試談一道高考題中直觀想象素養(yǎng)各水平的體現(xiàn)

湖北 周 威

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“課標(biāo)”)對直觀想象核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和主要表現(xiàn)做了具體描述，并將其劃分為“三個水平”.如何理解具體試題中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的應(yīng)用與滲透？根據(jù)課標(biāo)要求，在高考命題路徑中對于每道試題，除了給出傳統(tǒng)評分標(biāo)準(zhǔn)外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).本文基于直觀想象素養(yǎng)的“水平劃分”層次，探討2019年全國卷Ⅲ理科數(shù)學(xué)21題中直觀想象素養(yǎng)的水平層次和表現(xiàn)形式.

一、直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵與水平劃分

1.直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵

課標(biāo)明確提出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.直觀想象是要依靠平面幾何或空間幾何的直觀描述、理解和解決問題，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).

2.對直觀想象素養(yǎng)的水平劃分與理解

各個水平的含義描述分別從情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思等方面進(jìn)行了闡述.

在課標(biāo)案例22“跑道問題”中，跑道由左右兩邊均是半徑為36m的半圓弧與兩條直線段組成，如果能夠計(jì)算出每條直道的長度，可以認(rèn)為達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平一的要求，能夠利用直角坐標(biāo)系寫出跑道(上半部分)的解析式，可以認(rèn)為達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平二的要求；在案例29“估算地球周長”中，能夠通過“立竿測影”的描述畫出平面示意圖，可以認(rèn)為達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平一的要求，能夠借助平行線內(nèi)錯角相等的知識遷移或推理得出清晰的數(shù)與形之間的邏輯關(guān)系，進(jìn)而得出地球周長，可以認(rèn)為達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平二的要求.再根據(jù)案例30“影子問題”，案例31“圓柱體截面問題”，不難將“直觀想象素養(yǎng)水平一”理解為“數(shù)”與“形”之間的直譯；“直觀想象素養(yǎng)水平二”可以理解為“數(shù)”與“形”之間運(yùn)用聯(lián)想、知識遷移所反映出來的聯(lián)系；“直觀想象素養(yǎng)水平三”可以理解為“數(shù)”與“形”之間通過知識的創(chuàng)新性、數(shù)學(xué)分支之間及學(xué)科之間綜合應(yīng)用性所反映出來的“深層次”的聯(lián)系.

因此，從上述對各個水平的總結(jié)與理解來看，特別是水平二、水平三，由于“數(shù)”與“形”之間運(yùn)用聯(lián)想角度、知識遷移的難易類別及數(shù)學(xué)知識點(diǎn)不同，采用的數(shù)學(xué)分支或所跨學(xué)科不同，往往存在同一情境與問題的同一直觀圖形中也會體現(xiàn)出不同的直觀想象水平，同一水平也有不同的“知識與技能”、“思維與表達(dá)”方面的呈現(xiàn)方式.

課標(biāo)中提到，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二是高考的要求.包含了六大核心素養(yǎng)水平二階段的綜合要求，其中對直觀想象的要求可概括為：能夠想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運(yùn)動規(guī)律；能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，解決實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題；能夠用圖形探索解決問題的思路，形成數(shù)形結(jié)合的思想.

二、基于高考題探討直觀想象素養(yǎng)的各水平層次

接下來從直觀想象水平劃分的角度對2019年全國卷Ⅲ理數(shù)解析幾何題進(jìn)行案例探討.解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，所以解析幾何是“數(shù)”與“形”結(jié)合的經(jīng)典內(nèi)容，借助“形”的直觀來更有效地解決問題并沒有否定“用代數(shù)的方法來研究幾何問題”的本質(zhì).

(Ⅰ)證明：直線AB過定點(diǎn);

1.水平一的表現(xiàn)

圖1

圖2

2.水平二的表現(xiàn)

第(Ⅰ)問中若能利用求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，聯(lián)想到切線DA,DB都過公共點(diǎn)D，以此求直線AB的方程，可以認(rèn)為達(dá)到水平二的要求.具體回答如下：

2.1 表現(xiàn)形式一

知識與技能:利用EM與AB的斜率，根據(jù)弦長公式|AB|及點(diǎn)到直線AB的距離進(jìn)而求得面積.

思維與表達(dá):從直線出發(fā)，將直線代入拋物線方程

2.2 表現(xiàn)形式二

思維與表達(dá):從點(diǎn)出發(fā)，利用向量與面積之間的關(guān)系

3.水平三的表現(xiàn)

是否可以基于以上情境與問題中的直觀圖形體現(xiàn)直觀想象水平三的層次呢？筆者以為，第(Ⅱ)問如果從三角函數(shù)方面的相關(guān)知識結(jié)合圖2利用參數(shù)法這個“創(chuàng)新”的角度得到解答，根據(jù)加分原則和滿意原則，可以認(rèn)為達(dá)到“水平三”的要求.主要思維與表達(dá)如下：

三、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的備考啟示

根據(jù)以上分析，水平一、二、三是直觀想象素養(yǎng)的不同層次水平，在情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思等方面有相應(yīng)的劃分依據(jù).事實(shí)上，往往存在同一情境與問題中會體現(xiàn)出不同的直觀想象水平，同一水平也有不同的“知識與技能”“思維與表達(dá)”方面的呈現(xiàn)方式，所以備考中如何利用例題進(jìn)行通性通法的解題教學(xué)，通過一題多解和多題一解讓學(xué)生能解一題而通一類題，避免“會而不對、對而不全”的現(xiàn)象.因此，在教學(xué)備考中，首先要深刻把握各個核心素養(yǎng)的水平劃分的內(nèi)涵；其次要創(chuàng)設(shè)合理的情境，針對不同核心素養(yǎng)的不同水平設(shè)置問題；再次要利用好成熟的“直觀模型”，例如幾類特殊圓錐曲線圖形模型、函數(shù)圖形模型等；最后就是突出數(shù)形結(jié)合思想.