從探索中尋規(guī)律 在領(lǐng)悟中謀方法

吳偉蓮

【摘要】新課標(biāo)指出：有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動不能單純地依賴模仿和記憶，“動手探索”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式，不斷形成解決數(shù)學(xué)問題的策略，有效培養(yǎng)學(xué)生實踐能力與創(chuàng)新精神.本文就如何引導(dǎo)學(xué)生在“動手探索”中尋找問題的解題規(guī)律，在“動腦領(lǐng)悟”中掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，逐步培養(yǎng)初中學(xué)生的“化歸意識”與“化歸思想”的主要方法和途徑等來談?wù)勛约旱囊恍┮娊夂途唧w做法。

【關(guān)鍵詞】 例談;幾何教學(xué);化歸思想

【中圖分類號】G633.6【文獻標(biāo)識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）30-060-02

一、初中幾何教學(xué)中“化歸思想”的內(nèi)涵及意義

“數(shù)學(xué)化歸思想”就是把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的幾何問題，采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行變換、轉(zhuǎn)化，變成已經(jīng)解決或比較易解決的問題，從而最終能夠解決原問題的一種數(shù)學(xué)解題思想.在通常情況下表現(xiàn)在：未知與已知之間的轉(zhuǎn)化;復(fù)雜問題與簡單問題之間的轉(zhuǎn)化;命題之間的轉(zhuǎn)化;數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化;空間與平面的轉(zhuǎn)化;高次向低次的轉(zhuǎn)化;多元向一元的轉(zhuǎn)化;無限向有限的轉(zhuǎn)化等等。

在初中幾何教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生動手探索解題的途徑與方法，滲透數(shù)學(xué)“化歸思想”，老師不斷培養(yǎng)學(xué)生用這種“數(shù)學(xué)思想”來解決數(shù)學(xué)問題，從而讓學(xué)生體會和明白：初中幾何的學(xué)習(xí)與解題的規(guī)律性，是有“法”可依的。

二、初中幾何教學(xué)中“化歸思想”培養(yǎng)的主要手段

讓學(xué)生“動手探索”是培養(yǎng)化歸思想的主要手段。有的數(shù)學(xué)教學(xué)活動不能單純地依賴模仿與記憶，.新課標(biāo)下的教材非常重視學(xué)生的活動，尤其對學(xué)生的探索能力的培養(yǎng)。新教材七年級已把實踐探索納入其中，例如：利用“粉筆盒”，讓學(xué)生親自動手探索圖形在“展開與折疊”過程中是怎樣變化的？讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)果的來龍去脈和可靠性，預(yù)留學(xué)生活動的時間和探索的空間。

三、初中幾何教學(xué)中“化歸思想”培養(yǎng)的主要方法

（一）從“作適當(dāng)?shù)妮o助線”的方法——培養(yǎng)學(xué)生“橫向化歸”的思想

添輔助線的“化歸思想”就是在對問題作細致觀察的基礎(chǔ)上，通過添加輔助線來展開聯(lián)想，以喚起對有關(guān)知識的回憶，開啟思維的大門，通過舊知識、舊經(jīng)驗來處理新問題.“橫向化歸”就是通過對命題的有關(guān)量進行轉(zhuǎn)換，進行等價變換，通過同構(gòu)變換等各種手段將很生疏、較復(fù)雜、比較困難的幾何問題化歸為我們最熟悉、較簡單、很容易的數(shù)學(xué)問題來解決。;;

例1： 探究“多邊形的內(nèi)角和公式”

知識基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)過三角形的內(nèi)角和

教學(xué)基本思路：把幾何中多邊形問題全部“化”為三邊形問題來解決。

設(shè)計問題：

問題1 ： 已學(xué)過的熟悉“正方形”、“長方形”的內(nèi)角和是多少？學(xué)生答： 360° .

問題2： 四邊形的內(nèi)角和也是360° 嗎？怎樣得到的，你能找到幾種方法？

問題3 ：通過“添加輔助線”而得到四邊形內(nèi)角和，類似可求五邊形的內(nèi)角和嗎？n邊形的內(nèi)角和呢？

探究：學(xué)生動手操作，分組討論、交流，探究方法，并共同進行歸納總結(jié).學(xué)生中尋覓出了下列幾種化歸的方法（添輔助線）：

法1：如圖（1）連結(jié)AD、AC，五邊形的內(nèi)角和為：3×180°=540°;

法2：如圖（2）在CD 上任取一點M，連接AM、BM、EM，求得五邊形的內(nèi)和為： 4×180°-180°=540°;

解題思路的共同點：是通過圖形分割，把五邊形問題化歸為熟悉的三角形問題來解決.再選擇當(dāng)中的一種化歸的路徑，全部可以求出六邊形、七邊形等多邊形的內(nèi)角和，從而推導(dǎo)出任意n邊形的內(nèi)角和公式：180°（n-2）? （n≥3， n為整數(shù)）。

（二）? 從“立體”到“平面”的方法——培養(yǎng)學(xué)生“縱向化歸”的思想

“縱向化歸”思想就是把學(xué)生碰到的幾何新問題，通過“維降”等手段化為簡單、熟悉的數(shù)學(xué)問題來解決.類似很多問題在長方體、圓柱體、圓錐體的側(cè)面展開圖中有較為廣泛的應(yīng)用.其基本的解題（化歸）思想是：立體問題平面化。

例2：? 如圖5，有一座山，大致呈圓錐，山底呈圓形，且半徑OB為6千米，山高OS為415 千米.在山坡SA 的中點C有一聯(lián)絡(luò)站，要從山底A修一條盤山路，繞著山坡轉(zhuǎn)一周將物資運到山坡AS的中點C，這條公路的最短路程為多少？;;;;;;;

對這個問題學(xué)生感到難以下手，可以要求學(xué)生制作簡單模型，觀察實驗，可引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，就能把這個問題轉(zhuǎn)化為在圖6 中求線段AC′的長。

（三）從“特殊”到“一般”的方法——培養(yǎng)學(xué)生的“同向化歸”的思想

“同向化歸”就是對新面臨的問題進行命題分割或分解，化為某個可簡捷處理的子問題來進行處理，而這種“化歸”在同一層次上是“平行”進行的。

例3 ：? 自主探究《圓心角、弧 和 弦三者之間的關(guān)系》？

設(shè)計問題：

（1）圓是中心對稱圖形嗎？它的對稱中心是什么？

（2）什么叫圓心角？什么叫弦心距？

（3）學(xué)生事先準備好的兩個等圓形紙片，并在兩個等圓中分別畫出兩個相等的圓心角。

問題探究：在⊙O中，當(dāng)圓心角∠AOB=∠A'OB'時，它們所對的弧AB和A'B'，弦AB和A'B'，弦心距OM和O'M'是否也相等呢？ （動手制作，實驗探究，總結(jié)定理。）

（4）由探究得到的定理及結(jié)論是什么？（三個定理）

定理一：在同圓或等圓中，相等圓心角所對弧? 相等 ;，所對弦 也相等? 。

定理二：略（學(xué)生自己歸納完成）

定理三：略（學(xué)生自己歸納完成）

（5）在圓心角定理中，為什么強調(diào)“同圓或等圓”？可不可以刪掉？

設(shè)計意圖：調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，改變教師“填鴨式”教法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，在“實驗與化歸”中得到很好鍛煉，數(shù)學(xué)知識技能也在潛移默化中得到很大提高，從而掌握了行之有效的學(xué)習(xí)方法。

（四） 從“用反證法”或“畫反例圖”的方法——培養(yǎng)學(xué)生“逆向化歸”的思想

“逆向化歸”思想是在解決數(shù)學(xué)問題時，出現(xiàn)較難入手，就按照習(xí)慣，如反證、舉反例等采取正難則反的措施的數(shù)學(xué)思想。

例4：? 求證：過在同一條直線上三點不可以作出一個圓。

可引導(dǎo)反設(shè)：設(shè)過A、B、C 三點能作⊙Q ;;;;;;;;;;

設(shè)計問題：（教師提問，學(xué)生思考回答：）

問題1 ： 點Q 到A、B、C 三點的距離有什么關(guān)系？

問題2 ： 作線段AB、BC 的垂直平分線L1、L2，則L1、L2 的交點在何處？

解題思路：引導(dǎo)學(xué)生自己畫圖，因為三個點都在同一直線上，學(xué)生極易想到：過點Q有兩條直線垂直于同一直線，卻與所學(xué)的“垂線公理”相矛盾，從而假設(shè)不成立，而原命題成立.當(dāng)然，通常為了說明命題不成立，還可以舉一個反例或畫反例圖來加以說明。

設(shè)計意圖：既訓(xùn)練學(xué)生“逆向化歸”思想，又為幾何的證明開辟了新方法.事實證明，學(xué)習(xí)任何數(shù)學(xué)知識的最佳途徑：是讓學(xué)生大膽發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。

【結(jié)束語】

加強幾何“化歸思想”的教與學(xué)，對于學(xué)生落實雙基，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有非常重要的作用，同時，也是學(xué)生形成幾何認知結(jié)構(gòu)的重要紐帶，對數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力起到很好的橋梁作用。

【參考文獻】

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[2]郭立昌，淺談加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的途徑[J].數(shù)學(xué)通報，2016.

[3]沈文選，進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意的問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017.