訓(xùn)練深層抽象思維，培養(yǎng)核心數(shù)學(xué)能力

甘肅 張建文

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的主要指標(biāo).數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)為:獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

1.數(shù)學(xué)抽象按照抽象的深度可以分為淺層次抽象和深層次抽象

淺層次抽象是深層次抽象的基礎(chǔ)，只有經(jīng)歷了淺層次抽象才可以形成深層次抽象，深層次抽象是淺層次抽象發(fā)展的必然結(jié)果.

1.1淺層次抽象

在具體的實(shí)際情境中借助于若干具體的數(shù)學(xué)原型與實(shí)例，通過歸納類比的推理模式得到相關(guān)的數(shù)學(xué)概念或命題.淺層次數(shù)學(xué)抽象大多在新授課中進(jìn)行，多在概念教學(xué)或命題教學(xué)中得到體現(xiàn).

1.2深層次抽象

規(guī)則意識(shí)凸顯，結(jié)構(gòu)意圖明了，主要在具體的數(shù)學(xué)情境中，通過對(duì)數(shù)學(xué)概念和命題的比較分析，得到結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單、表達(dá)式更簡(jiǎn)潔、應(yīng)用更廣泛的結(jié)論.深層次抽象主要體現(xiàn)在規(guī)則和結(jié)構(gòu)這兩個(gè)方面，即幾何作圖方面的規(guī)則性和操作性以及代數(shù)表達(dá)方面的簡(jiǎn)潔性和結(jié)構(gòu)性.

2.數(shù)學(xué)抽象是可以通過系統(tǒng)訓(xùn)練得到發(fā)展與提高的，數(shù)學(xué)抽象思維的訓(xùn)練具有以下三重境界

2.1由特殊到一般的歸納式訓(xùn)練

這是數(shù)學(xué)抽象的正面訓(xùn)練模式，是最常見、最普遍的訓(xùn)練方法，也是形成淺層次數(shù)學(xué)抽象能力的主要渠道.歸納式訓(xùn)練分為完全歸納和不完全歸納兩種，主要是以不完全歸納為主.通過分析大量實(shí)例，從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系以及事物的實(shí)際背景中得到一般性的結(jié)論.教師主要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一定的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生探究討論，最終師生達(dá)成共識(shí)得到結(jié)論.

2.2由一般到特殊的演繹式訓(xùn)練

這是數(shù)學(xué)抽象的反饋訓(xùn)練模式，即利用正面得到的結(jié)論去識(shí)別或分析具體數(shù)學(xué)對(duì)象.因?yàn)橥ㄟ^歸納式得到的一般性的結(jié)論具有一定的抽象性，自己建立起來的抽象思維是否正確、思維過程是否科學(xué)、結(jié)論是否牢固還有待檢驗(yàn)，所以進(jìn)行演繹式訓(xùn)練是對(duì)歸納式訓(xùn)練的有效補(bǔ)充和強(qiáng)化.

2.3透過現(xiàn)象看本質(zhì)的拔高式訓(xùn)練

拔高式訓(xùn)練主要是對(duì)規(guī)則和結(jié)構(gòu)的升級(jí)訓(xùn)練，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的高層次認(rèn)識(shí)，是提高學(xué)生創(chuàng)新能力的充分條件.數(shù)學(xué)抽象結(jié)論升華為一定的生活哲理，訓(xùn)練過程融入自己的情感與感受，是發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)化學(xué)習(xí)動(dòng)力的主要方式.

2.3.1規(guī)則訓(xùn)練:主要體現(xiàn)在幾何作圖上，目標(biāo)是從抽象表達(dá)式中讀懂對(duì)應(yīng)圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或操作方法，不同的抽象表達(dá)式當(dāng)中蘊(yùn)藏著不同的圖形操作步驟和方法.根據(jù)抽象表達(dá)式確定圖形的所有可能情形以及不同的變換方法之間的優(yōu)劣.

2.3.2結(jié)構(gòu)訓(xùn)練:主要體現(xiàn)在代數(shù)表達(dá)式上，通過比較研究抽象表達(dá)式結(jié)構(gòu)上的相似性與差異性，求解或構(gòu)造新的表達(dá)式來解決實(shí)際問題.如函數(shù)解答中的構(gòu)造函數(shù)問題就是最具代表性的結(jié)構(gòu)訓(xùn)練，這需要學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，能對(duì)問題有高屋建瓴的把握.

規(guī)則性與結(jié)構(gòu)性是深度抽象的兩個(gè)重要方面，兩者相輔相成、相互轉(zhuǎn)化，共同促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展.

3.抽象表達(dá)式是訓(xùn)練學(xué)生高級(jí)思維的主要載體，下面通過對(duì)曲線對(duì)稱性的研究，在規(guī)則和結(jié)構(gòu)方面蘊(yùn)含的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)要分類說明.

3.1曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

這里的曲線可以是函數(shù)圖象，也可以是一般曲線，如橢圓、雙曲線及拋物線等.

曲線f(x,y)=0關(guān)于定點(diǎn)M(a,b)的對(duì)稱曲線方程為f(2a-x,2b-y)=0.

特別地，曲線f(x,y)=0關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)的對(duì)稱曲線方程為f(-x,-y)=0.

函數(shù)y=f(x)關(guān)于定點(diǎn)M(a,b)的對(duì)稱函數(shù)為y=2b-f(2a-x).函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)的對(duì)稱函數(shù)為y=-f(-x).

3.2曲線關(guān)于線的對(duì)稱

曲線關(guān)于直線的對(duì)稱結(jié)果仍然是曲線，根據(jù)已知曲線和對(duì)稱直線(對(duì)稱軸)就可以求出新曲線的方程.

3.2.1曲線f(x,y)=0關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線方程為f(x,-y)=0；

3.2.2曲線f(x,y)=0關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線方程為f(-x,y)=0；

3.2.3曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線方程為f(y,x)=0；

3.2.4曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱曲線方程為f(-y,-x)=0；

3.2.5曲線f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線方程為f(2a-x,y)=0；

3.2.6曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=b的對(duì)稱曲線方程為f(x,2b-y)=0.

由此可以抽象得到一般的曲線C關(guān)于直線對(duì)稱的求解方法，即已知曲線C:f(x,y)=0,直線l:ax+by+c=0,下面可求曲線C關(guān)于直線l的對(duì)稱曲線.

設(shè)P(x0,y0)為曲線C上的點(diǎn)，即f(x0,y0)=0.P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x,y),則有

特別地,函數(shù)y=f(x)關(guān)于定直線x=a的對(duì)稱函數(shù)為y=f(2a-x).函數(shù)y=f(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱函數(shù)為y=f(-x).

3.3函數(shù)圖象自身的對(duì)稱性

函數(shù)圖象具有某種對(duì)稱性是函數(shù)自身的性質(zhì)，而且是只有某一類特殊函數(shù)圖象才具有的性質(zhì)，比如奇函數(shù)與偶函數(shù).而曲線關(guān)于點(diǎn)或線的對(duì)稱是一種圖象變換方式，這兩者是有顯著區(qū)別的.下面對(duì)函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱性進(jìn)行簡(jiǎn)單論述.

3.3.1若函數(shù)y=f(x)滿足:f(x)+f(2a-x)=2b,則y=f(x)關(guān)于點(diǎn)M(a,b)對(duì)稱.

特別地,當(dāng)函數(shù)y=f(x)滿足：f(x)+f(-x)=0時(shí),則y=f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即y=f(x)是奇函數(shù).

3.3.2若函數(shù)y=f(x)滿足:f(x)=f(2a-x),則y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

特別地,當(dāng)函數(shù)y=f(x)滿足:f(x)=f(-x)時(shí),則y=f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,即y=f(x)是偶函數(shù).

3.3.3抽象函數(shù)中的奇偶性:

若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)，即f(x+a)+f(-x+a)=0,則y=f(x)關(guān)于M(a,0)對(duì)稱.

若函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù)，即f(x+a)=f(-x+a),則y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

3.4函數(shù)的奇偶性+周期性?對(duì)稱性

證明:由于y=f(x)為奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x).且f(x)=f(x+a)，

3.5函數(shù)的奇偶性+對(duì)稱性?周期性

3.5.1若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),且關(guān)于點(diǎn)M(a,0)對(duì)稱,則y=f(x)為周期函數(shù),且周期T=2|a|(證明如下).

證明:由于y=f(x)為奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x).又由于函數(shù)關(guān)于點(diǎn)M(a,0)對(duì)稱,所以有f(2a+x)+f(-x)=0,因此可得f(2a+x)-f(x)=0,即f(2a+x)=f(x).故y=f(x)為周期函數(shù),且周期T=2|a|.

3.5.2若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),且關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則y=f(x)為周期函數(shù),且周期T=4|a|(證明方法類似3.5.1,證明過程略).

3.5.3若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),且關(guān)于點(diǎn)M(a,0)(其中a>0)對(duì)稱,則y=f(x)為周期函數(shù),且周期T=4|a|(證明方法類似3.5.1,證明過程略).

3.5.4若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),且關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則y=f(x)為周期函數(shù),且周期T=2|a|(證明方法類似3.5.1,證明過程略).

4.訓(xùn)練學(xué)生高級(jí)抽象思維的另一種主要手段是進(jìn)行構(gòu)造法訓(xùn)練.通過對(duì)抽象函數(shù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)的分析理解,構(gòu)造恰到好處的新函數(shù)解決問題.

4.1根據(jù)任意函數(shù)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)

證明:由于F(x)=f(x)+f(a-x)，所以F(a-x)=f(a-x)+f(x)

4.2根據(jù)任意函數(shù)構(gòu)造分段對(duì)稱函數(shù)

4.3根據(jù)導(dǎo)數(shù)具體形式構(gòu)造函數(shù)

4.3.2已知y=f(x)滿足:xf′(x)+f(x)<0，則可構(gòu)造F(x)=xf(x).

構(gòu)造法的應(yīng)用在不同的實(shí)例當(dāng)中有不同的表現(xiàn)形式，具體問題具體分析，不可一概而論.

5.典例賞析

5.1關(guān)于線的對(duì)稱應(yīng)用

【例1】(2015·全國卷Ⅰ·文12)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，且f(-2)+f(-4)=1,則a=

( )

A.-1 B.1

C.2 D.4

【分析】此題明顯屬于曲線關(guān)于直線對(duì)稱類問題,已知曲線C1:y=2x+a,曲線C1關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱曲線是C2:-x=2-y+a，即y=-log2(-x)+a,可得f(x)=-log2(-x)+a，

代入式子f(-2)+f(-4)=1，可得a=2.

( )

A.0 B.m

C.2mD.4m

【小結(jié)】例1需要求出對(duì)稱曲線的方程，是兩條曲線關(guān)于直線的對(duì)稱問題，例2則要從抽象表達(dá)式中讀出曲線的對(duì)稱軸，是函數(shù)圖象自身具有對(duì)稱性.此兩例堪稱是關(guān)于直線對(duì)稱的典范，其中包含的解答思路與方法具有很強(qiáng)的擴(kuò)展性和普遍性.

5.2關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱應(yīng)用

( )

A.0 B.mC.2mD.4mm

【小結(jié)】此例是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱模型的經(jīng)典應(yīng)用,和例2非常類似,都屬于函數(shù)本身具有的對(duì)稱性質(zhì).

5.3對(duì)稱性與奇偶性的結(jié)合

【例4】(2018·全國卷Ⅱ·文12)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

【分析】因?yàn)閥=f(x)為奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以f(x)的周期T=4.又由于f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(1+1)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=2.

【小結(jié)】此題的解答關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件得到f(x)的周期T=4,之后的求值計(jì)算就會(huì)迎刃而解,所以在理解與計(jì)算過程中要抓主抓重.

5.4構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)

【例5】(2017·全國卷Ⅰ·文9)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)，則

( )

A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱

D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

【分析】根據(jù)任意函數(shù)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)的方式可得，f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

5.5導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造法

【例6】(2015·全國卷Ⅱ·理12)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是

( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

【小結(jié)】抽象函數(shù)的構(gòu)造源于對(duì)式子的精準(zhǔn)理解和獨(dú)到把握,更需要提升深層抽象能力，從相似元素中找差異，從不同元素中找共性.

6.總結(jié)與展望

以上是筆者對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一個(gè)側(cè)面進(jìn)行的論述，論述主要是以抽象函數(shù)的對(duì)稱性為研究對(duì)象展開的，對(duì)抽象函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行了多層次多角度的簡(jiǎn)單論述，希望對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能有所幫助.在新課改的大潮流下，深入理解學(xué)生、理解教學(xué)都需要我們從全新的視角思考問題,做到因材施教、順勢(shì)而為,運(yùn)用各種方式提高教與學(xué)的效率.