半平面中解析函數的復合邊值逆問題

武模忙

（商丘學院，河南　商丘　476000）

半平面中解析函數的復合邊值逆問題

武模忙

（商丘學院，河南商丘476000）

給出半平面中解析函數的復合邊值逆問題的提法，并給出了其解法，即利用消元法，將其轉化為半平面中的復合邊值問題進行求解，得到半平面中復合邊值逆問題的解中的未知解析函數.把所求得的解析函數代入此邊值逆問題的邊值條件，利用實軸上的Plemelj公式等復變函數論中的運算方法和技巧，求出此邊值逆問題的解中的未知邊界函數.從而，得到了該邊值逆問題的全部解的具體積分表達式及可解條件.

復合邊值逆問題；Riemann邊值問題；Hilbert邊值問題；復合邊值問題

復分析中解析函數的邊值問題在物理學和工程技術等許多實際問題中有著廣泛而重要的應用，其已有豐富和成熟的研究成果.對于解析函數邊值逆問題的研究，也逐漸成為研究的熱點.文獻[1-2]從力學背景出發(fā)，初步探討了特殊情形下的解析函數Riemann邊值逆問題.文獻[3]討論了由路見可教授提出的在一般情形下一類解析函數Riemann邊值逆問題.文獻[4]在文獻[3]的啟發(fā)下，提出了更一般的解析函數Riemann邊值逆問題.文獻[5-6]分別研究了解析函數在單位圓和半平面中的Hilbert邊值逆問題，討論了問題的可解性，并給出了問題的可解條件和解的積分表達式.

解析函數的復合邊值問題在實際問題中有重要的應用價值.文獻[7]對實軸上的復合周期邊值問題進行了研究，文獻[8]則討論了在由光滑封閉曲線圍成的區(qū)域上解析函數的復合邊值逆問題的可解性.本文在此基礎上進一步討論了半平面中解析函數的復合邊值逆問題，依據半平面中的解析函數Hilbert邊值問題的相關結論，得到了此邊值逆問題的可解條件和解的積分表達式，并給出了該邊值逆問題的可解性定理.

1　問題的提出

設Z+為上半平面，Z-為下半平面；L=X為實軸.記L0=是Z+內有限條互相外離的封閉光滑曲線組，規(guī)定各Lj的正向為順時針方向.Dj-為Lj所圍的內域.D0+為X與L0之間的區(qū)域.

本文將討論下一有關解析函數的邊值逆問題，稱為解析函數在半平面中的復合邊值逆問題，簡稱為RH0-1問題.

求一組函數(Φ(z)，Ψ1(t),Ψ2(x)),其中Φ(z)在Z+內分區(qū)全純，以L0為跳躍曲線，且在上連續(xù)；Ψ1(t)為L0上的系數函數，且Ψ1(t)∈H(L0)；Ψ2(x)為X上的實系數函數，且Ψ2滿足以下邊值條件：

其中

Gpq(t),gp(t),cp(t)(p=1,2；q=1,2)都是L0上的已知函數，且均在L0上屬于H類；λp(x)=ap(x)+ibp(x)(p=1,2)為X上的已知復函數，且在X上屬于類，ap(x)，bp(x)，rp(x)，hp(x)(p=1,2)都是在X上屬于類的已知實函數，且r1(x)≠r2(x).

記

若G1(t)≠0，G2(t)≠0且λ1(x)≠0，則稱上述逆問題為正則型RH0-1問題，否則稱為非正則型RH0-1問題.本文僅討論正則型RH0-1問題.

而記K=k+k.2K稱為所提RH0-1問題的指標.

2　問題的轉化

對于邊值條件（I），第一式兩端乘g2(t)減去第二式兩端乘g1(t)，可得，

對于邊值條件（II），第一式兩端乘r2(x)減去第二式兩端乘r1(x)，可得，

那么，若求同時滿足RH0-1問題邊值條件（I）、（II）的分區(qū)全純函數Φ(z)，即求由方程（1）、（2）構成的半平面中解析函數復合邊值問題：

由文獻[9]，可求出方程（1）的一般解為：

這里，

其中，zj為Dj-中任意取定的一點.F(z)是在Z+內全純，在上連續(xù)的任意函數，以下不妨取F(z)=0.

反之，若Φ0(z)在z+內全純，在上連續(xù)，則由（7）式確定的分區(qū)全純函數Φ(z)必然滿足方程（1）.

這樣，提出的RH0-1問題就轉化求在Z+內全純，在上連續(xù)的全純函數Φ0(z)，使它滿足由（2）轉化的相應條件.把（7）式代入（2）式中，可得

引理設X為實軸，L為CX內一封閉光滑曲線，z為L所圍區(qū)域內一點.若

3　問題的求解

3.1半平面中Hilbert邊值問題（8）的解

由文獻[9]可得，（i）當k≥0時，問題（8）的一般解為：

3.2問題的求解

3.2.1Φ(z)的表達式

其中，（i）當K≥0時，Φ0(z)為（9）式.

（ii）當K＜0時，當且僅當（11）式成立時，Φ0(z)為（12）式.此時，Φ(z)為唯一解.

Φ1(z)、X(z)分別為（4）式和（5）式.

3.2.2Ψ1(t)的求解

將Φ(z)代入（I）中，第一式兩端乘G22(t)減去第二式兩端乘G12(t)，可得：

其中，（i）當K≥0時，Φ0(t)為將（9）式中的z換成t即得；當K＜0時，當且僅當（11）式成立時，Φ0(t)為將（12）式中的z換成t即得.

（ii）對（4）式、（5）式利用Plemelj公式，可得，

（iii）

3.2.3Ψ2(t)的求解

定理對于正則型RH0-1問題，其一般解為(Φ(z),Ψ1(t),Ψ2(x)).當K≥0時，Φ(z),Ψ1(t),Ψ2(x)分別為（13），（14），（27）式；當K＜0時，當且僅當（11）式成立時，Φ(z),Ψ1(t),Ψ2(x)分別為（13），（14），（33）式，且其為唯一解.

〔1〕N.I.Ioakimids，E.A.Perdiosand K.E.Papadakis，Numerical estimation of the coefficient of the homogeneous Riemann—Hilbert problem on the basis of boundary data，Applied Mathematics and Computation，41(1991)，No.1.

〔2〕Li Xing（李星），The inverse Riemann boundary value jump problem，Proceeding of the International Conference on Computation Engineering Science.Technology Publications，Atlanta，Ga，USA，1992.

〔3〕李星.一類Riemann邊值逆問題[J].數學雜志，1996,16（3）：303-306.

〔4〕王明華.Riemann邊值逆問題與奇異積分方程組[J].數學雜志，1999,19（2）：175-180.

〔5〕王明華.一類Riemann－Hilbert邊值逆問題[J].純粹數學與應用數學，2006,28（2）：225-231.

〔6〕王明華.半平面中的Hilbert邊值逆問題[J].四川師范大學學報:自然科學版，2011,34（2）：208-212.

〔7〕朱軍明.一類復合周期性邊值問題的解法[D].武漢大學，2004.

〔8〕武模忙，林峰，李錦成.解析函數的復合邊值逆問題[J].華僑大學學報：自然科學版，2014,35（4）：476-480.

〔9〕路見可.解析函數邊值問題教程[M].武漢：武漢大學出版社，2009.12.

O175.8

A

1673-260X（2016）09-0001-03

2016-05-14