基于XFEM的孔洞對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑影響分析

涂文鋒，趙士祥

(南昌大學(xué)資源環(huán)境與化工學(xué)院，江西 南昌 330031)

工程結(jié)構(gòu)在制造過程中可能存在孔洞、夾雜等制造缺陷，此外基于機(jī)械緊固的需要，有時(shí)也要在機(jī)械構(gòu)件上開孔洞，這些孔洞一定程度上會(huì)降低結(jié)構(gòu)的承載能力，并對(duì)裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生擾動(dòng)作用。在Ⅰ型加載條件下，處于擾動(dòng)應(yīng)力下的裂紋并不會(huì)沿垂直于Ⅰ型加載方向擴(kuò)展，而是表現(xiàn)出復(fù)合型裂紋擴(kuò)展的特性。準(zhǔn)確的評(píng)估孔洞對(duì)于裂紋路徑的影響，是機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性研究的一個(gè)重要部分。

LUA等[1]使用混合邊界積分的方法研究疲勞裂紋與孔洞、變形夾雜等微缺陷的彈性相互作用，采用包含復(fù)合型強(qiáng)度因子的富集單元表征動(dòng)態(tài)裂紋尖端的奇異性以及孔隙夾雜等缺陷對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的影響。Sukumar等[2]將數(shù)值方法與XFEM相結(jié)合，提出了一種無網(wǎng)格化的孔洞與材料夾雜的建模方法，對(duì)含孔洞、夾雜的疲勞裂紋擴(kuò)展問題進(jìn)行了研究。Shi等[3]采用了能動(dòng)態(tài)更新裂紋前沿水平集數(shù)的快速計(jì)算方法，對(duì)近尖端塑性區(qū)歷史狀態(tài)變量進(jìn)行有效積分，考慮裂紋閉合效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了含孔洞的三維模型疲勞壽命預(yù)測(cè)。Ma等[4]通過開發(fā)的Abaqus子程序，考慮殘余應(yīng)力對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響，將殘余應(yīng)力的分布情況輸入有限元模型中，對(duì)含有偏位孔的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展路徑模擬，驗(yàn)證了該程序的有效性，并評(píng)估最大切向應(yīng)力準(zhǔn)則預(yù)測(cè)裂紋偏離行為的準(zhǔn)確性。Kumar等[5]采用虛擬節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展有限元法來模擬彎曲裂紋的擴(kuò)展，用該方法實(shí)現(xiàn)了含孔洞平板試樣裂紋擴(kuò)展的模擬。高欣等[6]將一致性高階無網(wǎng)格法拓展到非連續(xù)問題的數(shù)值模擬中，基于虛擬節(jié)點(diǎn)法描述間斷位移場(chǎng)，并用該方法模擬含有3個(gè)孔洞的梁試樣裂紋擴(kuò)展路徑。Boulenouar等[7]采用最大周向應(yīng)力與應(yīng)變能密度準(zhǔn)則模擬了含有孔洞模型的疲勞裂紋擴(kuò)展路徑，結(jié)果表明2種準(zhǔn)則所模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很好的吻合。近些年研究人員通過引入富集函數(shù)來模擬經(jīng)典有限元法中的界面不連續(xù)，用于研究孔洞對(duì)動(dòng)載荷作用下裂紋擴(kuò)展路徑的干涉作用[8-10]。此外孔洞尺寸和位置對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子也有重要影響[11]，Zheng等[12]利用水平集數(shù)法追蹤裂紋，該方法無需對(duì)有限元網(wǎng)格重新劃分，實(shí)現(xiàn)了帶孔平板準(zhǔn)靜態(tài)下裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算。王建明等[13]采用位移外推法并結(jié)合最小二乘法擬合得到含孔洞試樣裂紋擴(kuò)展過程中的應(yīng)力強(qiáng)度因子。徐華等[14]采用圓形奇異區(qū)廣義參數(shù)Williams單元，分析了孔洞位置和幾何參數(shù)對(duì)Ⅰ～Ⅱ混合型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。汪必升等[15]采用相互積分的方法，研究了非標(biāo)帶孔試樣裂紋擴(kuò)展過程中應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律。

雖然現(xiàn)有的文獻(xiàn)已經(jīng)證明孔洞對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑有干涉，但是裂紋尖端的距離、孔洞的尺寸以及孔洞與初始裂紋尖端的夾角對(duì)于裂紋擴(kuò)展路徑偏轉(zhuǎn)程度的影響很少定量的用某個(gè)參數(shù)來表示，并且含有孔洞試樣的裂紋擴(kuò)展路徑偏轉(zhuǎn)程度也很少與應(yīng)力強(qiáng)度因子聯(lián)系起來。本文提出撓度影響系數(shù)的概念來定量表示上述參數(shù)對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑偏轉(zhuǎn)程度的影響，此外通過計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子建立撓度影響系數(shù)與載荷復(fù)合比之間的聯(lián)系。

1 擴(kuò)展有限元法與J積分理論

1.1 水平集函數(shù)

通常，在擴(kuò)展有限元中用水平集函數(shù)來檢測(cè)不連續(xù)邊界。根據(jù)文獻(xiàn)[2]，孔洞可視為不連續(xù)邊界，孔洞邊界上水平集值為0，包含孔洞邊界的單元將用富集函數(shù)來描述。為了計(jì)算水平集函數(shù)，定義一個(gè)不連續(xù)域Ω，將指定區(qū)域分為2個(gè)不重疊的子域Ω+和Ω-，Г是孔洞的外形輪廓，定義xГ為孔洞外形輪廓邊界上點(diǎn)，水平集函數(shù)Ф(x)可以表達(dá)為：

(1)

如圖1所示，在Ω+這個(gè)區(qū)域內(nèi)，水平集函數(shù)Ф(x)>0，在Ω-這個(gè)區(qū)域內(nèi)，水平集函數(shù)Ф(x)<0，孔洞的外形輪廓Г上，Ф(x)=0。

1.2 擴(kuò)展有限元離散形式

Sukumar等[2]提出了孔洞和裂紋的位移矢量函數(shù)，結(jié)合水平集法，通過添加附加位移場(chǎng)來模擬裂紋和孔洞這類不連續(xù)問題，圖2為具有節(jié)點(diǎn)子集的離散域，位移函數(shù)Uh(x)：

(2)

式中：ui為有限元解的連續(xù)部分相關(guān)節(jié)點(diǎn)位移矢量；ai、bi、ci為富集單元節(jié)點(diǎn)自由度；nc為被裂紋完全分割的富集單元節(jié)點(diǎn)；nt為裂紋尖端富集單元節(jié)點(diǎn)；nh為孔洞周圍的富集單元節(jié)點(diǎn)；Ni(x)為常規(guī)有限元的形函數(shù)形式；H(x)和F(x)分別為裂紋和孔洞的階躍函數(shù)形式。

(3)

(4)

Φα是裂紋尖端的漸進(jìn)函數(shù)，對(duì)于被裂紋分割的單元給出了漸近位移函數(shù)：

(5)

1.3 J積分與應(yīng)力強(qiáng)度因子

J積分是建立在能量平衡方法基礎(chǔ)上的一個(gè)斷裂力學(xué)參數(shù)，可用于線性和非線性材料響應(yīng)的情況分析，能夠?qū)⒘鸭y擴(kuò)展過程中能量釋放速率G與裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)的強(qiáng)弱聯(lián)系起來。如果材料的響應(yīng)是線性的，可以建立J積分、能量釋放速率G與應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系。J的輪廓積分定義為:

(6)

圖3為裂紋尖端逆時(shí)針積分回路，Г是圍繞裂紋尖端的任意輪廓，W是應(yīng)變能密度，T是由外法線定義的牽引向量，n是法向單位矢量，u是位移向量。

Abaqus從6.10版本開始提供了一種基于Shih等[16]提出的虛擬裂紋擴(kuò)展和區(qū)域積分法的J積分評(píng)估程序。如圖4所示，裂紋尖端采用6節(jié)點(diǎn)CPS6

三角形網(wǎng)格和8節(jié)點(diǎn)CPS8四邊形網(wǎng)格，根據(jù)裂紋尖端周圍網(wǎng)格單元形成閉合回路來定義積分區(qū)域。對(duì)于復(fù)合型裂紋，使用相互積分的方法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，從J積分中提取SIFs的實(shí)質(zhì)在于確定G與SIFs的關(guān)系，即：

(7)

其中E′=E、E′=E/(1-v2)分別對(duì)應(yīng)平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)。E、μ、v分別為楊氏模量、剪切模量和泊松比。

2 有限元模型及裂紋擴(kuò)展模擬驗(yàn)證

如圖5(a)所示，采用裂紋尖端附近含有圓形偏轉(zhuǎn)孔洞的三維改進(jìn)CT試樣模型，試樣厚度為3.8 mm，裂紋尖端與孔洞的距離為L(zhǎng)，偏轉(zhuǎn)孔中心與裂紋尖端的連線與過裂紋尖端X軸所成的夾角為θ，孔洞半徑為R，上下加載孔的中心連線與初始裂紋尖端的距離a0=10.86 mm，以裂紋尖端為坐標(biāo)系原點(diǎn)。材料的楊氏模量E=220 GPa，泊松比為v=0.31，在HyperMesh中完成CT試樣主體部分的網(wǎng)格劃分，裂紋擴(kuò)展區(qū)域采用1:2過度的細(xì)化網(wǎng)格，近似尺寸為0.2 mm，長(zhǎng)寬比為1。將夾具以離散剛體的方式建模，夾具表面與加載孔內(nèi)表面分別為主從接觸面，摩擦系數(shù)為0.01，“Normal Behavior”特性欄內(nèi)選擇“Hard Contact”硬接觸。在上夾具上施加Pmax=4 kN，應(yīng)力比R=0.1的常幅加載，加載方向豎直向上，下端夾具固定，約束夾具與試樣的軸向位移為0。

為了驗(yàn)證擴(kuò)展有限元法模擬裂紋擴(kuò)展路徑的準(zhǔn)確性，選取文獻(xiàn)[17]中如圖5(b)所示的含3個(gè)加載孔的CTS試樣在Abaqus進(jìn)行建模，采用分步在加載的方式分別進(jìn)行Ⅰ型、Ⅰ+Ⅱ型、Ⅰ型常幅加載，加載順序及方向在圖6(a)中表示。將模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，在Ⅰ型加載條件下，由于第3個(gè)加載孔的存在對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的對(duì)稱性產(chǎn)生干擾，模擬結(jié)果的裂紋擴(kuò)展路徑逐漸偏轉(zhuǎn)，Ⅰ+Ⅱ型加載條件下，裂紋擴(kuò)展路徑逐漸偏轉(zhuǎn)至基本垂直于加載方向，第3步Ⅰ型加載條件下裂紋有逐漸轉(zhuǎn)化為Ⅰ型裂紋的趨勢(shì)。模擬的裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相近，驗(yàn)證了擴(kuò)展有限元法的有效性。

3 孔洞對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的影響

3.1 孔洞與初始裂紋尖端的夾角θ對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的影響

建立如圖5(a)所示有限元模型，裂紋尖端與孔洞的距離L=6 mm，孔洞半徑R=3 mm，θ在0°到90°之間變化，為了定量表示孔洞對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑偏轉(zhuǎn)程度的影響，引入撓度影響系數(shù)C:

(8)

撓度影響系數(shù)定義為裂紋侵入點(diǎn)P(X′，Y′)的縱坐標(biāo)絕對(duì)值與橫坐標(biāo)比值，在同組有限元數(shù)據(jù)中如果出現(xiàn)多個(gè)裂紋侵入結(jié)果，以侵入點(diǎn)橫坐標(biāo)最小值X′作為參照，未發(fā)生侵入的裂紋撓度影響系數(shù)的計(jì)算也以橫坐標(biāo)最小值X′作為參照。以第1組數(shù)據(jù)為例，當(dāng)θ=0°時(shí)，侵入點(diǎn)橫坐標(biāo)為本組數(shù)據(jù)中的最小值X′=6 mm，求解本組有限元結(jié)果橫坐標(biāo)X′=6 mm對(duì)應(yīng)的裂紋擴(kuò)展路徑縱坐標(biāo)Y′，計(jì)算不同θ角下對(duì)應(yīng)的撓度影響系數(shù)C。

第1組數(shù)據(jù)中裂紋路徑分為侵入和不侵入孔洞2種情況，為了方便觀察，將這2種情況下的路徑分別在圖8(a)、(b)中表示。當(dāng)θ=0°時(shí)，由于孔洞位置關(guān)于X軸對(duì)稱，因此孔洞的存在并沒有改變裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的對(duì)稱性，裂紋垂直于加載方向擴(kuò)展直至侵入孔洞。θ≠0°時(shí)，孔洞存在對(duì)裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)的對(duì)稱性有擾動(dòng)作用，裂紋并非沿著垂直于Ⅰ型加載方向擴(kuò)展，裂紋擴(kuò)展路徑先逐漸偏離X軸，一部分裂紋隨后侵入孔洞，另一部分裂紋由于不足以被孔洞“吸引”侵入，在偏離X軸擴(kuò)展一段長(zhǎng)度后，裂紋尖端逐漸遠(yuǎn)離孔洞，孔洞對(duì)于裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的干擾能力逐漸降低，此后裂紋擴(kuò)展路徑逐漸向X軸靠攏，并且有轉(zhuǎn)化為Ⅰ型裂紋的趨勢(shì)。

θ增加到90°的過程中撓度影響系數(shù)呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)，當(dāng)θ=45°時(shí)撓度影響系數(shù)取得最大值，當(dāng)θ=0°時(shí)撓度影響系數(shù)為0，也就是孔洞對(duì)裂紋路徑?jīng)]有干涉作用。

3.2 孔洞與裂紋尖端的距離L對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的影響

本組有限元模型固定孔洞半徑、孔洞與初始裂紋尖端的夾角θ不變，其中R=2 mm，θ=45°，L在4～7 mm之間，每間隔0.5 mm建立一個(gè)模型，L在8～12 mm之間，每間隔2 mm建立一個(gè)模型。

L從4 mm增加到6 mm，對(duì)應(yīng)的5條裂紋擴(kuò)展路徑如圖10(a)所示，當(dāng)L=4、4.5 mm時(shí)孔洞距離初始裂紋尖端的距離較近，裂紋都侵入了孔洞。L≥5 mm時(shí)，孔洞對(duì)于裂紋路徑的“吸引”能力不足以讓裂紋發(fā)生侵入。如圖10(b)所示，L=12 mm時(shí)，裂紋尖端逐漸接近孔洞時(shí)，孔洞對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生一定干涉，但由于孔洞半徑較小且與裂紋尖的距離較遠(yuǎn)，干涉作用不足以使裂紋路徑發(fā)生明顯變化，裂紋沿垂直于Ⅰ型加載方向擴(kuò)展。

隨著L的增大，撓度影響系數(shù)C不斷減小直至為0。值得注意的是L從4 mm增加到5 mm的過程中撓度影響系數(shù)C出現(xiàn)了很明顯的下降，因此當(dāng)孔洞與裂紋尖端的距離L較小時(shí)，撓度影響系數(shù)對(duì)L的變化較為敏感。

3.3 孔洞半徑R對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的影響

為了研究孔洞半徑對(duì)于裂紋擴(kuò)展路徑的影響，以孔洞到裂紋尖端的距離L=10 mm為例，孔洞與初始裂紋尖端的夾角θ=45°，孔洞半徑分別為1、2、3、4、5、6 mm。

觀察圖12所示裂紋路徑，當(dāng)R=1 mm時(shí)，孔洞對(duì)于裂紋路徑的干涉作用基本可以忽略。隨著孔洞半徑的增大，孔洞對(duì)于裂紋路徑的“吸引”能力逐漸增強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的撓度影響系數(shù)C不斷增大，當(dāng)孔洞半徑R=5、6 mm時(shí)，裂紋侵入孔洞。

3.4 L與R共同影響下的裂紋擴(kuò)展路徑

由前面的結(jié)論，減小孔洞與裂紋尖端的距離L或增大孔洞半徑R都能增大裂紋撓度影響系數(shù)，為了探究L與R共同影響下裂紋路徑撓度的主導(dǎo)影響因素，固定L/R=2，θ=45°，L分別為6、8、10、12、14 mm。

如圖14所示，本組數(shù)據(jù)中裂紋擴(kuò)展路徑都侵入了孔洞。距離L與孔洞半徑R同時(shí)增大，對(duì)應(yīng)圖15中的撓度影響系數(shù)卻不斷減小。由前面的結(jié)論θ和L一定，撓度影響系數(shù)應(yīng)該隨孔洞半徑的增大而增大，由此可以得出結(jié)論固定L/R的情況下L是影響裂紋路徑偏轉(zhuǎn)程度的主導(dǎo)因素。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該結(jié)論，設(shè)計(jì)了含有雙偏轉(zhuǎn)孔的改進(jìn)CT試樣模型，2個(gè)偏轉(zhuǎn)孔分別位于第1、第4象限。雙偏轉(zhuǎn)孔的存在可以平衡或者削弱由單孔導(dǎo)致的裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的擾動(dòng)，當(dāng)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的擾動(dòng)作用無法得到平衡，裂紋擴(kuò)展路徑會(huì)偏向于具有更強(qiáng)“吸引”能力的孔洞。

分別取上述撓度影響系數(shù)相差較小和較大的2組孔洞來建模，孔洞與初始裂紋尖端的夾角θ=45°，L/R=2。如圖16(a)、(b)中第1象限偏轉(zhuǎn)洞半徑分別為4、7 mm，與初始裂紋尖端的距離分別為8、14 mm，第4象限偏轉(zhuǎn)孔半徑都為3 mm，與初始裂紋尖端的距離都為6 mm。2種情況下雖然第1象限中偏轉(zhuǎn)孔半徑更大，但裂紋擴(kuò)展路徑都偏向于第4象限，由此可以驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性。

4 載荷復(fù)合比Me與撓度影響系數(shù)的關(guān)系

由于裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)受孔洞影響而產(chǎn)生擾動(dòng)作用，疲勞裂紋逐漸由Ⅰ型裂紋轉(zhuǎn)變成復(fù)合型裂紋。為了研究該狀態(tài)下裂紋擴(kuò)展特性，采用圍線積分的方式求解裂擴(kuò)展過程中的應(yīng)力強(qiáng)度因子K，引入載荷復(fù)合比Me來評(píng)估裂紋擴(kuò)展特性。在研究復(fù)合型裂紋擴(kuò)展問題時(shí)，載荷復(fù)合比Me是一個(gè)重要參數(shù)，用于表示復(fù)合型裂紋擴(kuò)展過程中Ⅰ、Ⅱ型裂紋所占的比重。

(9)

求解相同橫坐標(biāo)X對(duì)應(yīng)裂紋長(zhǎng)度下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，目的是為了與撓度影響系數(shù)的定義相對(duì)應(yīng)。

以3.3節(jié)裂紋擴(kuò)展路徑為例，在裂紋擴(kuò)展過程中，KⅠ隨著裂紋長(zhǎng)度的增加而增大?？锥窗隦=1 mm時(shí)，基本忽略孔洞對(duì)于裂紋路徑的干涉作用，屬于Ⅰ型裂紋，KⅡ≈0。當(dāng)R=2、3 mm時(shí)，裂紋尖端由接近到遠(yuǎn)離孔洞的過程中，Ⅱ型裂紋所占比重先增大后減小。圖18為裂紋擴(kuò)展過程中載荷復(fù)合比的變化情況，當(dāng)R=1 mm時(shí)Me≈1，當(dāng)R≥2 mm時(shí)，在裂紋尖端侵入或者遠(yuǎn)離孔洞之前載荷復(fù)合比Me不斷減小，且隨著孔洞半徑的增大，相同橫坐標(biāo)X對(duì)應(yīng)的Me不斷減小，這與撓度影響系數(shù)的變化趨勢(shì)相反，對(duì)應(yīng)的Ⅱ型裂紋比重不斷增加。

5 結(jié)論

撓度影響系數(shù)能定量地表示孔洞對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑偏轉(zhuǎn)程度的影響，孔洞與初始裂紋尖端夾角θ、孔洞半徑R、孔洞與裂紋尖端距離L是影響撓度影響系數(shù)的主要因素。

1) 孔洞與初始裂紋尖端夾角θ=45°時(shí)，孔洞對(duì)于裂紋路徑的干涉作用最為明顯，撓度影響系數(shù)取最大值。

2) 孔洞半徑R、孔洞與初始裂紋尖端的夾角θ相同的情況下，隨著孔洞與裂紋尖端距離L的增大，孔洞對(duì)于裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)的干涉作用逐漸降低，撓度影響系數(shù)也隨之減小。

3) 隨著孔洞半徑的增大，孔洞對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的擾動(dòng)作用將更為明顯，對(duì)裂紋路徑干涉能力逐漸增強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的撓度影響系數(shù)也逐漸增大。

4) 雖然L和R都能影響裂紋擴(kuò)展路徑，但是相同L/R的情況下，L是影響裂紋擴(kuò)展路徑偏轉(zhuǎn)程度的主導(dǎo)因素。

5) 裂紋尖端遠(yuǎn)離或侵入孔洞之前，撓度影響系數(shù)C與載荷復(fù)合比Me負(fù)相關(guān)，由于Me是Ⅰ、Ⅱ型裂紋所占比重要的量度，因此撓度影響系數(shù)C的增加對(duì)應(yīng)Ⅱ型裂紋比重的增加。