅的最優(yōu)烙法

1.研究兩張餅的最優(yōu)烙法

師（設(shè)問）：如果要烙兩張餅，你認(rèn)為需要幾分鐘？（板書“兩張餅”）

學(xué)生利用手中的投票器開始投票。

A.3 B.6 C.9 D.12

指名學(xué)生匯報(bào)，說清楚是怎樣烙的，預(yù)設(shè)出現(xiàn)兩種情況：

（1）烙一張餅需要6分鐘，烙兩張餅需要12分鐘。

（2）可兩張餅一起烙。先烙正面，需要3分鐘；再烙反面，又需要3分鐘，共6分鐘。

學(xué)生匯報(bào)后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生記錄下自己的思考過程，并利用交互式電子白板直觀記錄下學(xué)生的思考過程。

教師帶領(lǐng)學(xué)生一起比較和優(yōu)化兩種方案。

師（設(shè)疑）：你認(rèn)為哪種方案好？為什么？

讓學(xué)生從兩種方案的比較中得出：第二種方案好，原因是兩張餅同時(shí)烙節(jié)省時(shí)間（教師及時(shí)板書關(guān)鍵詞），只需要6分鐘就可烙好兩張餅，從而讓學(xué)生初步體會(huì)優(yōu)化思想在解決問題中的應(yīng)用。

利用交互式電子白板及時(shí)記錄學(xué)生的思考過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

小結(jié)：結(jié)合規(guī)則，兩種餅同時(shí)烙節(jié)省時(shí)間，最少需要6分鐘。

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，首先讓學(xué)生探究兩張餅的最優(yōu)烙法，降低思維的難度，減緩知識(shí)的坡度，同時(shí)在解決兩張餅的問題上讓學(xué)生初步體會(huì)到優(yōu)化思想在解決問題中的應(yīng)用，形成尋找解決問題最優(yōu)化方案的意識(shí)，為探究三張餅的最優(yōu)烙法做好鋪墊。

2.應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，遷移思考

師：你認(rèn)為解決烙兩張餅的經(jīng)驗(yàn)可以幫助我們解決烙幾張餅用時(shí)最短的問題？

學(xué)生投票選擇：A.3 B.4 C.5

（1）互動(dòng)交流

結(jié)合學(xué)生投票數(shù)請(qǐng)學(xué)生闡述理由，互動(dòng)交流。教師預(yù)設(shè)會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一種是選擇A，理由是研究完兩張餅用時(shí)最短的問題，自然就應(yīng)該研究三張餅用時(shí)最短的問題。另一種是選擇B，理由是四張餅是兩張餅的2倍，烙兩張餅最短用6分鐘，烙四張餅最短就用12分鐘。

（2）總結(jié)提升

①怎樣烙四張餅用時(shí)最短？最少需要幾分鐘？

②烙四張餅的最佳方案又成為了我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。結(jié)合前面研究總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，你還能想到烙幾張餅的最佳方案？最短需要幾分鐘？

③教師結(jié)合學(xué)生回答，板書：六張餅、八張餅……及相應(yīng)的最短時(shí)間。

小結(jié)：如果餅的張數(shù)是雙數(shù)，兩張兩張地同時(shí)烙最節(jié)省時(shí)間。

（三）探究單數(shù)張餅的最優(yōu)烙法

1.研究三張餅的最優(yōu)烙法

投票選擇：你認(rèn)為烙三張餅最少需要幾分鐘？（A.9 B.12 C.15）把你的想法用自己喜歡的方式記錄下來，并想一想：三張餅怎樣烙最節(jié)省時(shí)間？

2.展示烙法，尋求最優(yōu)方案

預(yù)設(shè)學(xué)生生成：第一種12分鐘；第二種9分鐘。

學(xué)生匯報(bào)后，教師及時(shí)給予肯定和贊賞，并在交互式電子白板上記錄下用9分鐘烙完三張餅的過程。

同桌合作再次實(shí)踐體驗(yàn)“9分鐘的烙法”。

3.集體交流，對(duì)比擇優(yōu)

對(duì)比交互式電子白板記錄下的烙三張餅的兩種方法，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，并思考：都是烙熟三張餅，為什么9分鐘的方法會(huì)比12分鐘的方法節(jié)省3分鐘？

學(xué)生交流質(zhì)疑，最后得出：采用9分鐘的方法，每次鍋里都有兩張餅在烙，只需要烙3次，所以節(jié)省了時(shí)間。

小結(jié)：烙三張餅時(shí)交替烙節(jié)省時(shí)間，只需要9分鐘。

設(shè)計(jì)意圖：“如何盡快烙好三張餅”是本課的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)。在探究三張餅的最優(yōu)烙法時(shí)，我讓學(xué)生先想象，再直觀演示，用畫一畫、擺一擺等自己喜歡的方式記錄下思考過程，最后結(jié)合交互式電子白板軟件對(duì)比兩種烙法。目的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：充分利用鍋內(nèi)的空間，使得每次鍋里同時(shí)烙兩張餅，這樣最節(jié)省時(shí)間。學(xué)生在直觀中思考、在操作中發(fā)現(xiàn)，從而感悟到簡(jiǎn)單的運(yùn)籌思想。安排學(xué)生“想、畫、說、比、議”等過程，突出學(xué)生自主學(xué)習(xí)的作用，通過交流培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力和思維的靈活性。

4.經(jīng)驗(yàn)升華，遷移歸納

師：利用以上經(jīng)驗(yàn)，你可以想到烙幾張餅的最佳方案？最短用幾分鐘？

教師結(jié)合學(xué)生回答逐步完善三張餅、七張餅……的最短用時(shí)問題，并讓學(xué)生說一說應(yīng)該怎樣烙最節(jié)省時(shí)間。

小結(jié)：如果烙單數(shù)張餅，先兩張兩張地烙，最后剩三張交替烙，最節(jié)省時(shí)間。

（四）深化認(rèn)識(shí)，建立模型

師：烙六張餅，你會(huì)選擇？

A.兩張兩張地同時(shí)烙 B.三張三張地交替烙

小結(jié)：我們既要考慮省時(shí)，也要省力。

師：觀察這些算式，你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？

師：烙一張餅最短用幾分鐘？為什么不符合我們總結(jié)的規(guī)律？

師：烙三張餅的最佳方案是什么？最短用幾分鐘？烙500張餅?zāi)兀?/p>

小結(jié)：結(jié)合烙餅規(guī)則，餅的張數(shù)等于或大于兩張時(shí)，烙餅的最短時(shí)間就是用烙餅的張數(shù)乘烙一面的時(shí)間。

總結(jié)延伸 拓展思維

師（設(shè)疑）：假如媽媽的這個(gè)鍋再大一點(diǎn)，每次最多能烙三張餅，情況還跟烙兩張餅一樣嗎？

問題：用一個(gè)平底鍋烙餅，每次可以烙三張餅，每面要烙1分鐘。如果有四張餅，兩面都要烙，至少需要多少分鐘？

這個(gè)問題留給學(xué)生課后去思考。鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用今天所學(xué)的知識(shí)，合理安排時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率，做一個(gè)珍惜時(shí)間的人。

設(shè)計(jì)意圖：“烙餅問題”是一種數(shù)學(xué)思考的方法，目的是讓學(xué)生在解決實(shí)際問題中理解優(yōu)化的思想，形成從多種方案中尋找最優(yōu)方案的意識(shí)。此題作為知識(shí)學(xué)習(xí)后的一種延伸，旨在拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)靈活解決問題的能力。

教學(xué)反思

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維?！痹诒菊n設(shè)計(jì)中，教師就以這一基本理念為指導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生為中心”和“以引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考為主線”，重視學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)方式，努力使學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的同時(shí)享受到學(xué)習(xí)的樂趣。

1.在反復(fù)的交流比較中感受優(yōu)化的思想

優(yōu)化問題是生活中經(jīng)常遇到的問題，優(yōu)化思想是重要的數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生理解、感受一些重要的思想方法，不僅能使學(xué)生深刻地理解知識(shí)，更能使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維，達(dá)到發(fā)展思維的目的。而數(shù)學(xué)的思想方法也只有在具體解決問題的過程中才能得以體驗(yàn)與感悟。烙餅問題的核心就是優(yōu)化，具體地說，就是對(duì)烙餅鍋的空間資源的最大化利用。教學(xué)中設(shè)計(jì)的四個(gè)核心比較問題，始終抓住了“優(yōu)化”這一核心思想，讓學(xué)生在具體情境的反復(fù)比較中體會(huì)到，只有把鍋的空間占滿，才能達(dá)到省時(shí)的目的。

第一次比較：結(jié)合學(xué)生原有認(rèn)知比較烙兩張餅為什么用時(shí)不一樣，使學(xué)生理解兩張同時(shí)烙更省時(shí)間。

第二次比較：比較烙三張餅的幾種不同烙法，哪種最省時(shí)，為什么。使學(xué)生理解鍋里每次都放滿了，就能保證資源沒有浪費(fèi)，所以三張餅交替烙最省時(shí)間。

第三次比較：比較烙六張餅的兩種烙法（3+3和2+2+2），讓學(xué)生選擇自己會(huì)怎樣烙，使學(xué)生進(jìn)一步感知優(yōu)化問題不但要考慮省時(shí)，還要省力。

第四次比較：比較烙餅問題與烙一張餅的關(guān)系。從另一個(gè)角度使學(xué)生理解鍋里每次都放滿了，才能保證資源沒有浪費(fèi)。

這四次比較在追問最省時(shí)的烙餅方法原因的過程中，幫助學(xué)生具體而深刻地感受了優(yōu)化的本質(zhì)內(nèi)涵。

2.在直觀操作與符號(hào)表達(dá)的不斷體驗(yàn)中感受、發(fā)現(xiàn)規(guī)律

數(shù)學(xué)課程最重要的任務(wù)之一就是訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)生的思維。小學(xué)生的思維特征是由直觀形象階段向抽象邏輯階段過渡與發(fā)展。在面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，其表現(xiàn)就是抽象的思維方法與直觀形象的思維方法根據(jù)思維操作的需要而交替使用。在日常教學(xué)中如何充分借助教學(xué)的載體，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式研究具體問題，在不斷的嘗試與體驗(yàn)中，自主地探索、發(fā)現(xiàn)與歸納，從而逐步形成自己的數(shù)學(xué)思維和能力是每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)關(guān)注的問題。本課教學(xué)中，在讓學(xué)生感受優(yōu)化思想、探索發(fā)現(xiàn)烙餅問題的規(guī)律時(shí)，教師充分利用教材的情景素材，從學(xué)生的思維特點(diǎn)出發(fā)重點(diǎn)設(shè)計(jì)了兩個(gè)層次的烙餅活動(dòng)。

第一個(gè)層次：在探索雙數(shù)張餅的烙法時(shí)，以探究烙兩張餅的最佳方案為起點(diǎn)，從直觀演示入手，到想辦法把烙餅的過程記錄下來，初步嘗試有條理地整理信息，并借助符號(hào)圖形啟發(fā)思考。在多樣化的表達(dá)方式中，引導(dǎo)學(xué)生清晰地表述思維過程，直觀感受兩張餅的最省時(shí)烙法以及省時(shí)的原因所在，體會(huì)符號(hào)表達(dá)的優(yōu)勢(shì)。

第二個(gè)層次：在探索單數(shù)張餅的烙法時(shí)，以烙三張餅的最佳方案為研究重點(diǎn)。由于學(xué)生已經(jīng)有了烙兩張餅的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和表象，教學(xué)時(shí)從學(xué)生的思維個(gè)性出發(fā)，讓學(xué)生可以用自己喜歡的方式，如畫一畫等來深化認(rèn)知。在交流與碰撞中，形象的圖、表以及抽象的符號(hào)與數(shù)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)提供了極大的依托和支撐，學(xué)生的思維進(jìn)一步清晰、準(zhǔn)確和完整，并走向歸納與概括，烙餅問題的模型基本建立。

兩個(gè)層次烙餅問題的探索與體驗(yàn)，將原生態(tài)的直觀操作與數(shù)學(xué)的符號(hào)和語言表達(dá)有機(jī)結(jié)合，并且不斷借助已有的舊經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)解決新問題，準(zhǔn)確而清晰地表述烙餅的思路，在呈現(xiàn)自己思維的過程中，不斷地觀察、比較與反思，學(xué)生的思維從具體到抽象、從個(gè)別到一般，從而挖掘本質(zhì)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不斷地走向深入。

（作者單位：北京東城區(qū)新鮮胡同小學(xué)）