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    基于“最近發(fā)展區(qū)”理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)
    ——以“函數(shù)的概念”教學(xué)為例

    2020-11-15 04:32:58安徽王東旭
    關(guān)鍵詞:最近發(fā)展區(qū)定義域實(shí)例

    安徽 王東旭

    一、“最近發(fā)展區(qū)”理論概述

    “最近發(fā)展區(qū)”理論是由前蘇聯(lián)著名心理學(xué)家維果斯基提出的,他認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平:一種是現(xiàn)有發(fā)展水平,指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問題的水平;另一種是潛在發(fā)展水平,是指學(xué)生通過學(xué)習(xí)能夠獲得的潛力.兩者之間的差異就是“最近發(fā)展區(qū)”.教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,在教學(xué)方法上應(yīng)循序漸進(jìn),逐步向新知過度,不斷超越其最近發(fā)展區(qū)而到達(dá)下一發(fā)展階段的水平.

    二、高一新生“函數(shù)的概念”的現(xiàn)有發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平分析

    本節(jié)課是針對剛剛步入高中大門的高一新生來設(shè)計(jì)的.高一新生在初中階段已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念以及幾種特殊的函數(shù):一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù),這些構(gòu)成了學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ).然而他們在思維方式上往往還停留在具體運(yùn)算,或者是基于一些具體問題的運(yùn)算上.例如,他們看待函數(shù)時(shí),一般習(xí)慣將其看作具體的一次函數(shù)、二次函數(shù)或者反比例函數(shù),沒有將其抽象看成一般的函數(shù)f(x).同時(shí),在數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)上,大部分學(xué)生往往習(xí)慣于一些特殊值的運(yùn)算,習(xí)慣通過特殊值代替抽象字母,將抽象的數(shù)學(xué)問題特殊化,從特殊的問題中推測、歸納出一般問題的答案.同時(shí),通過初中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),大部分學(xué)生具備了一定的探究能力,掌握了一些合情推理和歸納總結(jié)的方法,但是這些能力和方法普遍都是建立在具體問題或者幾何直觀基礎(chǔ)上的,學(xué)生并不懂得如何借助抽象的數(shù)學(xué)符號進(jìn)行.鑒于以上對學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的分析,教師在回顧舊知的基礎(chǔ)上提出一系列概念判斷性的問題,其中有些問題學(xué)生無法利用初中函數(shù)的概念解釋,亦無法借助特殊化的方式判斷.因而需要明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的目的——從集合的角度重新解讀函數(shù)的概念.

    三、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)對函數(shù)的概念教學(xué)的要求

    《課程標(biāo)準(zhǔn)》對本節(jié)的教學(xué)要求是:通過豐富實(shí)例,進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),體會(huì)對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)的概念中的作用,了解構(gòu)成函數(shù)的要素.從學(xué)生已掌握的具體函數(shù)和函數(shù)的描述性定義入手,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實(shí)際問題,嘗試列舉各種各樣的函數(shù),構(gòu)建函數(shù)的一般概念.然而函數(shù)的概念本身是極其抽象的,要求學(xué)生用變量的眼光、運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去看待問題,這點(diǎn)對于高一新生來說學(xué)起來十分不易.在數(shù)學(xué)的教學(xué)中,要求教師強(qiáng)調(diào)函數(shù)本質(zhì),淡化函數(shù)形式化表示與運(yùn)算.通過具體實(shí)例提煉函數(shù)的概念的本質(zhì),使學(xué)生真正理解它、運(yùn)用它.

    四、“最近發(fā)展區(qū)”理論指導(dǎo)下的函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

    “最近發(fā)展區(qū)”是重要的教學(xué)理論,為了能夠清楚的表達(dá)該理論在本節(jié)教學(xué)中的指導(dǎo)作用,筆者將教學(xué)主要分成以下5個(gè)環(huán)節(jié):回顧舊知、創(chuàng)設(shè)情境、引發(fā)沖突、形成新知、深化理解.具體如下:

    1.回顧舊知

    師:初中學(xué)過哪些函數(shù)?到底什么叫做函數(shù)?

    【設(shè)計(jì)意圖】通過讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過的幾種特殊函數(shù):一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù),從而引導(dǎo)學(xué)生回憶起初中課本里的函數(shù)的概念以及初中解決此類問題時(shí)的慣用方法和思路.在教學(xué)的伊始就喚醒并構(gòu)建起學(xué)生函數(shù)的概念學(xué)習(xí)的現(xiàn)有發(fā)展水平中的知識內(nèi)容.

    生:回憶并思考上述問題,并讓學(xué)生簡答.

    師:給出初中時(shí)對函數(shù)的概念的描述:“一般地,設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y,如果對x在它允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么就說x是自變量,y是x的函數(shù).”

    2.創(chuàng)設(shè)情境

    通過生活中現(xiàn)實(shí)問題、熟悉的實(shí)例來創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,這樣容易引起學(xué)生產(chǎn)生共鳴、產(chǎn)生興趣,體現(xiàn)“人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)”.

    筆者給出以下幾個(gè)具體實(shí)例,并進(jìn)一步設(shè)問:以下變量關(guān)系是函數(shù)嗎?為什么?

    實(shí)例1.下表是1950~1959年我國的人口的數(shù)據(jù)資料:人口數(shù)量單位(萬人)

    年份(x)1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)(y)55 19656 30057 48258 79660 26661 45662 82864 56365 99467 207

    實(shí)例2.如圖是滁州市2019年某天自零點(diǎn)至24點(diǎn)氣溫變化情況.

    實(shí)例3.某趟高鐵列車以300 km/h的時(shí)速勻速行駛,行駛的路程y千米與其行駛時(shí)間x小時(shí)之間的關(guān)系.

    實(shí)例4.已知y=x2,變量y與變量x之間的關(guān)系.

    實(shí)例5.已知y2=x(x為非負(fù)實(shí)數(shù)),變量y與變量x之間的關(guān)系.

    實(shí)例6.已知|y|=x,變量y與變量x之間的關(guān)系.

    【設(shè)計(jì)意圖】由于這幾個(gè)實(shí)例是完全建立在學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平的基礎(chǔ)之上的,所以應(yīng)該由學(xué)生獨(dú)立思考完成,教師此時(shí)不應(yīng)該給予提示和指導(dǎo).根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的水平,容易判斷出實(shí)例1,2,3,4中,y是x(或t)的函數(shù);而實(shí)例5,6中,y不是x的函數(shù).

    3.引發(fā)沖突

    提出疑問:既然初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念,為何高中又要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念?

    【設(shè)計(jì)意圖】這樣的設(shè)問方式正是學(xué)生所感到困惑的地方,因此可以吸引學(xué)生的注意,有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

    筆者緊接著給出下列式子并提出問題:這些式子是函數(shù)嗎?

    【設(shè)計(jì)意圖】通過初中階段的學(xué)習(xí),學(xué)生會(huì)習(xí)慣性地把函數(shù)理解為“一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量變化而變化”,對于以上的這類式子是否表示函數(shù),絕大多數(shù)的高一學(xué)生無從判斷,因?yàn)檫@與初中“變量說”的定義不太吻合,于是學(xué)生感到疑惑.這時(shí),要讓學(xué)生知道“變量說”僅從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā),強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)變量和變域——自變量與因變量、定義域與值域,缺少了對于函數(shù)實(shí)質(zhì)的刻畫.因此需要從新的角度來引入函數(shù)更為準(zhǔn)確的定義.在課堂教學(xué)時(shí)可以通過這些函數(shù)的實(shí)例,在學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平的基礎(chǔ)上引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,促使學(xué)生積極自主探索,促進(jìn)學(xué)生從現(xiàn)有發(fā)展水平出發(fā),最終完成向潛力發(fā)展水平的過渡和轉(zhuǎn)化.

    4.形成新知

    教師帶著學(xué)生回到之前給出的幾組實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生用集合的語言闡述實(shí)例1,2,3,4的共同特點(diǎn).

    (1)每一個(gè)變化過程均涉及兩個(gè)非空數(shù)集A,B;

    (2)存在某種對應(yīng)法則,對于A中的任意元素x,B中總有唯一確定的一個(gè)元素y與之對應(yīng).

    在此,筆者通過PPT展示實(shí)例1可以確定的兩個(gè)非空數(shù)集:

    以年份構(gòu)成的集合A={1950,1951,1952,1953,1954,1955,1956,1957,1958,1959},

    以人口數(shù)量(萬人)構(gòu)成的集合B={55 196,56 300,57 482,58 796,60 266,61 456,62 828,64 563,65 994,67 207}.并給出這兩個(gè)非空數(shù)集之間的對應(yīng),這種對應(yīng)是每一個(gè)年份都對應(yīng)著一個(gè)人口數(shù)量.

    于是,引導(dǎo)學(xué)生模仿實(shí)例1中兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng),完成實(shí)例2的對應(yīng).并以投影的形式在班級展示.這里采集一位同學(xué)的答案:

    實(shí)例2.A={0:00,2:00,4:00,6:00,8:00,10:00,12:00,14:00,16:00,18:00,20:00,22:00,24:00},

    B={20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}.

    再讓學(xué)生口述實(shí)例3,4如何用集合之間的對應(yīng)來描述.在此基礎(chǔ)上筆者給出函數(shù)的概念的定義:“一般地,設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任意元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù),通常記為y=f(x),x∈A.其中,所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域;所有的輸出值y組成的集合C(C?B)叫做函數(shù)y=f(x)的值域.”

    【強(qiáng)化概念】由于學(xué)生初次碰到這個(gè)新概念,所以極容易忽略其中的一些關(guān)鍵部分,而對于這些關(guān)鍵部分認(rèn)識上的缺失會(huì)直接導(dǎo)致其在后面學(xué)習(xí)上產(chǎn)生障礙.于是,在給出概念之后應(yīng)當(dāng)及時(shí)地強(qiáng)調(diào)函數(shù)的概念成立的幾個(gè)必備條件:兩個(gè)集合要求“非空”、兩個(gè)集合必須是“數(shù)集”、“任意”和“唯一”.它們都是形成概念的必要前提,并且能夠與本章最后要講的映射的概念之間形成對比和聯(lián)系.而對于其中“任意”和“唯一”這兩點(diǎn)的充分理解是對學(xué)生現(xiàn)有思維方式的挑戰(zhàn).例如,學(xué)生應(yīng)當(dāng)理解“任意”是用來規(guī)定集合A的,于是集合A一定是函數(shù)的定義域,而其對于集合B卻沒有限制,集合B中可以有元素沒有原象,于是集合B就不一定是值域,值域C一般包含于B,而不一定相等.如果學(xué)生能夠?qū)@兩點(diǎn)達(dá)到正確的理解和熟練的運(yùn)用,那么則是其從現(xiàn)有發(fā)展水平過渡到潛力發(fā)展水平的一個(gè)重要標(biāo)志.

    最后,回到剛才給出的三個(gè)式子.根據(jù)概括出的函數(shù)的概念,學(xué)生容易判斷它們都是函數(shù),這是一個(gè)已經(jīng)轉(zhuǎn)化為學(xué)生潛在發(fā)展水平的問題.在展現(xiàn)函數(shù)表現(xiàn)形式多樣的同時(shí),通過“特殊→一般→特殊”的認(rèn)知循環(huán)發(fā)展過程,加深學(xué)生對于函數(shù)的概念的理解.

    5.深化理解

    學(xué)了新的函數(shù)的概念后,函數(shù)具體有哪些部分,這是學(xué)生必須搞清楚的,于是在前面引導(dǎo)的前提下繼續(xù)追問.(讓學(xué)生回答并點(diǎn)評)

    由定義域、值域及定義域到值域的對應(yīng)法則三部分組成,這就是函數(shù)的三要素,為了研究方便,我們把三要素寫成一個(gè)表達(dá)式y(tǒng)=f(x).

    “y=f(x)”表明,對于定義域中的任意x,在對應(yīng)法則f的作用下都可得到y(tǒng),可見對應(yīng)法則孕育了x與y之間的關(guān)系,它是聯(lián)系x與y的紐帶,從而說明對應(yīng)是函數(shù)的核心.

    為了深化學(xué)生對概念中“對應(yīng)”的理解,進(jìn)一步提出問題:實(shí)例3和實(shí)例4所表示的函數(shù)y=300x(x≥0)與y=x2(x∈R)中對應(yīng)法則分別表示什么呢?(學(xué)生作答,教師指導(dǎo))

    函數(shù)三要素的分析與研究是本課的重點(diǎn)和難點(diǎn).這里將對y=f(x)的認(rèn)識與f作用的分析作為學(xué)生理解函數(shù)三要素的最近發(fā)展區(qū),使學(xué)生在突破重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上對f作為函數(shù)實(shí)質(zhì)特征第一次認(rèn)同.

    上述的y=300x與y=x2顯然不同,原因是二者的對應(yīng)法則不同.那么,如何判定兩函數(shù)是相等的函數(shù)呢,判定標(biāo)準(zhǔn)是什么?

    筆者通過下面這個(gè)例子來講,提出設(shè)問:下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等?(讓學(xué)生就這個(gè)問題展開討論,然后找部分學(xué)生提出自己的想法)

    追問:f(x)=x與g(t)=t,那么它們還是同一函數(shù)嗎?(由學(xué)生作答)

    于是可以得出結(jié)論:判斷函數(shù)是否相同,只要看它們的三要素是否相同,而值域完全由定義域和對應(yīng)法則來確定,所以主要是看定義域和對應(yīng)法則是否相同.定義域和對應(yīng)法則一經(jīng)確定,則函數(shù)就完全確定了,與表示自變量的字母無關(guān).而判斷兩函數(shù)不同,只需要判定定義域、對應(yīng)法則和值域中有一個(gè)要素不同就可以了.

    五、“最近發(fā)展區(qū)”理論在本節(jié)使用的反思

    1.基于學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的教學(xué)設(shè)計(jì)

    首先通過實(shí)例創(chuàng)設(shè)問題情境,提問學(xué)生初中關(guān)于函數(shù)的定義以及利用初中函數(shù)定義判斷實(shí)例是否為函數(shù),激起學(xué)生對已有知識的回憶與聯(lián)想,同時(shí)也感受到初中定義的局限性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的愿望.引導(dǎo)學(xué)生用“初中x在某一確定范圍內(nèi)去理解非空集合A”,“初中某一變化過程去理解按照一定對應(yīng)法則f”,這樣處理有利于形成知識的正遷移.通過學(xué)生的“觀察分析→比較→歸納→概括”培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力,同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.

    2.基于學(xué)生潛在發(fā)展水平的引導(dǎo)

    本節(jié)課的設(shè)置,讓學(xué)生一開始就從現(xiàn)有發(fā)展水平出發(fā),引發(fā)認(rèn)知上的矛盾與沖突,從而促進(jìn)學(xué)生積極自主地探索與反省,并讓學(xué)生處于教師所激發(fā)形成的“思維場”中,在教師所創(chuàng)設(shè)的符合學(xué)生思維水平的一個(gè)個(gè)“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi),讓學(xué)生在解決沖突的過程中逐步完善自己的知識結(jié)構(gòu),提升自己的思維水平和基本數(shù)學(xué)能力,在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi),真正有效地把學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平轉(zhuǎn)化為“潛在發(fā)展水平”,從而實(shí)現(xiàn)自身真正的發(fā)展.

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