四維超混沌系統(tǒng)及其在數(shù)據(jù)加密中的應(yīng)用

歐國成，劉小園

(羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，羅定 527200)

當(dāng)今社會信息安全是影響國家安全的一個重要因素，關(guān)系到國家金融環(huán)境、意識形態(tài)、政治氛圍等各個方面，是社會穩(wěn)定的可靠保障，而數(shù)據(jù)加密技術(shù)是保障信息安全的有效措施?，F(xiàn)代數(shù)據(jù)加密技術(shù)主要有對稱加密和非對稱加密2種，在實際應(yīng)用中，非對稱加密主要用于認證和密鑰管理等，對稱加密主要用于大量數(shù)據(jù)的加密，其中AES算法是對稱加密中最流行的算法之一[1]。

混沌(Chaos)是一種在確定性動力學(xué)系統(tǒng)中表現(xiàn)出的不可預(yù)測、類似隨機的運動形式。混沌具有遍歷性、不可預(yù)測性、類隨機性、對初值極端敏感性等特性，使其在密碼學(xué)和信息安全領(lǐng)域得到了極大的重視。與混沌系統(tǒng)相比，超混沌(Hyperchaotic)系統(tǒng)具有2個或2個以上的正李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)，具有更復(fù)雜的動力學(xué)特性，在信息安全領(lǐng)域中具有更高的實用價值[2]。

近年來，學(xué)者們針對混沌數(shù)據(jù)加密提出了許多方案。林振榮等[3]提出一種基于超混沌序列和位平面置亂的圖像加密方法，增大了密鑰空間，提高了圖像加密的安全性；Khadijeh等[4]提出一種超混沌圖像加密算法，算法魯棒性好但加密速度不夠理想；劉海峰等[5]設(shè)計了一種基于超混沌與圓錐曲線的混合加密算法，提高了算法安全性，但混合加密算法要比單個加密算法的執(zhí)行效率低；溫賀平等[6]提出一種基于Hadoop的超混沌加密算法，結(jié)合Hadoop平臺的MapReduce并行編程模型，設(shè)計兼具較高執(zhí)行效率和安全性的密碼算法，但算法運行環(huán)境受到了限制；韓雪娟等[7]將圖像分塊置亂和整體行列置亂相結(jié)合，在擴散的過程中通過改進的超混沌產(chǎn)生更具有偽隨機性的密鑰流進行多次加密，解決了密文容易破解的問題；楊丹等[8]提出一種基于超混沌和分塊操作的快速圖像加密算法，通過建立密鑰和明文的關(guān)聯(lián)，提高密鑰敏感性；王麗娟等[9]提出了一種基于動態(tài)參數(shù)控制的混沌系統(tǒng)圖像加密算法方案，解決了混沌系統(tǒng)隨機性不高、結(jié)構(gòu)簡單、具有周期性等問題。

現(xiàn)有的混沌加密方案大多用于圖像加密或者運行于分布式平臺，應(yīng)用于文本數(shù)據(jù)加密的方案極少。針對以上問題，本文利用超混沌系統(tǒng)復(fù)雜的動力學(xué)特性，設(shè)計一種密鑰空間大、密鑰敏感性好、加解密效率高的超混沌數(shù)據(jù)加密算法，用于保障數(shù)據(jù)安全。

1 四維超混沌系統(tǒng)

現(xiàn)有的超混沌系統(tǒng)大多數(shù)是在三維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過增加一個自變量，并增加一個微分方程構(gòu)造而成[10]。張莉等[11]構(gòu)造了一個具有四翼超混沌吸引子的非線性系統(tǒng)，通過對Poincaré截面、吸引子和Lyapunov指數(shù)等分析揭示新系統(tǒng)中超混沌吸引子的存在；扶坤榮[12]基于三維增廣Lü系統(tǒng)，構(gòu)建了一個四維耗散超混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中：x、y、z、w為系統(tǒng)的4個狀態(tài)變量；a、b、c、d為系統(tǒng)的控制參數(shù)。

2 超混沌系統(tǒng)特性分析

當(dāng)系統(tǒng)(1)的控制參數(shù)[a，b，c，d]=[6，4，8，2]時，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，分別對系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)、Lyapunov維數(shù)、超混沌吸引子相圖、時間響應(yīng)圖、初值敏感性等特性進行分析。

2.1 Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)用于表示相空間相鄰軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率，正的Lyapunov指數(shù)是判斷系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)的必要條件。非線性系統(tǒng)只要有1個大于零的Lyapunov指數(shù)，就會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。若系統(tǒng)具有1個以上正的Lyapunov指數(shù)，則稱為超混沌系統(tǒng)。

當(dāng)系統(tǒng)(1)的控制參數(shù)[a，b，c，d]=[6，4，8，2]，4個狀態(tài)變量的初始值[x0，y0，z0，w0]=[1，2，3，4]時，計算出4個Lyapunov指數(shù)分別為：LE1=1.788，LE2=0.113，LE3=0，LE4=-37.773，此時，系統(tǒng)(1)處于超混沌狀態(tài)。Lyapunov維數(shù)(DL)反映了混沌吸引子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和幾何特征，按式(2)計算，可得DL=3.05。

(2)

2.2 超混沌吸引子

采用龍格-庫塔法對式(1)進行微分方程求解，并利用MATLAB軟件進行數(shù)值仿真，當(dāng)控制參數(shù)[a，b，c，d]=[6，4，8，2]，變量初值[x0，y0，z0，w0]=[1，2，3，4]時，系統(tǒng)存在超混沌吸引子，如圖1所示。

狀態(tài)變量x、y的時間響應(yīng)圖如圖2所示，可見變量在時域上是連續(xù)的、具有不可預(yù)測性和非周期性等特點，適合用于數(shù)據(jù)加密。

2.3 初值敏感性

保持系統(tǒng)(1)的控制參數(shù)[a，b，c，d]=[6，4，8，2]不變，把狀態(tài)變量x的初始值x0由1變?yōu)?.000 001，其余變量的初始值保持不變，得到x的時域波形如圖3所示。

盡管狀態(tài)變量x的初始值改變了0.000 1%，但x很快就發(fā)生了巨大的偏差，可見系統(tǒng)(1)對初始條件具有極端敏感性。初值敏感性是混沌系統(tǒng)的最大特點，在數(shù)據(jù)加密中，把系統(tǒng)的初始值作為加密密鑰，使混沌加密具有良好的保密性。

3 超混沌分組數(shù)據(jù)加密

當(dāng)系統(tǒng)(1)處于超混沌狀態(tài)時，所產(chǎn)生的混沌序列具有不可預(yù)測性、非周期性、對初始條件極端敏感性，適合用于數(shù)據(jù)加密。下面介紹一種超混沌分組數(shù)據(jù)加密方案，如圖4所示，具體步驟如下：

1) 選取密鑰參數(shù)。保持系統(tǒng)(1)的控制參數(shù)不變，使系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，以系統(tǒng)4個狀態(tài)變量的初始值[x0，y0，z0，w0]為密鑰。

2) 產(chǎn)生超混沌序列。采用四階龍格-庫塔法對超混沌系統(tǒng)進行離散化處理，將迭代步長設(shè)置為0.002，為增加隨機性，舍去前面1 000次迭代的值，得到4個超混沌序列Kx、Ky、Kz、Kw。

3) 生成加密密鑰。在分組數(shù)據(jù)加密中，數(shù)據(jù)分組長度由分組模式?jīng)Q定，每組數(shù)據(jù)需要進行2次加密，加密密鑰長度和數(shù)據(jù)分組長度一致。通過把Kx、Ky、Kz、Kw分別進行小數(shù)點移位、取模、取整運算得到4個取值范圍為[0，255]的偽隨機序列，處理方法如下：

(3)

在式(3)中，round為四舍五入取整函數(shù)，mod為取模函數(shù)，floor為向下取整函數(shù)，經(jīng)過上述處理后得到的混沌序列，取值范圍為[0，255]，適合用于字節(jié)加密運算。

為了打亂4個狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)性，進一步提高密鑰的安全性，把Kx、Ky、Kz、Kw進行異或運算，得到加密密鑰key1、key2，具體操作如下：

(4)

式中:⊕表示按位異或運算；所得的key1、key2分別為2輪加密的密鑰。

4) 明文數(shù)據(jù)分組加密。先把明文數(shù)據(jù)M按照分組模式進行數(shù)據(jù)分組，每組數(shù)據(jù)依次進行2輪加密操作，最后得到密文C。數(shù)據(jù)分組長度以及密鑰長度由分組模式?jīng)Q定，在本方案中，分組模式有4種，分別為64字節(jié)、128字節(jié)、256字節(jié)、512字節(jié)。數(shù)據(jù)加密效率與分組模式有關(guān)，下文會進行詳細對比。

5) 解密過程。超混沌分組數(shù)據(jù)加密方案是一種對稱加密算法，解密是加密的逆過程。當(dāng)解密密鑰和加密密鑰一致時，密文C經(jīng)過解密1、解密2兩輪解密，可得到原始明文M。由于超混沌系統(tǒng)對初始條件具有極端敏感性，解密過程的密鑰參數(shù)必須和加密過程的密鑰參數(shù)一致，才能得到相同的密鑰，否則無法正確解密出原始明文。

4 實驗結(jié)果分析

按照本文提出的超混沌分組數(shù)據(jù)加密方案，基于MATLAB圖形用戶界面(GUI)功能開發(fā)了超混沌數(shù)據(jù)加密系統(tǒng)，如圖5所示。用戶可以通過設(shè)置四維超混沌系統(tǒng)初始值來產(chǎn)生超混沌序列，進而生成加密密鑰；可以對分組數(shù)據(jù)長度進行設(shè)置，有4種模式可以選擇；可以手動輸入明文數(shù)據(jù)，也可以通過文件形式導(dǎo)入待加密的數(shù)據(jù)；通過點擊“Encrypt”按鈕對明文進行加密，點擊“Decrypt”按鈕對密文進行解密，點擊“保存密文”按鈕把密文保存為文件輸出。系統(tǒng)能夠直觀地顯示加密前的明文和加密后的密文，顯示加密所用時間和解密所用時間。

4.1 密鑰空間分析

本算法以超混沌系統(tǒng)的4個狀態(tài)變量的初始值{x0，y0，z0，w0}為密鑰，x0、y0、z0、w0均為雙精度類型，精度為10-15，可計算出本算法的密鑰空間為1015×4=1060≈2199，即密鑰長度為199 bit。本算法的密鑰長度與其他經(jīng)典對稱加密算法的密鑰長度對比情況如表1所示。

表1 幾種對稱加密算法密鑰空間對比Tab.1 Comparison of key spaces of several symmetric encryption algorithms

從表1可以看出，本算法的密鑰長度優(yōu)于其他幾種經(jīng)典對稱加密算法，僅次于AES-256算法。若把超混沌系統(tǒng)的4個控制參數(shù)a、b、c、d也作為密鑰參數(shù)，算法的密鑰長度可進一步變長，密鑰空間可進一步擴大。

要想對此算法進行暴力破解，假設(shè)每秒鐘嘗試10億億次不同的組合(我國的神威·太湖之光超級計算機的峰值性能為12.5億億次/s，持續(xù)性能為9.3億億次/s)，暴力破解需要用1060/(10×108×108×86400×365)≈3.17×1035年(太陽壽命約為4.57×109年)，可見本算法具有足夠大的密鑰空間，足以抵抗現(xiàn)有運算速度的暴力破解攻擊。

4.2 密鑰敏感性分析

首先把密鑰參數(shù)設(shè)置為x0=1、y0=1、z0=1、w0=1，對明文數(shù)據(jù)M執(zhí)行加密操作，得到相應(yīng)的密文數(shù)據(jù)C，然后把密鑰參數(shù)x0修改為1.000 000 001，其他3個密鑰參數(shù)保持不變，對密文數(shù)據(jù)C執(zhí)行解密操作，結(jié)果由于解密密鑰與加密密鑰不一致，導(dǎo)致解密失敗，如圖6所示。

可見，本算法具有良好的密鑰敏感性，盡管密鑰參數(shù)變化很小，卻無法通過解密得到正確的明文數(shù)據(jù)。

4.3 加解密效率分析

本算法具有4種分組數(shù)據(jù)長度可以選擇，分別是64字節(jié)、128字節(jié)、256字節(jié)、512字節(jié)，分組數(shù)據(jù)長度會影響數(shù)據(jù)加解密的速度。下面以100、200、400 kB 3組明文數(shù)據(jù)為例，分別計算不同分組長度的加密時間，對比情況如圖7所示。可見，分組數(shù)據(jù)長度越大，加密效率越高。

以100 kB明文數(shù)據(jù)為例，將本算法與高級加密標(biāo)準(zhǔn)(AES)算法的加解密效率進行對比。AES是對稱密鑰加密中最流行的算法之一，有3種不同的加密模式，分別為AES-128、AES-192、AES-256，為方便闡述，把本算法的4種分組模式分別記為HEA-64、HEA-128、HEA-256、HEA-512。為保證實驗數(shù)據(jù)的公平性，在同一臺計算機上分別利用AES算法和本文算法對同一份明文數(shù)據(jù)樣本進行加密、解密操作，分別記錄所需的加密時間和解密時間，如表2所示。

表2 加解密效率對比Tab.2 Comparison of encryption and decryption efficiency

從表2可見，本算法的加解密效率遠遠高于AES算法的加解密效率。其中原因有2個:一是本算法的數(shù)據(jù)分組長度比AES算法所固定的16字節(jié)長；二是本算法的加密過程只需要進行2輪加密，而AES-128需要進行10輪迭代加密、AES-192需要進行12輪迭代加密、AES-256需要進行14輪迭代加密。

5 結(jié)論

通過對四維超混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)特性進行研究，利用超混沌系統(tǒng)的不可預(yù)測性、非周期性、對初始條件的極端敏感性等特點，設(shè)計了一種超混沌分組數(shù)據(jù)加密方法。實驗表明，該算法具有足夠大的密鑰空間，可抵御暴力破解攻擊，具有良好的密鑰敏感性、加解密效率高等特點，適合用于大量數(shù)據(jù)的加密。