證明不等式的方法與技巧

江西 廖東明

不等式的證明沒有固定的程式，證法因題而異，技巧性強(qiáng)，難度較大.基本方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法.此外，還有放縮法、構(gòu)造法、換元法、待定系數(shù)法、函數(shù)法、判別式法等.

一、比較法

【證明】(Ⅰ)3(a3+b3+c3)-(a+b+c)(a2+b2+c2)=

2(a3+b3+c3)-a(b2+c2)-b(a2+c2)-c(a2+b2),

因?yàn)閍,b∈R+，所以a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2.(b-a)=(a-b)2(a+b)≥0，即a3+b3-a2b-ab2≥0，同理b3+c3-b2c-bc2≥0，c3+a3-c2a-ca2≥0，所以2(a3+b3+c3)-a(b2+c2)-b(a2+c2)-c(a2+b2)≥0.

因此(a+b+c)(a2+b2+c2)≤3(a3+b3+c3)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得等號(hào).

而2(a2c+b2a+c2b)-(a2b+c2a+b2c+3abc)

=ac(a-c)+ab(b-a)+bc(c-b)+ac(a-b)+ab(b-c)+bc(c-a)

=c(a-c)(a-b)+a(a-b)(c-b)+b(b-c)(a-c)

=c(a-c)(a-b)-a(a-b)(b-c)+b(b-c)(a-c)

≥(b-c)(ca-cb-a2+ab+ab-b2)=(b-c)·[a(b+c-a)+b(a-b-c)]

=(b-c)(a-b)(b+c-a)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得等號(hào)，原式得證.

二、分析法

【例2】若x,y是實(shí)數(shù)，y≥0，y(y+1)≤(x+1)2，求證：y(y-1)≤x2.

即證得y(y-1)≤x2成立.

三、綜合法

【例3】(2015·全國(guó)卷Ⅱ·文24理24)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：

(Ⅱ)(ⅰ)先證必要性.若|a-b|<|c-d|，則(a-b)2<(c-d)2，

于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2．因此|a-b|<|c-d|.

【點(diǎn)評(píng)】綜合法的思路是“由因?qū)Ч?，也就是從已知的不等?題設(shè)或證明過(guò)的不等式)出發(fā)，再結(jié)合不等式的性質(zhì)不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出欲證的不等式.常用的基本不等式有：(1)均值不等式；(2)真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(糖水不等式)；(3)絕對(duì)值不等式；(4)柯西不等式.

【變式3】(2017·全國(guó)卷Ⅱ·文23理23)已知a>0,b>0，a3+b3=2.證明：

(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4；

(Ⅱ)a+b≤2.

【證明】(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=22+ab(a2-b2)2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取得等號(hào).

或用反證法證明：假設(shè)a+b>2，則a>2-b.由y=x3在R上單調(diào)遞增，得a3>(2-b)3，所以a3>8-12b+6b2-b3，所以6b2-12b+6<0，即6(b-1)2<0，這與6(b-1)2≥0矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，因此a+b≤2.

四、利用均值不等式

【例4】(2019·全國(guó)卷Ⅰ·文23理23)已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1.證明：

(Ⅱ)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

(Ⅱ)因?yàn)閍,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1，所以

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取得等號(hào).

【點(diǎn)評(píng)】利用均值不等式證題，有時(shí)需要幾個(gè)同向不等式相加或幾個(gè)同向不等式相乘來(lái)證，一要注意不等式的方向(要順向，不要出現(xiàn)方向打架的現(xiàn)象)，二要注意等號(hào)成立的條件要一致.

【點(diǎn)評(píng)】利用均值不等式證明不等式，常常要巧添因子或項(xiàng).要抓住等號(hào)成立的條件去添加或配湊.

【證明】(Ⅰ)因?yàn)閍2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.因?yàn)閍+b+c=1，

五、利用柯西不等式

(Ⅱ)因?yàn)閍,b,c為正數(shù)，且a+b+c=1，所以a+1+b+c=2.由柯西不等式，得

【點(diǎn)評(píng)】柯西不等式的實(shí)質(zhì)是一個(gè)“系數(shù)分離器”：將式子中的系數(shù)通過(guò)柯西不等式分離成兩個(gè)單獨(dú)的式子，從而便于證明或求解，巧配系數(shù)就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵.運(yùn)用柯西不等式，要熟知它的幾個(gè)變形式，證題就會(huì)更加方便.

六、換元法

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)abc=1作比值代換,將非齊次式轉(zhuǎn)化為齊次式，從而創(chuàng)造了運(yùn)用柯西不等式的條件.