發(fā)展思維，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“真、善、美”

黃敏

[摘? 要] 思維是數(shù)學(xué)生長(zhǎng)的關(guān)鍵所在，在高中數(shù)學(xué)的課堂中，我們需要善于利用數(shù)學(xué)的魅力，挖掘其中的“真、善、美”，激發(fā)學(xué)生的思維，助推核心素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的滲透，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的落地生根.

[關(guān)鍵詞] 思維;核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué)

發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是當(dāng)前教育界的熱議話(huà)題，核心素養(yǎng)即是新課標(biāo)的教學(xué)要求，也是時(shí)代發(fā)展所需的品質(zhì). 張殿宙先生說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)包括“真、善、美”三個(gè)維度，即體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、精確之“真”，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的“善”，欣賞數(shù)學(xué)智慧之“美”. 筆者多年從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，在實(shí)踐與反思中逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂，只有促使學(xué)生思維的發(fā)展才能真正踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 因此基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為主，本文結(jié)合實(shí)際就如何基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生的思維談?wù)勛髡咦约旱睦斫?

思維萌芽：基于“默會(huì)知識(shí)”展開(kāi)問(wèn)題

“默會(huì)知識(shí)”是一種經(jīng)常使用卻很難用完整形象的語(yǔ)言或者符號(hào)表示出來(lái)的知識(shí)，即我們常說(shuō)的“只可意會(huì)不可言傳”的知識(shí). 雖然是隱性知識(shí)，但它卻真實(shí)存在并且對(duì)思維的發(fā)展有著積極的作用. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，默會(huì)知識(shí)的存在往往標(biāo)志著知識(shí)的起始，是思維的萌芽階段.

例如：已知m2-mn-2n2=1，求m2+n2的最小值.

方法一：m2-mn-2n2≤m2+■am2+■-2n2=1+■m2+■-2n2.

令1+■=■-2，則a=■-3，

此時(shí)1+■=■-2=■.

所以m2-mn-2n2≤■（m2+n2），

即m2+n2≥■=■.

方法二：引入k，使得m2+n2-k（m2-mn-2n2）≥0恒成立，

即（1-k）m2+kmn+（1+2k）n2≥0.

令Δ=0，得k=■.

所以m2+n2≥■（m2-mn-2n2）=■.

方法三：令m2+n2=t=t（m2-mn-2n2），

所以（1-t）m2+tmn+（1+2t）n2=0，

所以1-t=0，m=±1，n=0

或1-t≠0，Δ=[t2-4（1-t）（1+2t）]n2≥0.

所以m2+n2≥■.

方法四：由已知得（m-2n）（m+n）=1，

可設(shè)m-2n=k，m+n=■，

所以m=■■+k，n=■■-k，

所以m2+n2=■2k2+■+2≥■.

由上述過(guò)程可見(jiàn)該問(wèn)題有四種方法，方法一為待定均值法，方法二為待定配方法，方法三為判別式法，方法四為因式換元法. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生常常會(huì)有“我怎么沒(méi)想到這樣做”的感覺(jué)，自己做的時(shí)候沒(méi)有思路，而看了答案以后卻恍然大悟，于是就會(huì)萌生“為什么能夠想到這樣做”的想法，其中的“為什么”就是默會(huì)知識(shí)的存在. 雖然默會(huì)知識(shí)很難用語(yǔ)言描述清楚，但數(shù)學(xué)中的默會(huì)知識(shí)常常傾向于解決問(wèn)題的思路，因此教師在講解問(wèn)題時(shí)要將關(guān)注點(diǎn)至于問(wèn)題的思路上，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際需要展開(kāi)問(wèn)題，這樣能夠激發(fā)學(xué)生思維的萌芽，引導(dǎo)學(xué)生找到思維的方向，在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“真”，感悟數(shù)學(xué)的“善”.

思維可視：立足“出聲思考”推進(jìn)課堂

思維雖是一種心理活動(dòng)，但它是可以描述的，課堂中思維的形成和發(fā)展過(guò)程最多的是體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中. 引導(dǎo)學(xué)生“出聲思考”，大方展示自己的思維過(guò)程，讓學(xué)習(xí)活動(dòng)“發(fā)聲”，這樣思維就變得可聽(tīng)、可視，利于課堂的推進(jìn)及思維的調(diào)整與發(fā)展.

以下是“對(duì)數(shù)（3）”的新授課中對(duì)換底公式的推導(dǎo)過(guò)程：

閱讀下面一段內(nèi)容：

設(shè)t=log35，則3t=5，對(duì)這個(gè)公式兩邊采用對(duì)數(shù)，得：lg3t=lg5？圯tlg3=lg5？圯t=■，即log35=■.

師：你從這個(gè)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)底數(shù)可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)底數(shù)之商.

生2：我發(fā)現(xiàn)了等式左邊對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化都變成了真數(shù).

師：你們都有著發(fā)現(xiàn)的眼光，你能否再舉一例來(lái)佐證你的猜想呢？

生3：log47=t，則4t=7，兩邊取對(duì)數(shù)得lg4t=lg7，所以tlg4=lg7，所以t=■，即log47=■.

師：很好，你舉的是和上述例子同類(lèi)型的問(wèn)題，那么我們對(duì)這個(gè)對(duì)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換一定得轉(zhuǎn)換成以10為底的對(duì)數(shù)嗎？以別的底行不行呢？

生4：可以轉(zhuǎn)換成任意大于0且不等于1的數(shù)作為底數(shù). 如log47=■=■=■（a>0且a≠1）.

師：你研究問(wèn)題真是細(xì)致，那你能否總結(jié)出更為一般性的結(jié)論呢？

生4：logab=■（a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0）.

師：你總結(jié)得真有研究，同學(xué)們是否也得出了同樣的結(jié)論呢？

（眾生均表示肯定）

師：同學(xué)們對(duì)于這個(gè)一般性的結(jié)論是否已經(jīng)進(jìn)行了證明呢？你的證明過(guò)程是怎樣的？

生5：設(shè)logcb=M，logca=N，則b=cM，a=cN，所以logab=logcNcM=■logcc=■=■.

師：真棒，同學(xué)們已經(jīng)具備了一定的自學(xué)能力，那么這個(gè)公式的作用是什么呢？

生6：將底數(shù)換成真數(shù).

師：沒(méi)錯(cuò)，這就是這個(gè)公式的重要作用，我們稱(chēng)之為換底公式.

在常態(tài)課中不難發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)課堂更多的是教師主導(dǎo)，學(xué)生習(xí)慣了專(zhuān)心聽(tīng)老師講，而鮮有主動(dòng)思考及師生交流的機(jī)會(huì). 誠(chéng)然，高中數(shù)學(xué)課因?yàn)榻虒W(xué)容量較大，設(shè)置較多的師生互動(dòng)環(huán)節(jié)在一定程度上會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度. 盡管這樣，適當(dāng)?shù)膸熒涣饕彩潜匦璧模趲熒慕涣鬟^(guò)程中，學(xué)生的思維過(guò)程被一覽無(wú)遺，通過(guò)師生的對(duì)話(huà)，教師可以獲得學(xué)生最直接的思維過(guò)程，從而對(duì)其進(jìn)行調(diào)整與完善，以引導(dǎo)學(xué)生正確的思維方向，構(gòu)建完整的知識(shí)體系. 在思維調(diào)整的過(guò)程中，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、完備得以體現(xiàn)，學(xué)生可以直接體悟數(shù)學(xué)的“真”.

思維聚焦：圍繞“數(shù)學(xué)思想”提煉方法

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)以掌握方法和發(fā)展能力為主要任務(wù)，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為主要目標(biāo). 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維的根基所在，在教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透是助推學(xué)生形成數(shù)學(xué)意識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力、提高數(shù)學(xué)思維的重要途徑. 因此在解決問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)方法的提煉應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)思想而展開(kāi).

以問(wèn)題“已知實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足a≥1，且n=am+a2+2，求m2+n2的最小值”為例.

方法一：因?yàn)閍≥1，所以a2+1≥2，所以m2+n2=m2+（am+a2+2）2=（1+a2）m2+2a（a2+2）m+（a2+2）2≥■=■=（a2+1）+■+2≥■. 當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào).

方法二：由題意已知點(diǎn)（m，n）在直線(xiàn)ax-y+a2+2=0上，設(shè)原點(diǎn)（0，0）到這條直線(xiàn)的距離為d，則m2+n2≥d2=■2=■=（a2+1）+■+2≥■，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào).

上述解答過(guò)程中，方法一是消元法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以m為主元的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的最值將其表示為含有a的代數(shù)式，進(jìn)而解決問(wèn)題，其中滲透了轉(zhuǎn)化的思想. 方法二的主要思路是多元到一元的轉(zhuǎn)化，其中蘊(yùn)含了方程思想及數(shù)形結(jié)合思想. 在教學(xué)實(shí)踐中會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)對(duì)思維的提高有著重要作用，數(shù)學(xué)意識(shí)就是我們通常所說(shuō)的“數(shù)感”，而數(shù)感的形成離不開(kāi)“推理、抽象、模型”等過(guò)程，同時(shí)也倚靠實(shí)踐體驗(yàn). 數(shù)學(xué)思想的滲透是將數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)方法聚焦于數(shù)學(xué)意識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)意識(shí)的形成，同時(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程可以給學(xué)生最直接的實(shí)踐體驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法之“美”，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的提高.

思維發(fā)展：放眼“開(kāi)放問(wèn)題”，提升能力

隨著時(shí)代的發(fā)展，當(dāng)今社會(huì)對(duì)人才的創(chuàng)造能力與創(chuàng)新能力有著較高的要求，因此新課標(biāo)對(duì)學(xué)生創(chuàng)造能力及創(chuàng)新能力培養(yǎng)也越來(lái)越重視，尤其對(duì)于即將踏入高等學(xué)府深造的高中生來(lái)說(shuō)，這種能力是他們未來(lái)各方面能力綜合發(fā)展所必需的. 能力的發(fā)展過(guò)程與思維的形成都是在學(xué)習(xí)中潛移默化而成的，并且它們是相互促進(jìn)、相輔相成的. 對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，開(kāi)放性問(wèn)題的設(shè)置對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展及創(chuàng)造力的形成有著非常顯著的促進(jìn)作用.

以章節(jié)復(fù)習(xí)課“橢圓”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，可以設(shè)置這樣一道例題：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：■+■=1，點(diǎn)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，并與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，并且點(diǎn)P在x軸的上方.

（1）若FP=■FQ，求直線(xiàn)l的方程;

（2）你能否在題中再增加一個(gè)條件并自行編制一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解答呢？

（3）如果假設(shè)直線(xiàn)AP，BQ的斜率分別為k1，k2，是否存在一個(gè)常數(shù)λ，使得k1=λk2恒成立？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;如果存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的λ的值.

該例題包含三個(gè)問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題為常規(guī)問(wèn)題，是對(duì)基本知識(shí)的及時(shí)回憶及溫故;第二個(gè)問(wèn)題為全開(kāi)放問(wèn)題，學(xué)生可以在自己能力或稍高于自己能力的水平上編制適合自己的問(wèn)題，使知識(shí)得到鞏固的同時(shí)提高能力，同時(shí)學(xué)習(xí)小組間的相互交流，讓問(wèn)題進(jìn)行傳遞，可以讓學(xué)生相互促進(jìn)、相互補(bǔ)充、共同進(jìn)步，促進(jìn)思維的發(fā)散;第三個(gè)問(wèn)題為半開(kāi)放問(wèn)題，回答方式雖然不固定，但正確答案卻是唯一的，需要學(xué)生在作出正確判斷的同時(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答，該類(lèi)問(wèn)題的解答建立在完備的知識(shí)體系及正確的思維方向上. 開(kāi)放性問(wèn)題不僅有利于思維的發(fā)展與能力的提升，也便于教師分層教學(xué)與準(zhǔn)確掌握學(xué)生的能力水平. 學(xué)生從自己編制問(wèn)題及解決問(wèn)題的過(guò)程中可以體會(huì)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的“美”，增強(qiáng)數(shù)感、提高思維.

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析這六個(gè)方面. 可見(jiàn)對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而言，數(shù)學(xué)思維是主線(xiàn)，更是主體，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成都應(yīng)建立在數(shù)學(xué)思維發(fā)展的基礎(chǔ)上. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思維培養(yǎng)應(yīng)該始終以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，以先進(jìn)的心理學(xué)理論為指導(dǎo)，找到科學(xué)高效的培養(yǎng)方法. 數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是數(shù)學(xué)的靈魂，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的成效不僅在當(dāng)下，更在未來(lái)，甚至可以讓學(xué)生受用終生. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“真、善、美”，成為新時(shí)代的人才.