探析給定晶胞中原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的書寫方法

陜西 葛秋萍 李歆瑞

晶胞作為構(gòu)成晶體的最小結(jié)構(gòu)單元，是研究晶體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，也是歷年高考試題中必不可少的內(nèi)容。近年來，試題中出現(xiàn)了對晶胞中原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的考查，作為晶胞的基本要素之一，雖然各個(gè)版本的《物質(zhì)結(jié)構(gòu)與性質(zhì)》教材中均未介紹該內(nèi)容，但在人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1教材中“空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示”章節(jié)對分?jǐn)?shù)坐標(biāo)作了專門介紹。鑒于此，這類考試題往往給出學(xué)生相關(guān)分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的信息，讓學(xué)生寫出晶胞中給定原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)，一方面考查學(xué)生遷移數(shù)學(xué)知識(shí)解決化學(xué)問題的能力，另一方面考查學(xué)生提取和應(yīng)用信息解決化學(xué)問題的能力，非常好地體現(xiàn)了《普通高中化學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》和《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》的要求。但由于晶體化合物空間結(jié)構(gòu)多種多樣，密堆積方式較為復(fù)雜，對學(xué)生的空間想象力、知識(shí)遷移能力要求較高，導(dǎo)致在有限的時(shí)間內(nèi)正確書寫給定晶胞中原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)成為考試的一個(gè)難點(diǎn)。針對這一現(xiàn)狀，筆者就如何書正確寫給定晶胞中原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)來談?wù)勛约旱目捶ǎ云跒楹罄m(xù)晶體結(jié)構(gòu)的復(fù)習(xí)提供一種更為有效的途徑。

一、認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)坐標(biāo)

圖1 分?jǐn)?shù)坐標(biāo)示意圖

二、書寫分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的方法

1.確定坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維坐標(biāo)系

由分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的概念可知，“確定坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維坐標(biāo)系”是書寫分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的前提。那么，如何來確定坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維坐標(biāo)系呢？

原則上，晶胞上的任一頂點(diǎn)均可作為坐標(biāo)原點(diǎn)來建立三維坐標(biāo)系。但通常情況下，我們選擇晶胞下底面左上角或左下角的頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，這兩種情況z軸方向相同，但x軸、y軸的方向發(fā)生變化，會(huì)隨著坐標(biāo)原點(diǎn)的移動(dòng)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。如圖2所示，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)從下底面的左上角頂點(diǎn)移動(dòng)到下底面的左下角頂點(diǎn)時(shí)，z軸向左下方平移且方向不變，x軸、y軸向左下方平移后要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；相反，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)從下底面的左下角頂點(diǎn)移動(dòng)到下底面的左上角頂點(diǎn)時(shí)，z軸向左上方平移且方向不變，x、y向左上方平移后要順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

圖2 坐標(biāo)原點(diǎn)位置變化圖

2.依據(jù)原子在晶胞中的位置，書寫其分?jǐn)?shù)坐標(biāo)

由分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的概念可知，除了建好三維坐標(biāo)系外，原子在晶胞中的具體位置是書寫分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的依據(jù)。那么如何依據(jù)原子的具體位置來合理書寫其分?jǐn)?shù)坐標(biāo)呢？

圖3 晶胞結(jié)構(gòu)示意圖

當(dāng)然，用同樣的方法可以書寫出任何給定晶胞中各原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)。

三、探析經(jīng)典試題

【解析】第一步：確定坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維坐標(biāo)系。本題明確給出了“以A為坐標(biāo)原點(diǎn)的三維坐標(biāo)系”，結(jié)合圖4給出的三維坐標(biāo)系，很快就能建立好Ge單質(zhì)晶胞的三維坐標(biāo)系如圖5所示。

圖5 Ge晶胞的三維坐標(biāo)系

【評(píng)析】本題實(shí)際上是對教材中金剛石結(jié)構(gòu)的遷移考查，但從實(shí)際答題情況來看，得分情況并不樂觀，這就說明學(xué)生沒有掌握好金剛石的結(jié)構(gòu)，同時(shí)也提醒教師在復(fù)習(xí)時(shí)一定要引導(dǎo)學(xué)生對教材上的晶胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行全方位的思考與理解，督促學(xué)生弄懂弄透教材上每一種常見晶體的結(jié)構(gòu)。

【練習(xí)1】(1)試寫出晶胞內(nèi)部另外三個(gè)Ge原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)。

(2)若將晶胞下底面左上角頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，試寫出晶胞中所有原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)。

圖6 Ge晶胞的三維坐標(biāo)系

【例2】(2019·全國卷Ⅱ·35節(jié)選)(4)一種四方結(jié)構(gòu)的超導(dǎo)化合物的晶胞如圖7所示,晶胞中Sm和As原子的投影位置如圖8所示。

圖7

圖8

【解析】第一步：確定坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維坐標(biāo)系。本題并未給出坐標(biāo)原點(diǎn)，這就要求我們先根據(jù)題干給出的信息確定坐標(biāo)原點(diǎn)，由圖7中的三維坐標(biāo)系模型和圖8中的平面坐標(biāo)系模型，我們不難看出坐標(biāo)原點(diǎn)應(yīng)該為晶胞下底面左上角頂點(diǎn)，這樣很快就能建立好三維坐標(biāo)系如圖9所示。

圖9 三維坐標(biāo)系

【評(píng)析】本題實(shí)際上是對晶胞結(jié)構(gòu)分析能力的考查，但從實(shí)際答題情況來看，學(xué)生錯(cuò)得最多的就是未理解題干中的圖示信息，自己確定了新的坐標(biāo)原點(diǎn)，建立了新的坐標(biāo)系框架，這就提醒教師在復(fù)習(xí)時(shí)一定要培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力、遷移應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決化學(xué)問題的能力。