十年全國卷壓軸題中的函數(shù)與方程思想研究綜述

陜西 劉再平

一、函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵、原則與思維模式

1、函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中運動變化規(guī)律的一類重要模型，是高中數(shù)學(xué)的核心模塊，貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終. 函數(shù)思想是基于對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用聯(lián)系與變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象、抽象數(shù)量特征并建立函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)的知識來觀察、分析和解決問題的一種思維方式.方程思想是基于對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，根據(jù)問題所表征的意思設(shè)一些未知量，然后根據(jù)題設(shè)中各個量之間的聯(lián)系，建立變量之間的等量關(guān)系，即列出方程或方程組去分析和轉(zhuǎn)化問題，使得問題獲得解決的一種思維方式.

函數(shù)與方程聯(lián)系緊密，可以互相轉(zhuǎn)化. 若一個函數(shù)有解析式，那么這個解析式就可以看成一個方程，反過來一個二元方程中，兩個非空數(shù)集變量間存在著某種映射關(guān)系，則這個方程就可以看成一個函數(shù).如：解方程f(x)=0可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)的零點;方程f(x)=a有解可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)a屬于函數(shù)y=f(x)的值域;方程f(x)=g(x)的解可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點問題或轉(zhuǎn)化為新函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點個數(shù)問題.

2、函數(shù)與方程思想的原則

在運用函數(shù)與方程思想時，需要遵循以下原則：

(1) 轉(zhuǎn)化等價性原則. 函數(shù)與方程問題互相轉(zhuǎn)化的前提是要保證轉(zhuǎn)化的等價性，如：在涉及三角換元的轉(zhuǎn)化過程中要注意三角函數(shù)的有界性，從而避免擴(kuò)大了函數(shù)的定義域.

(2) 簡單性原則. 數(shù)學(xué)解題中，頻繁的復(fù)雜推理和運算會讓人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣受到消耗，所以要善于對比和辨析，在可接受的范圍內(nèi)追求其解法的簡單性. 如：2012年全國卷文科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題可以通過變參分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問題，再通過隱含零點的代換解決，顯然這樣解決比較煩瑣，直接運用不等式與函數(shù)的最值解決更為簡潔.

3、運用函數(shù)與方程思想解題的思維程序

評注：(1)函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，函數(shù)與方程思想也是中學(xué)階段運用最頻繁的數(shù)學(xué)思想，在解決相關(guān)問題時要有運用函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化的意識；

(2)函數(shù)與方程的引入方法有很多，特別是函數(shù)的引入手段非常豐富，如: 整體引入、局部引入、參變分離引入、分離函數(shù)引入、作差引入等；

(3)在解決引入的函數(shù)與方程問題時，通常會用到函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)最值或函數(shù)的圖象等.

二、近十年全國卷壓軸題中的函數(shù)與方程思想統(tǒng)計與分析

近十年全國卷共42套試卷，即有42道壓軸題，其中35道是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題，約占總量的83.3%，這也表明函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題承擔(dān)了大部分全國卷壓軸題的角色，所以下面主要研究近十年全國卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的函數(shù)與方程思想，具體如下統(tǒng)計：

從上表可以獲得以下結(jié)論：

首先，近十年全國卷35道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題有32道是對函數(shù)與方程思想的考查，約占91.4%，說明函數(shù)與方程思想在全國卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中考查得十分頻繁，不容忽視.

其次，從上述表格不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)與方程思想在2010年-2018年的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中考查較多，然而在2019年高考壓軸題中出現(xiàn)較少，這是因為2019年全國卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的六套數(shù)學(xué)試卷的壓軸題有五道變?yōu)榱藞A錐曲線試題，然而這并不能斷定2020年高考全國卷不會以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容命制壓軸題，更不能說明高考會降低對函數(shù)與方程思想的考查.

最后，近十年文理科全國卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題對函數(shù)與方程思想的考查頻率一樣高，這說明函數(shù)與方程思想要引起文理科師生的共同重視，具體來說，要重視構(gòu)造函數(shù)和通過參變分離將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題的能力.

三、十年壓軸題中的函數(shù)與方程的引入方法

如何引入函數(shù)和方程呢？引入函數(shù)和方程的具體方法有哪些呢？下面將以近十年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題為例進(jìn)行闡述，鑒于篇幅，下文只分析函數(shù)與方程的引入思路，不給出詳細(xì)的解答過程.

1、通過函數(shù)零點與方程的轉(zhuǎn)化引入

由于函數(shù)的零點就是函數(shù)解析式等于零的方程的根，也是函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)，可以通過分離函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題，所以通過零點與方程的轉(zhuǎn)化是常見的引入方式.

例1(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=

ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a.

運用思路：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)由題函數(shù)f(x)在(0,+∞)只有一個零點，即方程f(x)=0在(0,+∞)只有一個根，通過代數(shù)變形后則方程1-ax2e-x=0在(0,+∞)只有一個根，所以引入函數(shù)g(x)=1-ax2e-x，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)在(0,+∞)上與x軸只有一個交點.

2、通過隱含零點與方程的轉(zhuǎn)化引入

函數(shù)的隱含零點與方程的轉(zhuǎn)化是全國卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的重點、熱點與難點，主要是要運用零點存在性定理準(zhǔn)確的找到隱含的零點，再將其轉(zhuǎn)化為方程問題，從而實現(xiàn)有效的代數(shù)變換，如：2019年全國卷Ⅱ文科壓軸題、2017年全國卷Ⅱ理科壓軸題、2016年全國卷Ⅱ理科壓軸題等.

例2(2015·全國卷Ⅰ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)；

運用思路：(Ⅰ)當(dāng)a≤0時，f′(x)沒有零點；當(dāng)a>0時，f′(x)存在唯一零點;

3、通過函數(shù)極值與方程的轉(zhuǎn)化引入

函數(shù)極值問題也是全國卷高考常見的壓軸題，由于函數(shù)極值點處的導(dǎo)數(shù)值必然為零，所以函數(shù)極值問題常常轉(zhuǎn)化為方程根的問題，運用函數(shù)與方程思想解決.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)由題f(x)存在兩個極值點x1,x2，因為極值點處的導(dǎo)數(shù)值為零，所以函數(shù)極值問題可以轉(zhuǎn)化：方程f′(x)=0存在兩個根x1,x2，通過代數(shù)變形知方程x2-ax+1=0存在兩個根x1,x2，再結(jié)合一元二次方程的韋達(dá)定理等知識解決問題.

4、通過不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化引入

函數(shù)與不等式綜合問題是近十年全國卷中出現(xiàn)頻率最高的壓軸題類型，函數(shù)與不等式壓軸題通?？梢越Y(jié)合函數(shù)思想，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

例4(2016·全國卷Ⅲ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅲ)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

運用思路：(Ⅰ)當(dāng)01時，f(x)單調(diào)遞減；

(Ⅲ)由題要證1+(c-1)x>cx，即證cx-1-(c-1)x<0，引入函數(shù)m(x)=cx-(c-1)x-1，x∈(0,1)，即轉(zhuǎn)為證明函數(shù)m(x)<0.

5、通過絕對值與函數(shù)最值的轉(zhuǎn)化引入

例5(2015·全國卷Ⅱ理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

(Ⅰ)證明：f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(Ⅱ)若對于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

運用思路：(Ⅰ)證明略；

(Ⅱ)由題對于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，可以將絕對值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題：對于任意x∈[-1,1]，都有f(x)max-f(x)min≤e-1.

四、教學(xué)建議

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的教學(xué)中,函數(shù)與方程思想是師生不得不重視的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)然同一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題解決方法不同，其函數(shù)與方程的引入視角也有區(qū)別,這需要師生的辨析與優(yōu)化.那么，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)中如何滲透函數(shù)與方程思想呢？筆者建議如下：

(1)充分挖掘教材上的函數(shù)與方程思想. 如教材在探究函數(shù)的零點時，將函數(shù)y=f(x)的零點定義為方程f(x)=0的根，反過來方程f(x)=0的根也可以視為函數(shù)y=f(x)的零點等，這些教材核心內(nèi)容都是培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想的好素材.

(2)教師要上好數(shù)學(xué)概念課以及章末復(fù)習(xí)課，因為數(shù)學(xué)概念的生成往往滲透著數(shù)學(xué)思想，章末復(fù)習(xí)課不僅僅是組織學(xué)生做大量的習(xí)題，而是要突出章末復(fù)習(xí)課的兩個核心功能：一是構(gòu)建本章節(jié)知識的思維聯(lián)系，二是滲透數(shù)學(xué)思想方法.

(3)有目的有意識的滲透、介紹和突出與函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題有關(guān)的函數(shù)與方程思想，展示函數(shù)與方程思想在指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題方面的魅力，再通過講練結(jié)合、合作探究與歸納領(lǐng)悟等多種方式促進(jìn)學(xué)生感悟函數(shù)與方程思想，提高學(xué)生靈活運用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的能力.

(4)有計劃、有步驟循序漸進(jìn)的滲透函數(shù)與方程思想. 由于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)具有隱晦性、活動性、主觀性和差異性，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一般都不是一蹴而就、一氣呵成的，它需要教師長期的滲透，學(xué)生慢慢的感悟和運用，這將是一個靜等花開的過程.