均勻帶電圓環(huán)電勢的空間分布

羅志娟 何艷 喻莉

(空軍預(yù)警學(xué)院基礎(chǔ)部 湖北 武漢 430019)

1 引言

均勻帶電圓環(huán)是電磁學(xué)理論及應(yīng)用中的基本模型，根據(jù)電勢的疊加非常方便地計算其軸線上任意點的電勢，但是對于空間任意點的電勢，數(shù)學(xué)處理上有一定的困難，文獻(xiàn)[1]利用MATLAB計算均勻帶電圓環(huán)在空間任意點的電勢分布，文獻(xiàn)[2]利用第一類全橢圓積分計算了均勻帶電圓環(huán)電勢的空間分布，文獻(xiàn)[3]利用橢圓積分和數(shù)學(xué)軟件對均勻帶電圓環(huán)電勢和電場進(jìn)行了研究.

本文避開復(fù)雜的數(shù)學(xué)積分計算，利用分離變量法和δ函數(shù)性質(zhì)得出均勻圓環(huán)的空間電勢分布的函數(shù)表達(dá)式，將軸線和圓心處對應(yīng)的參數(shù)代入表達(dá)式中，得出軸線和圓心處的電勢，與電磁學(xué)的結(jié)論一致，在利用分離變量中主要利用物理的邊界條件，從而加深了學(xué)生對物理邊界問題的理解．

2 均勻帶電圓環(huán)在空間任意點的電勢表達(dá)式

有一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，半徑為a，總電荷量為Q，取球坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點在環(huán)心，而圓環(huán)則處在赤道面上，如圖1所示，分析得出除了圓環(huán)上各點外，電勢處處滿足拉普拉斯方程，并且空間任意一點(r,θ,φ)的電勢u與φ無關(guān).

圖1 球坐標(biāo)系下的均勻帶電圓環(huán)

設(shè)電荷密度分布函數(shù)為ρ(r,θ)，則

常數(shù)C由圓環(huán)上的總電荷求出

則

可以寫出電勢u所滿足的定解問題

(1)

|u|θ=0有界 |u|θ=π有界

(2)

|u|r=0有界 |u|r→∞→0

(3)

由δ函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)r≠a時，式(1)退化為拉普拉斯方程，這樣，再由分離變量法結(jié)合式(2)和式(3)的邊界條件，可以得到

(4)

考慮到δ函數(shù)應(yīng)該是間斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以電勢在球面r=a上一定是連續(xù)的

(5)

由式(4)、(5)可得

Alal=Bla-l-1

(6)

(7)

將δ函數(shù)也按勒讓德多項式展開有

(8)

由式(4)、(7)和(8)得

(9)

因為

P2l+1(0)=0

所以

(10)

從結(jié)果中只含有偶次勒讓德多項式，反映了靜電勢在赤道面反射不變性，即

u(r,θ)=u(r,π-θ)

3 帶電圓環(huán)軸線上的電勢

軸線上取式(10)中

θ=0

P2l(cosθ)=P2l(1)=1

代入式(10)得以下結(jié)論.

當(dāng)r

當(dāng)r>a時

合并上面的結(jié)論，則在軸線上的電勢為

在圓心處取式(10)中

r=0

則式(10)中求和項只剩下l=0

P2l(0)=P2l(cosθ)=1

該結(jié)論與電磁學(xué)中討論的結(jié)果是一致的．

4 結(jié)束語

本文主要利用分離變量法求出帶電圓環(huán)在空間任意點的電勢，避免了復(fù)雜的積分過程，在利用分離變量的過程中主要是利用物理問題的本質(zhì)邊界條件的應(yīng)用，這樣能加深學(xué)生對邊界條件的理解．