關(guān)注數(shù)列學(xué)習(xí)中學(xué)生的綜合能力培養(yǎng)

唐俊

[摘? 要] 文章從實(shí)踐出發(fā)，探討了在高中數(shù)學(xué)的數(shù)列教學(xué)過(guò)程中，教師要有策略地培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力和創(chuàng)新意識(shí)，還要關(guān)注學(xué)生推理論證能力的發(fā)展，并且要提升他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列;學(xué)習(xí)能力;培養(yǎng)策略

在數(shù)列教學(xué)過(guò)程中，教師要從數(shù)列的知識(shí)特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際需要，對(duì)學(xué)生的綜合能力進(jìn)行針對(duì)性培養(yǎng).

關(guān)注學(xué)生合情推理能力與創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)

正如牛頓所言：“離開(kāi)了大膽的猜想，也就沒(méi)有偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn).”人們?cè)谔剿髯匀唤绲膴W秘時(shí)，往往會(huì)從一些事物的共同屬性出發(fā)展開(kāi)探索，因?yàn)檫@些屬性大多由事物的本質(zhì)所決定，圍繞相關(guān)內(nèi)容展開(kāi)探索，并進(jìn)行推測(cè)和判斷，進(jìn)而對(duì)一類事物的某種屬性進(jìn)行歸納，這就是所謂的“猜想”，這種猜想以合情推理作為基礎(chǔ)，但是其正確性卻需要進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C.上述操作其實(shí)所使用的是一種由特殊到一般的研究順序，特殊而具體的事物，人們研究其特點(diǎn)時(shí)，難度相對(duì)較低，而一般化的事物相對(duì)較為抽象，人們不可能全面進(jìn)行研究和探索，尤其是針對(duì)一個(gè)無(wú)限集合，所以合情推理也就成了我們進(jìn)行推理的一個(gè)非常重要的手段.在推理進(jìn)行的過(guò)程中，學(xué)生大膽的猜想也是不可或缺的，甚至從某種程度來(lái)講，正是猜想才為進(jìn)一步的探索鋪平了道路，這其實(shí)也是創(chuàng)新意識(shí)的一種體現(xiàn).

在大力倡導(dǎo)創(chuàng)新精神的當(dāng)下，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生相關(guān)素質(zhì)的培養(yǎng)，尤其需要注意的是，創(chuàng)新其實(shí)也是核心素養(yǎng)的重要組成，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)就必然要對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行有意識(shí)的培養(yǎng).高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該是課堂的引導(dǎo)者和組織者，因此課堂上的一切教學(xué)活動(dòng)都應(yīng)該為核心素養(yǎng)的發(fā)展服務(wù)，在教學(xué)過(guò)程中教師要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，要為學(xué)生的獨(dú)立思考提供空間和時(shí)間，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題能夠展開(kāi)自己富有個(gè)性化的探索和研究，并在必要的時(shí)候進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牟孪?這一點(diǎn)在數(shù)列的學(xué)習(xí)中顯得尤為明顯，很多數(shù)列的問(wèn)題都需要學(xué)生對(duì)有限的元素進(jìn)行分析和探索，并圍繞相關(guān)內(nèi)容作出猜測(cè)，然后再對(duì)結(jié)論進(jìn)行論證.在數(shù)列問(wèn)題的研究過(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極展開(kāi)思考，對(duì)學(xué)生進(jìn)行各種猜想時(shí)，教師也要恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，畢竟猜想不是胡思亂想，合情推理應(yīng)該是一種科學(xué)而注重邏輯的推測(cè)，學(xué)生要在現(xiàn)有的條件和基礎(chǔ)上做出有效且科學(xué)的判斷.

例1：在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n<19，且n∈N*）成立. 類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則存在的等式為_(kāi)_________.

上述問(wèn)題需要采用類比推理來(lái)處理，結(jié)合相關(guān)特點(diǎn)可知：等比數(shù)列和等差數(shù)列類比，在等差數(shù)列中是和，在等比數(shù)列中是積，故有b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17，且n∈N*）.

關(guān)注學(xué)生推理論證能力的培養(yǎng)

新的課程標(biāo)準(zhǔn)指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須要關(guān)注學(xué)生推理論證能力的培養(yǎng).結(jié)合新課程理念，高中數(shù)學(xué)教師在組織各項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，要對(duì)合情推理與演繹推理的教學(xué)做好統(tǒng)籌規(guī)劃、有效安排，讓學(xué)生大力發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)的同時(shí)，也要積極訓(xùn)練自己思維的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性.王元先生曾經(jīng)有言：“善于進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)，能夠判定定理證明過(guò)程中的對(duì)錯(cuò)，這是數(shù)學(xué)系學(xué)生的第一關(guān). ”高中生雖然不等同于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，但研究數(shù)學(xué)就應(yīng)該有著相應(yīng)的態(tài)度，數(shù)學(xué)教師也應(yīng)該銘記先生的教誨，并在教學(xué)實(shí)踐中將相關(guān)內(nèi)容落實(shí)到位，通過(guò)課堂教學(xué)的優(yōu)化來(lái)為學(xué)生的發(fā)展提供助力.

在進(jìn)行教學(xué)之前，數(shù)學(xué)教師就要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深度的分析和解剖，自主咀嚼相關(guān)內(nèi)容.不少有多年教學(xué)工作的教師往往不屑這一步操作，他們認(rèn)為多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)可以替代一切，這種觀點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的. 時(shí)代在發(fā)展，我們的學(xué)生在變化，教師切不可以不變應(yīng)萬(wàn)變，尤其是新課程改革的大背景下，隨著核心素養(yǎng)理論的引入，我們的很多教學(xué)內(nèi)容也要做出相應(yīng)的調(diào)整，所以數(shù)學(xué)教師都要以一種剛剛?cè)肼毜男膽B(tài)來(lái)處理工作，并對(duì)教學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行細(xì)節(jié)加持處理，只有這樣我們才能將知識(shí)以學(xué)生最需要的形態(tài)呈現(xiàn)在他們的面前.

很多數(shù)列問(wèn)題的分析和研究都需要學(xué)生的推理和論證能力，因此數(shù)列的教學(xué)本身也是對(duì)學(xué)生相關(guān)素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).高中數(shù)學(xué)教師要注意學(xué)生審題習(xí)慣的培養(yǎng)，同時(shí)還要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地搜集相關(guān)素材，對(duì)教材上的一些典型例題進(jìn)行有效研讀，分析其中推理論證的基本步驟.在問(wèn)題探究的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注過(guò)程學(xué)習(xí)，且一定要注意經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和過(guò)程的反思，要善于聯(lián)系自己探索過(guò)程的成敗得失來(lái)形成富有個(gè)性化的問(wèn)題處理經(jīng)驗(yàn).此外，因材施教也是相當(dāng)重要的，面對(duì)不同層次的學(xué)生，教師要善于調(diào)整教學(xué)方案，讓每一個(gè)學(xué)生都能在研究和探索中一展所長(zhǎng)，并得到充分的發(fā)展和提升.

例2：已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2=4，S5=30.

（1）求an;

（2）設(shè)數(shù)列■前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)Tn=■時(shí)，求n的值.

上述問(wèn)題的分析需要學(xué)生按照嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃悸愤M(jìn)行分析探索，可以說(shuō)每一步都要有所依據(jù)，具體分析如下：

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

因?yàn)閍2=4，S5=30，

所以a1+d=4，5a1+■·d=30，

解得a1=d=2.

所以an=2+2（n-1）=2n.

（2）由（1）可得Sn=■=n（n+1）？圯■=■-■.

數(shù)列■前n項(xiàng)和為Tn=1-■+■-■+…+■-■=1-■.

當(dāng)Tn=■時(shí)，1-■=■，所以n=2019.

關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)

讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)清數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，增強(qiáng)其數(shù)學(xué)探索意識(shí)，這是新課標(biāo)對(duì)我們的要求，只有這樣學(xué)生才能主動(dòng)地將數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)研究方法帶到生活中，用理性思維來(lái)研究生活，用理性視角來(lái)指導(dǎo)生活，這其實(shí)也正是核心素養(yǎng)的重要標(biāo)志.

綜觀整個(gè)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列是數(shù)學(xué)與生活銜接得最緊密的一個(gè)點(diǎn)，很多高考的考題就是以現(xiàn)實(shí)生活為背景，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)列來(lái)進(jìn)行分析和處理. 在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師要注意數(shù)列和生活的銜接，由此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的基本意識(shí)，同時(shí)也讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值所在.

指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)列來(lái)分析和處理實(shí)際問(wèn)題，其實(shí)也正是一種建模能力的培養(yǎng).無(wú)論是在新課教學(xué)，還是習(xí)題練習(xí)的過(guò)程中，教師都不應(yīng)該空洞地講解理論和方法，而應(yīng)該聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活中的場(chǎng)景來(lái)建立情境，讓學(xué)生從較為真實(shí)的情境中提煉信息，并由此來(lái)建立有關(guān)數(shù)列的模型.如果教師能夠在日常教學(xué)中堅(jiān)持下去，我們的學(xué)生就能夠在循序漸進(jìn)中建立相應(yīng)的意識(shí)，這種意識(shí)顯然不是通過(guò)習(xí)題演練就能形成的.所以，筆者認(rèn)為數(shù)列問(wèn)題的研究，建模意識(shí)的培養(yǎng)以及相關(guān)能力的訓(xùn)練顯然要超過(guò)單一化的運(yùn)算，教師在教學(xué)過(guò)程中可以適當(dāng)降低對(duì)計(jì)算的要求，將重心放在學(xué)生體驗(yàn)方法、感悟研究思想等方面.

例3：紅星林場(chǎng)原有木材的存量為a，現(xiàn)在每年的增長(zhǎng)率等于25%，由于生產(chǎn)建設(shè)的需要，每年年底要砍伐出售的木材量為b，設(shè)an為n年后林場(chǎng)木材的存量.

（1）求an的表達(dá)式;

（2）為保護(hù)生態(tài)，防止水土流失，監(jiān)測(cè)部門指出該林場(chǎng)每年的木材存量不得少于■a，否則就有水土流失的風(fēng)險(xiǎn)，如果b=■，該林場(chǎng)所在地今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？如果會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3）

上述問(wèn)題的處理就需要學(xué)生進(jìn)行建模處理，并采用數(shù)列的方法來(lái)進(jìn)行解決，基本分析如下：

（1）設(shè)第一年的林場(chǎng)木材存量為a1，第n年后木材存量為an，則

a1=a1+■-b=■a-b，

a2=■a1-b=■■a-■+1b，

a3=■a2-b=■■a-■■+■+1b，

…

an=■na-■■+■■+…+1b=■na-4■n-1b（n∈N*）.

（2）當(dāng)b=■a時(shí)，由an<■a得■na-4■n-1×■a<■a，即■n>5.

所以，n>■=■≈7.2.

所以，經(jīng)過(guò)8年后該地區(qū)就將發(fā)生水土流失.

綜上所述，在數(shù)列的教學(xué)過(guò)程中，教師不是單純地教授知識(shí)和概念，更要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)和方法的形成過(guò)程，有效發(fā)展學(xué)生的綜合能力.