用數(shù)形結(jié)合思想求解2019年高考全國卷Ⅱ函數(shù)解答題

甘肅 吳天斌

函數(shù)解答題往往是高考數(shù)學(xué)試卷中難度最大的，它不僅運(yùn)算量大，更突出的是立意新穎，構(gòu)思精巧，思維容量大，大多數(shù)考生想不到、找不到解題的切入點(diǎn)與突破口，而心生畏懼，一籌莫展；數(shù)形結(jié)合思想往往是解決該類問題的有力杠桿與指路明燈，下面以2019年高考全國卷Ⅱ理科函數(shù)解答題為例，例析由數(shù)想形、以形助數(shù)、由形化數(shù)、數(shù)形兼?zhèn)淝蠼夂瘮?shù)零點(diǎn)等相關(guān)問題中的應(yīng)用，希望引起更多讀者對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的重視與深研.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(Ⅱ)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

分析：(Ⅰ)思路①(直接判斷法)：先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f(x)圖象草圖，取一些特殊函數(shù)值，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

思路②(極限、極值、最值分析法)：先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f(x)圖象草圖，求端點(diǎn)極限值或極值或最值，比較它們與0的大小關(guān)系，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

思路③(函數(shù)分離法)：先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后令f(x)=0，將所給函數(shù)分離成兩個(gè)熟悉的函數(shù)，兩個(gè)新函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(Ⅱ)思路①：先求出曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線l，然后求出當(dāng)曲線y=ex的切線l′的斜率與l的斜率相等時(shí)，再證明曲線y=ex的切線l′在縱軸上的截距與l在縱軸的截距相等即可；

解析：(Ⅰ)解法1：

解法2：

函數(shù)f(x)的單調(diào)性及草圖同解法1所示；

①x∈(0,1),當(dāng)x→0-時(shí)y→-∞，而x→1-時(shí)y→+∞，由f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理知當(dāng)x∈(0,1)，函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)；

②x∈(1,+∞)，當(dāng)x→1+時(shí)y→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)y→+∞，由f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理知當(dāng)x∈(1,+∞)，函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)；所以函數(shù)f(x)在定義域(0,1)∪(1,+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

點(diǎn)評(píng)：x→0+指的是變量x從0的右側(cè)趨向于0，x→1+指的是變量x從1的右側(cè)趨向于1，其余類似，這種做法是把解法1推向于極限情形，更直接地解決問題，只不過對(duì)考生的知識(shí)、能力要求更高.

解法3：

函數(shù)f(x)的單調(diào)性同解法1，草圖如圖所示；

解法4：

函數(shù)f(x)的單調(diào)性同解法1；

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化，由函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)我們最為熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較容易的問題，是數(shù)形結(jié)合思想的靈魂和精神所在；有時(shí)候，一個(gè)圖形勝過千言萬語，把數(shù)學(xué)的簡潔美、直觀美、形象美體現(xiàn)得淋漓盡致，這不但能起到簡化運(yùn)算，降低試題難度的作用，而且還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

(Ⅱ)解法1：

解法2：

在面對(duì)“山重水復(fù)疑無路”的解題困境時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想往往是“柳暗花明又一村”的有效途徑，所以我們要一邊演算、一邊思考、一邊修正草圖，畫出與之匹配的圖形，通過數(shù)與形的結(jié)合，將抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化、陌生問題熟悉化，這不僅有利于學(xué)生快速地找到解決問題的切入點(diǎn)、突破點(diǎn)，摸索解題思路，弄清問題實(shí)質(zhì)，而且有助于減輕學(xué)生對(duì)函數(shù)解答題的恐懼心理，指引學(xué)生順利求解，成功登頂.