基于FGM函數(shù)的不同貯備部件下兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)劣分析

梁葉子

(陸軍步兵學(xué)院演訓(xùn)中心，江西 南昌330103)

在實(shí)際的系統(tǒng)工程中，一些設(shè)備對于系統(tǒng)的可靠性要求較高，為了提高系統(tǒng)的可靠度，往往會通過對失效率較高的部件添加貯備部件的方式來提升整體系統(tǒng)的可靠度。對系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行分析時，往往假設(shè)系統(tǒng)部件互相獨(dú)立[1-4]。在實(shí)際的系統(tǒng)工程中，系統(tǒng)是一個整體，系統(tǒng)中的每個部件之間相互影響，彼此相依，copula函數(shù)[5-10]可用于分析相依系統(tǒng)的可靠性，其中FGM copula函數(shù)具有很好的性質(zhì)，用途較廣。孫永波[11]研究了基于FGM copula不同類型的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的可靠性，梁葉子[12]研究了基于FGM copula函數(shù)下帶1個貯備部件的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)如何進(jìn)行優(yōu)化。本文基于FGM copula函數(shù)對不同貯備類型下的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行分析，提出了用可靠度/成本作為衡量系統(tǒng)優(yōu)劣指標(biāo)，系統(tǒng)分析了不同貯備類型下的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)劣。

1 FGM copula函數(shù)模型

Sklar定理[13]對于隨機(jī)變量X=(X1,X2，…，Xn)，假設(shè)F是n維聯(lián)合分布函數(shù)，對應(yīng)的邊緣累計(jì)分布函數(shù)為FX1，F(xiàn)X2，…，F(xiàn)Xn，則存在copula函數(shù)C，對?x=(x1,x2，…，xn)∈Rn，有如下等式成立：

F(x1，x2，…，xn)=C(FX1(t),FX2(t)，…，F(xiàn)Xn(t))

對于FGM copula函數(shù)，若邊緣分布函數(shù)FXi,(i=1,2，…，n)連續(xù)，則copula函數(shù)唯一。

此時每個copula是絕對連續(xù)的，c(u)為copula函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)：

其中FGM二維copula函數(shù)族：

C(u,v)=uv+θuv(1-u)(1-v),θ∈[-1,1]

其密度函數(shù)為：

c(u,v)=1+θ(1-2u)(1-2v)

FGM三維copula函數(shù)族：

C(u,v,w)=uvw[1+θ1(1-u)(1-v)+
θ2(1-u)(1-w)+θ3(1-v)(1-w)+
θ4(1-u)(1-v)(1-w)]

2 帶1個冷貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)可靠性

系統(tǒng)由部件1，1′，2三部件組成，其中1′是1的冷貯備部件，部件1、2串聯(lián)，系統(tǒng)可靠性框圖如圖1所示。

模型假設(shè)：

3) 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠。

4) 系統(tǒng)在t=0 時刻是完美的。則部件 FGM copula相依下帶1個冷貯備的系統(tǒng)壽命：

用RC(t)部件FGM copula相依下帶1個冷貯備的系統(tǒng)可靠度：

其中

求得部件相依系統(tǒng)可靠度：

RC(t)=1-[1+(3θ1-λ1θ1t-λ1t-1)e-λ1t-
(2θ1λ1t+3θ1)e-2λ1t]-[1-e-λ2t]+[1-e-λ2t]×
[1+(3θ1-λ1θ1t-λ1t-1)e-λ1t-(2θ1λ1t+
3θ1)e-2λ1t]+θ1[1-e-λ2t][1+(3θ1-λ1θ1t-
λ1t-1)e-λ1t-(2θ1λ1t+3θ1)e-2λ1t][(2θ1λ1t+
3θ1)e-2λ1t-(3θ1-λ1θ1t-λ1t-1)e-λ1t]e-λ2t

3 帶1個溫貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)可靠性

系統(tǒng)由部件1、2、1′三部件組成，其中部件1′是部件1的溫貯備部件，部件1、2串聯(lián)，系統(tǒng)可靠性框圖如圖2所示。

模型假設(shè)：

3) 其余假設(shè)同第2小節(jié)中的模型假設(shè)。

則部件FGM copula相依下帶1個溫貯備的系統(tǒng)壽命：

用RW(t)部件FGM copula相依下帶1個冷貯備的系統(tǒng)可靠度：令

則：

其中

求得部件FGM copula相依下帶1個溫貯備的系統(tǒng)可靠度：

4 帶1個熱貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)可靠性

系統(tǒng)由部件1，2，1′三部件組成，其中1′是1的熱貯備部件，1,2串聯(lián)，系統(tǒng)可靠性框圖如圖3所示。

模型假設(shè)：

3) 其余假設(shè)同第2小節(jié)中的模型假設(shè)。

則部件FGM copula相依下帶1個熱貯備的系統(tǒng)壽命：

用RH(t)表示帶1個熱貯備部件的系統(tǒng)可靠度。

則：

其中：

C(FX1(t),FY1(t),FX2(t))=
FX1(t)FY1(t)FX2(t)[1+θ1(1-FX1(t))(1-
FY1(t))+θ2(1-FX1(t))×
(1-FX2(t))+θ3(1-FY1(t))(1-FX2(t))+
θ4(1-FX1(t))(1-FX2(t))(1-FX2(t))]=
(1-e-λ1t)2e-λ2t[1+θ1e-2λ1t+θ2e-λ1te-λ2t+
θ3e-λ1te-λ2t+θ4e-2λ1te-λ2t]

求得系統(tǒng)可靠度：

RH(t)=1-(1-e-λ2t)-(1-e-λ1t)2(1+
θ1e-2λ1t)+(1-e-λ1t)2e-λ2t[1+θ1e-2λ1t+
θ2e-λ1te-λ2t+θ3e-λ1te-λ2t+θ4e-2λ1te-λ2t]

5 不同貯備部件下的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)優(yōu)劣分析

可靠性固然是評判一個系統(tǒng)好壞的一個很重要的指標(biāo)，但是在實(shí)際應(yīng)用中系統(tǒng)的好壞受到很多因素的影響，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)其中可靠性和成本是我們評判一個系統(tǒng)優(yōu)劣的最重要的兩個指標(biāo)。在這里用可靠度/成本即單位成本下的可靠度，作為評判系統(tǒng)優(yōu)劣的指標(biāo)。

帶有1個冷貯備兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的成本表示為PC，帶有1個溫貯備兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的成本表示為PW，帶有1個熱貯備兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的成本表示為PH,則有：

PH=P1+P1+P2

上述式子分別是帶1個冷貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的單位成本下的可靠度、帶1個溫貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的單位成本下的可靠度以及帶1個熱貯備的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的單位成本下的可靠度，在實(shí)際的系統(tǒng)運(yùn)用中，可根據(jù)實(shí)際情況帶入相應(yīng)的式子來評判系統(tǒng)的優(yōu)劣。

6 數(shù)值算例

單位成本下的可靠度隨時間變化曲線如圖4所示。

可以得出，在一組特定參數(shù)下，假設(shè)兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的使用壽命為10 000 h，那么對這個系統(tǒng)增加溫貯備或者熱貯備比增加冷貯備的性價(jià)比更高。如果對這個系統(tǒng)的使用壽命要求不高，在7 595 h之前，那么可以選擇對該系統(tǒng)增加溫貯備。如果系統(tǒng)的使用壽命要求比較高，選擇對該系統(tǒng)增加熱貯備性價(jià)比更高。

7 結(jié)論

本文分析了3種不同貯備類型下的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)劣。推導(dǎo)出了不同貯備類型下兩部件串聯(lián)FGM相依系統(tǒng)的可靠度以及對應(yīng)系統(tǒng)的性價(jià)比。結(jié)合實(shí)例，分析并求出不同壽命要求下的性價(jià)比更高的貯備系統(tǒng)。研究結(jié)果為現(xiàn)實(shí)串聯(lián)系統(tǒng)如何選擇貯備部件提供了理論參考。但是對于一些構(gòu)造復(fù)雜的串并聯(lián)系統(tǒng)如何添加貯備部件才能使得系統(tǒng)的性價(jià)比更高，有待進(jìn)一步的研究。