高考數學應用題分析與展望
——以近3年全國卷理科應用題為例

湖南 周冬梅

強化對“應用意識”的考查，把高考內容與國家經濟社會發(fā)展、科學技術進步、生產生活緊密結合，通過設置真實的問題情境，考查學生靈活運用所學知識分析、解決實際問題的能力，仍將是2020年高考命題的趨勢之一，而高考數學應用問題承載著這一重要“使命”.2020年高考數學應用題如何考？以什么樣的形式呈現？在高考日益臨近的情況下，分析近3年高考全國卷理科試題考查特點和展望2020年高考命題趨勢，對臨考的復習頗有裨益.

一、試題特點分析

1.試題分布列表

2017—2019年全國卷理科數學對應用題的考查列表如下：

年份卷別題號考查內容2017卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ19(Ⅰ)正態(tài)分布,隨機變量的概率和期望(Ⅱ)利用平均值和標準差進行預測3等比數列的通項和前n項和(數學文化)13二項分布及其方差18(Ⅰ)頻率分布直方圖(Ⅱ)2×2列聯表,獨立性檢驗(Ⅲ)相互獨立事件的概率,中位數的估計值3折線圖18(Ⅰ)隨機變量的分布列(Ⅱ)數學期望2018卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ3餅圖(經濟背景)15計數原理,排列組合20(Ⅰ)二項分布的概率(Ⅱ)二項分布的期望,統(tǒng)計決策8古典概型,組合(數學文化)18折線圖,線性回歸方程,模型預測3三視圖(數學文化)8二項分布的概率,隨機變量的方差18(Ⅰ)莖葉圖,樣本數據分析(Ⅱ)莖葉圖,2×2列聯表 (Ⅲ)獨立性檢驗

續(xù)表

2.試題特點分析

(1)對應用題的考查全國卷是每年必考，從未缺席.

(2)2017年應用題題量基本穩(wěn)定在一小、一大，而2018年與2019年的應用題題量有所增加，多數情況是兩小、一大的題量.題型分布在選擇、填空、解答題中.

(3)位置居前，偶有偏后.特別是2018年全國卷Ⅰ的應用題在第20題出現，而2019年全國卷Ⅰ的應用題出現在第21題(壓軸題)的位置，在中學數學界引起了不小的“波瀾”.高考應用題呈現“重心后移”的趨勢.

(4)考查的內容幾乎是“清一色”的概率統(tǒng)計應用問題.也許是這方面的試題相對容易命制，但其實更體現了“應用題部分將數據準備階段的步驟減少，給考生呈現比較規(guī)范的數據格式或數據的回歸模型”的要求.

(5)多數應用題難度中等，數學建模相對輕松.而全國卷Ⅰ的應用題近兩年的難度呈現上升的趨勢，2018年在第20題，2019年則在第21題，處在壓軸題的位置，全國卷Ⅰ連續(xù)兩年的應用題，使得人們對待應用題也“另眼相看”了.

(6)應用來源于真實情景，采用真實數據，體現數學與社會生活的密切聯系，增強試題情景的真實性和可靠性.

二、命題趨勢展望

高考命題逐步從能力立意向核心素養(yǎng)立意轉變，可以預見2020年的高考數學會繼續(xù)努力實現全面考查數學核心素養(yǎng)的要求.作為承載著培育和考查“數據分析”與“數學建?！钡葦祵W核心素養(yǎng)的應用題，在2020年的考查仍是大勢所趨，不可阻擋.根據上述對2017—2019年全國卷理科數學試題特點分析的基礎上，對2020年高考全國卷應用題的命題趨勢作如下幾方面展望.

1.題量仍會是一小、一大或兩小、一大，占近20分左右，且多屬于中檔題或較難題，仍分布在選擇、填空、解答題中；

2.概率統(tǒng)計應用題仍將是命題的“主角”，至少不會受到冷落；

3.2020年高考承上啟下，就全國卷而言，在原三套全國卷的基礎上增加了“新高考”卷，在高考命題改革的背景下，求新、求變將是2020年高考數學命題的主旋律.為此，我們就2020年高考應用題的可能命題模式作如下三方面的預測(其中后兩種預測頗為大膽)：

(1)應用題沿襲往年高考的考查模式，在解答題中，仍是以一道“概率統(tǒng)計應用題”的形式呈現，而且全國卷Ⅰ居于后兩題的位置.

(2)應用題考查的題材呈現出多樣化的趨勢，除在小題中命制應用題外，在解答題中以兩道應用題的形式呈現，在全國卷中傳統(tǒng)意義上“概率統(tǒng)計應用題”不再是考查數學應用的“代名詞”，而以函數(導數)、三角函數(解三角形)、數列、不等式乃至立體幾何等知識為背景的應用問題登場亮相，概率統(tǒng)計應用題被劃歸為常規(guī)題型.

(3)應用題考查題意趨活、題型多樣，在選擇或填空題中，主要圍繞統(tǒng)計、概率等知識的實際應用來命制；而在解答題中，只呈現一道考查函數(導數)、三角函數(解三角形)、數列等知識為背景的實際應用問題.

對于高考而言，不到試卷揭開神秘面紗的最后一刻，我們絕不輕言那些一定不考，對于一些冷門知識、冷門內容務必要準備在平時.禮記有云：凡事預則立，不預則廢.比如概率應用題，再比如解析幾何、立體幾何、三角函數、數列等應用題，都要做好心理準備，概率小不等于不發(fā)生，以上三種預測哪種情形能在2020年高考中實現，讓我們拭目以待.

4.對數學應用問題考查的側重點仍將是現實客觀事物的數學化，其背景可能是課本中包含著的大量應用性材料的深化或延伸；也可能來自當前社會的熱點問題或具有現實意義的問題，比如國慶70周年、新冠肺炎等.

5.2020年高考的應用題部分仍會將數據準備階段的步驟減少，給考生呈現比較規(guī)范的數據格式或數據的回歸模型.采取“重心后移”的策略，把考查的重點后移到對數據的分析、理解、找規(guī)律，減少復雜的運算，突出對數學思想方法的理解和運用能力的考查，引導學生從“解題”到“解決問題”能力的培養(yǎng).

三、解題方法指導

應用題不同于一般的試題，它是從實際生活背景中抽取信息轉化為數學問題的一種題型.對學生的閱讀理解能力、抽象思維能力、建模解模能力都提出了較高的要求.因而在全國卷高考中備受命題者的青睞，成為數學考試命題中必不可少的特色“大餐”.解答數學應用題就是在閱讀材料、理解題意的基礎上，把實際問題轉化為數學問題，建立相應的數學模型，再利用數學知識對模型進行分析、研究，得到答案，然后再把答案返回到實際問題中，獲取具有實際意義的結論.基本程序如下：

具體地說，解答數學應用題的一般步驟是：

1.審題：審題是解答應用題的起點，只有有效地審題才能準確理解題意，弄清題目所反映的實際背景，弄清每一個名詞、概念，分析已知條件，明確所求的結論，理順數量關系，并注意挖掘隱含條件，從而將實際問題等價轉化為數學問題.

2.建模：在審題的基礎上，將已知與所求聯系起來，用數學知識和數學方法，恰當地引入參數及變量，列出滿足題意的數學關系式，即建立相應的數學模型.數學建模的關鍵在于對語言的理解和轉換，即翻譯.它包括：對陌生名詞、概念的領悟；把通俗的文字語言、專業(yè)術語等轉化為數學符號語言.

3.解模：在構建出數學模型后，就要運用我們所學的數學知識和方法來解答純數學問題，得到數學結論.

4.還原：將用數學方法得到的結論，還原為實際問題的結論.

解答數學應用題應注意以下兩點：

(1)消除心理障礙

許多考生一見應用題文字比較長、題目中的情境比較陌生，就望而生畏、置之不理.豈不知，這類問題實際上也是對心理素質的考驗.所以要樹立信心，提高心理承受能力，保持冷靜，認真對待，切不可隨意放棄，認真閱讀完題目，可能發(fā)現此類問題并不難.

(2)排除語言障礙

數學應用題的情景，往往是當前社會的熱點問題和具有現實意義的問題，非常貼近生活，所給的材料具有一定的“原始性”.許多考生往往不能很好地將“材料”與“模型”有機地結合起來，這就要求考生在解應用題時，首先應仔細讀題，通過讀題，抓住關鍵的數量關系，然后準確地翻譯成數學語言.那么，怎樣讀題呢？比如說，可用加點畫線的方法強調關鍵性的語句，再連貫讀出，形成完整的問題；也可以用劃分層次、歸納大意的方法從背景材料中提煉出需要解決的實際問題；或對多個數量進行匯集、歸類，借助圖表顯現出已知量和未知量，體現出需要解決的數學問題；或者用改寫的方法對應用題去掉枝葉，抓住主干，保留題中的數量關系，將實際問題轉化為數學問題.

四、題型示例點撥

下面舉例歸納構建數學模型解決實際問題的幾種常見題型.

1.函數實際應用問題

用函數理論解決實際問題，是學習函數最重要的目的之一.而構建函數模型的關鍵，是找到函數的對應法則“f”，通過利用函數性質或導數知識求解.

(1)分別將A，B兩種產品的利潤y表示為關于投資金額x的函數關系式；

(2)該企業(yè)籌集到35萬元資金，并全部投資到這兩種產品的生產，問：怎樣分配這35萬元的投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？

圖1

圖2

解析：(1)對于A產品：y=0.15x(x≥0);

點評：本題需要在閱讀理解和識圖的基礎上，根據題意條件建立函數模型，然后利用導數求解，體現了函數模型在解決實際問題中的廣泛應用.

2.數列實際應用問題

【例2】我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就，在“楊輝三角”中，第n行的所有數字之和為2n-1，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數列的前15項和為

( )

A.110 B.114 C.124 D.125

點評：本題以“楊輝三角”為背景，考查了等差數列和等比數列前n項和公式的應用.

3.三角實際應用問題

通過構建三角模型，特別是運用正、余弦定理解決實際應用問題是高考考查的重點.熟練掌握并靈活運用知識是解決問題的關鍵.

(Ⅰ)若綠化區(qū)域△ABC的面積為1 km2，求道路BC的長度；

θ(0,π6)π6(π6,2π3)f'(θ)-0+f(θ)↘極小值↗

點評：(Ⅰ)利用余弦定理求解;(Ⅱ)構建角θ的三角函數，然后利用正弦定理、三角恒等變換和導數求解，體現了知識間的綜合運用.

4.幾何實際應用問題

有些數學應用題帶有明顯的“幾何”(平面幾何、立體幾何、解析幾何)特征，這類問題自然是應用幾何的基礎知識求解.

【例4】如圖為中國民間智力玩具魯班鎖，起源于古代中國建筑的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合，外觀嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根完全相同的正四棱柱分成三組，經90°榫卯起來．現有一魯班鎖的正四棱柱的底面正方形邊長為2，欲將其放入球形容器內(容器壁的厚度忽略不計)，若球形容器表面積的最小值為120π，則正四棱柱的體積為________.

設正四棱柱的高為h，所以22+42+h2=120，解得h=10，所以正四棱柱的體積為V=2×2×10=40.

點評：中國古建筑以木材、磚瓦為主要建筑材料，以木構架結構為主要的結構方式，由立柱、橫梁、順檁等主要構件建造而成，各個構件之間的結點以榫卯相吻合，構成富有彈性的框架，稱為榫卯結構.榫卯是極為精巧的發(fā)明，成了后代建筑和中式家具的基本模式.本題以中國古建筑借助榫卯連接木構件為背景，命制了一道球與多面體的組合體問題，利用球與內接正四棱柱的關系求解.

5.概率統(tǒng)計實際應用問題

概率統(tǒng)計試題的核心是考查“數據分析”素養(yǎng)，在高考中，概率統(tǒng)計問題注重情景設置，貼近生活，使學生在解題過程中認識到概率與統(tǒng)計知識在生產、生活中所起的作用.主要是以數學應用解答題的形式出現，是近年來高考考查實際應用的?？碱}型.

例5.下面給出了根據我國2012年-2018年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點圖和線性回歸方程的殘差圖(2012年-2018年的年份代碼x分別為1-7).

(Ⅰ)根據散點圖分析y與x之間的相關關系；

(Ⅲ)根據線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果.(精確到0.01)

解析：(Ⅰ)由散點圖可以看出，當x由小變大時，y也由小變大，從而y與x之間是正相關關系.

(Ⅲ)由殘差圖可以看出，殘差對應的點均勻地落在水平帶狀區(qū)域內，且寬度較窄，說明擬合效果較好.

點評：本題以統(tǒng)計的散點圖和線性回歸方程的殘差圖為背景，考查了線性回歸方程的求解和殘差圖中擬合效果的分析與應用.

五、教學感悟啟示

1.如何用所學的數學知識解決現實生產、生活中存在的問題，一直是數學學習的最高要求.高考試題中每年都會有專門的試題考查考生數學應用能力.在如今的大數據時代，整理數據、分析數據、進行決策和判斷是數學應用的大方向.因此，高考復習臨考階段的教學要增強和訓練應用數學的意識，一方面通過背景材料，指導學生進行觀察、比較、分析、綜合、抽象和推理，得出數學概念和規(guī)律；另一方面更重要的是指導學生能夠運用已有的知識將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型.

2.數學應用題的求解不同于一般的數學運算題，有人比喻它是數學中的小作文.因此，教學中指導學生求解高考數學應用題時要做到“有頭有尾”，把問題中的文字語言轉化為數學語言，引入變量與字母，畫出圖形，將數學建模的過程詳細地寫出來，建立數學模型后，要準確地求解，并注意計量單位的一致，最后對于所得數據不僅要思考或檢驗是否與實際吻合，而且要給出完整的答案.

莊子說：水之積也不厚，則其負大舟也無力.只要我們在最后的復習階段，踏踏實實，積極研究，主動應對，靜心思考，不斷反思，就一定能跨越高考“應用題”這道坎，實現解決高考數學難題的高遠目標！