小學階段圓面積教學設(shè)計探索

詹燦璨

【摘 ? 要】弗賴登塔爾數(shù)學教育思想中有幾個關(guān)鍵概念：數(shù)學現(xiàn)實、數(shù)學化、再創(chuàng)造等，深刻研究該教育理論并將其應(yīng)用到實際數(shù)學教學中去，能夠啟發(fā)學生“再創(chuàng)造”數(shù)學知識。以小學“圓的面積”教學為例，可通過求解未知邊長正方形的面積隱蔽地啟發(fā)以分割法“再創(chuàng)造”圓的面積計算公式這一教學過程，說明弗賴登塔爾數(shù)學教育教學思想的精髓。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學教育思想;再創(chuàng)造;教學設(shè)計

新課程改革的推進使越來越多的教師意識到數(shù)學教學應(yīng)當建立在以學生為主體，符合學生認知水平與數(shù)學現(xiàn)實的基礎(chǔ)上。這種基于學生數(shù)學現(xiàn)實，經(jīng)由再創(chuàng)造實現(xiàn)數(shù)學化的過程是弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的精髓所在。本文圍繞弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”數(shù)學教育教學理論，結(jié)合實際教學案例，探討新的教學形式以促進數(shù)學課堂教學的完善。

一、弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的基本內(nèi)涵

弗賴登塔爾對荷蘭以及世界的數(shù)學教育事業(yè)做出了重要貢獻。整體、全面地分析他的教育思想內(nèi)容，或是分點、細致地分析他的某一思想原則，都可從中感受到“授人以魚，不如授人以漁”的思想精華。

（一）弗賴登塔爾的數(shù)學教育教學思想

弗賴登塔爾認為學生學習的主客觀基礎(chǔ)來自學生的數(shù)學現(xiàn)實與數(shù)學化歷程，依靠自身的認知結(jié)構(gòu)、學習經(jīng)驗、思維方式，最終發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識教學的目的不僅是擴展學生的知識結(jié)構(gòu)，也是擴充學生數(shù)學認知過程中的心理結(jié)構(gòu)。他強調(diào)數(shù)學學習過程是具有現(xiàn)實意義的、富有創(chuàng)新性的、學生主動自覺進行的數(shù)學活動，而不是脫離實際背景、學生被動接受的教學活動。教學過程應(yīng)該是幫助學生把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程，教師的教學是引導學生主動地去學習、去思考，教學的目標是引導學生掌握數(shù)學知識、解決數(shù)學問題，促進學生提升自己的數(shù)學能力、數(shù)學思想水平，實現(xiàn)“四基”“四能”。

弗賴登塔爾認為學生的數(shù)學知識產(chǎn)生在數(shù)學化的過程中。數(shù)學化是運用數(shù)學思想和方法觀察、分析、研究客觀世界并加以整理和組織的過程。數(shù)學化的過程包含兩個階段——橫向的數(shù)學化和縱向的數(shù)學化。首先將現(xiàn)實中的實際問題抽象為對應(yīng)的數(shù)學形式，橫向轉(zhuǎn)化為某個數(shù)學模型或數(shù)學問題，再通過對已有數(shù)學知識的深化和處理，形成不同層次的公理體系和形式體系，最終完成縱向的數(shù)學化[1]。不同的人有不同的數(shù)學基礎(chǔ)、數(shù)學思想，對所處現(xiàn)實環(huán)境有著各異的理解，這就是數(shù)學現(xiàn)實——人的數(shù)學認識與客觀現(xiàn)實的結(jié)合。

學生也有自己的數(shù)學現(xiàn)實，它包括學生所處現(xiàn)實世界的客觀基礎(chǔ)、學生以數(shù)學化的形式認識世界而形成的認知結(jié)構(gòu)等主觀基礎(chǔ)，這是學生學習的基礎(chǔ)。學生不斷提升數(shù)學水平的過程就是“再創(chuàng)造”、重現(xiàn)數(shù)學發(fā)展的過程。教師需要分析學生的數(shù)學現(xiàn)實以及數(shù)學水平，思考學生如何在當前的環(huán)境下經(jīng)歷“再創(chuàng)造”——學生自主重新發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識。

（二）弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”數(shù)學教育教學思想

弗賴登塔爾數(shù)學教育觀將學生看作是教學過程中的主體，教師引導其主動“做數(shù)學”，實現(xiàn)“再創(chuàng)造”。

如果實際課堂教學不能較好地實現(xiàn)學生與所學知識的緊密聯(lián)合，只是傳授知識點、公式，做練習，這種教學價值不大?！霸賱?chuàng)造”要求學生在學習數(shù)學的過程中，根據(jù)感受和思維方式，將所學內(nèi)容再發(fā)現(xiàn)或“創(chuàng)造”出來，形成自己的數(shù)學體系，納入自己的認知結(jié)構(gòu)中。在這個過程中教師不是知識的灌輸者，學生的學習是“再創(chuàng)造”的過程，它與“發(fā)現(xiàn)法”有所區(qū)別，“發(fā)現(xiàn)法”強調(diào)的是教師提前設(shè)計一個完整的課堂教學方案，引導學生逐步發(fā)現(xiàn)知識，而“再創(chuàng)造”強調(diào)的是學生主體的重要性與創(chuàng)造過程中層次的變化，教師作為引導者為學生提供一個與其數(shù)學現(xiàn)實相符合的問題，引導學生主動探究。這不是程序式的發(fā)現(xiàn)過程，而是學生為了解決問題自主實現(xiàn)的過程，屬于學生自己的創(chuàng)造。

二、弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”教學思想指導下的教學設(shè)計探究

基于弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”思想的教學原則，在教學之前，教師需要進行“思想實驗”，即對學生的認知水平、教學環(huán)境、輔助設(shè)備等內(nèi)容考慮全面，對教材與教學知識點及教學中可能發(fā)生的各種情況，進行充分分析。

在教學過程中，教師要提供給學生具體、現(xiàn)實的例子，創(chuàng)造出積極的環(huán)境狀態(tài)，維持學生較高的動機水平以積極參加數(shù)學活動，啟發(fā)學生較全面地接觸與處理所獲得的數(shù)學信息，最終“再創(chuàng)造”所學的數(shù)學內(nèi)容，或是數(shù)學概念、運算法則，或是發(fā)現(xiàn)有關(guān)的定律，以提高學生的思維水平。尤其要有意識地引導學生由不自覺或無目的過渡到有意識有目的地進行創(chuàng)造活動，促進每個學生的思維水平盡可能提高。

下面以小學數(shù)學“圓的面積”為例進行教學設(shè)計，以求在這個過程中盡可能地體現(xiàn)弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的精髓。

（一）基于再創(chuàng)造教學思想的“圓的面積”教學設(shè)計

“圓的面積”是人教版六上的內(nèi)容，要求學生探索并掌握圓的面積公式，能解決簡單的實際問題。六年級學生的認知發(fā)展水平屬于具體運算思維逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，如果教師僅向?qū)W生教授圓的面積公式，缺少發(fā)現(xiàn)的過程，學生也只能學會一組字母公式，并不能較好地實現(xiàn)教學目標。如果教師用接近現(xiàn)實的情景引導學生試著探究圓的面積，而不考慮學生的數(shù)學現(xiàn)實背景，也會使學生遠離生活實際而不知所學何用。

充分了解學生的學習現(xiàn)實是創(chuàng)建優(yōu)秀課堂的先決條件。學生的數(shù)學現(xiàn)實是生活中所見的與數(shù)學相關(guān)的實物、與數(shù)學有關(guān)的處理實際問題的方法，學生所具有的數(shù)學運算能力、對簡單平面幾何圖形的認識等。因此，教師可以采用學生日常生活中能夠接觸到的實際問題來引導教學。

【環(huán)節(jié)1】提出問題：小美過生日了，媽媽向蛋糕店預訂了一個直徑為16厘米的圓形蛋糕，店主推薦做成一個對角線為16厘米的正方形蛋糕。如果價格相同，你愿意換嗎？

生：聽起來大小一樣，可以換。

生：真的一樣嗎？要是一樣的話，為什么要換呢？

[設(shè)計意圖：數(shù)學與生活的聯(lián)系要自然貼切、合乎學生的情趣。于學生而言，購買蛋糕問題有一定的迷惑性，有實際經(jīng)驗的學生會提出疑問，這種引出問題、激發(fā)討論的過程是“再創(chuàng)造”合適的發(fā)起環(huán)境。]

【環(huán)節(jié)2】將蛋糕形狀抽象為數(shù)學圖形，引導學生主動解決問題。

師：比較兩個圖形的大小，應(yīng)該采用什么方法呢？

生：比較面積。

師：那同學們先來看這個正方形的蛋糕，它的對角線為16cm，在不知道邊長的情況下怎么求面積呢？

生：可以拆開變成兩個直角三角形拼出大的直角三角形，通過求三角形的面積得到。

生：這個正方形的面積就是[12×16×16=]128（cm2）。

師：那如何求這個圓的面積呢？

[設(shè)計意圖：至此，啟發(fā)學生的第一階段已經(jīng)完成。合適的數(shù)學情境促使學生完全投入解決現(xiàn)實問題的過程中，符合當前知識階段的圖形轉(zhuǎn)化促使橫向數(shù)學化的發(fā)生。同時，由此引出的疑問也為學生提供了探究圓的面積的動機。]

【環(huán)節(jié)3】如何求得圓的面積？

師：在通過分割為兩個三角形解決未知邊長的正方形面積的基礎(chǔ)上，你可以求出一個已知直徑的圓的面積嗎？

生：以前學習過三角形、長方形等的面積，或許也可以剪成那樣來算！（學生分小組探究）

生：我分成四等份，卻拼不出來。

生：多分幾次，就越來越像三角形了！

[設(shè)計意圖：教師通過適當?shù)靥嵝褜W生可以采取與前述求正方形面積類似的分割方法，來調(diào)動學生的主觀能動性，自己動手探究圓的分割，最終得到不同的分割方法（各種不同的分割方法與拼接方法，教師應(yīng)當給予肯定與指導）。這個過程弱化了傳統(tǒng)教學中教師的全權(quán)引導，學生的主體地位得到了充分體現(xiàn)，通過圓的面積公式的推導，理解數(shù)學的發(fā)現(xiàn)過程。]

【環(huán)節(jié)4】小組探討怎么拼出合適的圖形求解。

通過學生的合作，最終發(fā)現(xiàn)這些相等的近似于小三角形的圖形可以拼接成一個近似的長方形。

師：現(xiàn)在你能告訴我圓形蛋糕的面積是多少嗎？

生：圓形蛋糕的面積約等于[2π×82×8=64π≈64×3.14=200.96（cm2）]。

師：那你現(xiàn)在還愿意換蛋糕嗎？

生：原來圓形面積這么大，怪不得老板要換成方形，太不劃算了！

[設(shè)計意圖：通過對圓形嘗試各種分割，通過拼出熟悉且可求面積的幾何圖形，最終拼出近似的長方形求得面積。新的長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，最后通過長方形的面積公式得出圓的面積公式。學生在“再創(chuàng)造”中發(fā)現(xiàn)圓面積的計算公式，解決了實際問題。]

（二）教學反思

弗賴登塔爾也強調(diào)教學反思的重要性。教師不僅要在課前遵循思想實驗的原則，也要在課后遵循反思的原則。

“圓的面積”教學設(shè)計是契合弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的，以合適的數(shù)學問題，即選擇一個與學生生活緊密聯(lián)系的場景作為導入，引起學生共鳴。將兩個蛋糕抽象為簡單的幾何圖形，實現(xiàn)橫向數(shù)學化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型后進入縱向數(shù)學化。在解決正方形面積的基礎(chǔ)上，隱蔽地為學生分割圓形提供一種方向，引導學生思考如何將圓形分割后組合成熟悉的、可求面積的幾何圖形。在探索的過程中，學生經(jīng)歷了問題轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、頭腦風暴的過程。

教師在完成課堂教學之后不僅要考查學生對本節(jié)內(nèi)容的掌握程度，及時反饋學生的問題，也要進行自我反思——對思想實驗設(shè)計中的完善、課堂突發(fā)問題的記錄與解決、學生課堂表現(xiàn)和課后反饋的研究，實現(xiàn)教學相長。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海：上海教育出版社.1995.

[2]付云菲.弗賴登塔爾的數(shù)學教育思想研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學，2013.

[3]張昆.實現(xiàn)數(shù)學課堂教學有效性的思考——透過弗賴登塔爾的數(shù)學“再創(chuàng)造”教學原則的視點[J].數(shù)學教學通訊，2020（9）：5-7.

[4]趙志賢.聯(lián)想教學法在問題解決教學中的應(yīng)用——以“圓的面積”教學設(shè)計為例[J].教學與管理，2010（8）：49-50.

（淮北師范大學數(shù)學科學學院 ? 235000）