心有“0”犀“1”點(diǎn)通
——淺議指對(duì)冪比較大小的常用技巧

四川 杜海洋

(作者單位:四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校)

從近幾年高考情況來(lái)看，指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的大小比較為高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以選擇題為主.這類考試題目通常是三個(gè)指數(shù)和對(duì)數(shù)及冪混在一起，進(jìn)行排序.解決這類問(wèn)題如果兩兩進(jìn)行比較，有時(shí)則花費(fèi)的時(shí)間較多，本文介紹處理此類問(wèn)題的常用方法與技巧.

涉及指對(duì)冪比較大小時(shí)，如果式子中易求大于0或小于0先區(qū)分還容易辦到，但讓學(xué)生感到困難的是當(dāng)式子的值都大于1或小于1時(shí)，此時(shí)的技巧手段就需要有高招了，即0，1是這類問(wèn)題的分水嶺，下面筆者以一些典型例題來(lái)說(shuō)明此類問(wèn)題的方法與技巧，以饗讀者！

一、比較大小的基本思路

(1)求同存異:如果兩個(gè)指數(shù)(或?qū)?shù))的底數(shù)相同，則可通過(guò)指數(shù)(真數(shù))的大小與指數(shù)(或?qū)?shù))函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)(或?qū)?shù))的關(guān)系，所以要熟練運(yùn)用公式，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況.

(2)利用特殊值作“中間量”:在指對(duì)數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“-1，0,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟(在兵法上可稱為“分割包圍，各個(gè)擊破”)，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如log23，可知1=log22

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小:例:f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則?x1,x2∈[a,b],x1

總之，比較數(shù)式的大小，若同底，考慮指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)函數(shù))；若同指，則考慮冪函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。蝗舨煌?，也不同指，則其基本方法是“同底法”，即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來(lái)解決，或者利用中間量法.

二、比較大小的常用方法

策略一、估算法

就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，求出答案的近似值，或把有關(guān)數(shù)值擴(kuò)大或縮小，從而對(duì)運(yùn)算結(jié)果確定出一個(gè)范圍或作出一個(gè)估計(jì)，進(jìn)而作出判斷的方法.

【例1】比較log39.1與log23.9的大小.

【解析】因?yàn)?=log22log23.9.

策略二、特殊值法

就是運(yùn)用滿足題設(shè)條件的某些特殊數(shù)值對(duì)各選擇支進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，利用問(wèn)題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，由此判斷選項(xiàng)真?zhèn)蔚姆椒?用特例法解選擇題時(shí)，特例取的越簡(jiǎn)單、越特殊越好.

【例2】若a>b>1,0

( )

A.ac

C.alogbc

【針對(duì)訓(xùn)練2】若非零實(shí)數(shù)a,b滿足2a=3b，則下列式子一定正確的是

( )

A.b>aB.b

C.|b|<|a| D.|b|>|a|

【解析】令a=2,則4=3b，易得1b.

策略三、數(shù)形結(jié)合法

就是利用函數(shù)圖象或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義，將比較大小與某些函數(shù)圖象結(jié)合起來(lái)，利用函數(shù)圖象性質(zhì)，再輔以簡(jiǎn)單計(jì)算，確定正確答案的方法.

( )

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=log2x,y=log3x,y=log4x的圖象,如圖所示:

( )

A.x3

C.x1

策略四、單調(diào)性比較法

解題時(shí)根據(jù)實(shí)際情況來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較大小，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù).然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小.

【例4】已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log2.22.1，則

( )

A.c

C.a

所以c

( )

A.x>y>zB.z>y>x

C.y>x>zD.z>x>y

策略五、中間量法

【例5】

類型1、指數(shù)型(橋梁a0=b0=1)

(1)比較大小1.70.3________0.93.1.

【解析】觀察題目可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的底數(shù)、指數(shù)都不同，但可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造中間量，與數(shù)1先進(jìn)行比較.知1.70.3>1.70=1=0.90>0.93.1.

注意:在研究指數(shù)函數(shù)時(shí)，總會(huì)提到a0=1(a>0,a≠1)，即指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，更深入一些理解，這個(gè)定點(diǎn)也是一個(gè)重要的分界點(diǎn)，把函數(shù)值分為了大于1和小于1兩部分.

【解析】底數(shù)、指數(shù)都不同，構(gòu)造中間量比較大小，先與數(shù)1，0比較.

(3)已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，則

( )

A.a

C.c

【解析】a=log20.220=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0,1)，∴a

類型2、對(duì)數(shù)型(0=loga1=logb1)，(1=logaa=logbb)

( )

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

(2)設(shè)a=log54，b=(log53)2，c=log45，則

( )

A.a

C.a

【解析】∵a=log54log44=1，

∴c最大，又因?yàn)閍,b∈(0,1)，但b=(log53)b，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，在涉及比較兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系時(shí)，有時(shí)借助于0,1這樣的特殊值能起到事半功倍的效果.

類型3、以上講的兩種類型，都是用比較常見(jiàn)的0,1作為橋梁進(jìn)行大小比較，然而有些值不能用0,1來(lái)作為中間量進(jìn)行比較，但是我們?nèi)匀荒軌蛘业狡渌闹虚g量.

兩者均大于1或均小于1且大于0

(1)0.80.5________0.90.4.

【解析】由式子可得兩者均小于1，這時(shí)我們可以構(gòu)造中間量0.90.5或0.80.4，目的是轉(zhuǎn)化與其中一個(gè)式子構(gòu)造同底，與另一個(gè)式子構(gòu)成同指，即比較sm，tn的大小，構(gòu)造中間量sn或tm.0.80.5<0.90.5<0.90.4.

(2)log3.12________log32.1.

(3)已知a=log910，b=log1011，比較a,b的大小.

【針對(duì)訓(xùn)練5】試比較log54與log43的大小.

即:比較logab，logmn的大小，構(gòu)造中間量logan或logmb.

策略六、對(duì)數(shù)法比較大小

上面的題目可以用函數(shù)方法或中間量的方法來(lái)比較大小，但是有些題目，靠上述手段很難比較大小，我們就需要新的武器——對(duì)數(shù)法比大小.我們看下面的題目，這時(shí)就顯示出對(duì)數(shù)法比大小的優(yōu)勢(shì).

注意:此時(shí)中間量并不能判斷出兩數(shù)大小，所以我們轉(zhuǎn)換思路，用取對(duì)數(shù)的方法，進(jìn)行比較.

【針對(duì)訓(xùn)練6】若a>0,b>0,比較algb與blga的大小.

【點(diǎn)評(píng)】1.對(duì)數(shù)法比大小，先取對(duì)數(shù)，比較對(duì)數(shù)值的大小，得到真數(shù)的大小；2.只適用于比較兩個(gè)正數(shù)的大小，遇到負(fù)數(shù)需要先做出轉(zhuǎn)化.

指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的大小比較問(wèn)題方法靈活，常常給人以“亂花漸欲迷人眼”的感覺(jué)，而對(duì)其問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題的解法往往可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象解答，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象等核心素養(yǎng)的考查.當(dāng)然除了以上介紹的方法外還有作商、作差等比較大小的方法，有時(shí)一題也可從不同的方法入手均可獲得突破，以上舉例起到一個(gè)拋磚引玉的作用，平時(shí)在學(xué)習(xí)時(shí)多留意，多積累，相信以后解決此類問(wèn)題時(shí)就會(huì)有“淺草才能沒(méi)馬蹄”的輕盈之感.