運(yùn)用方差細(xì)掂量

張發(fā)光

方差是統(tǒng)計(jì)知識(shí)中的重要內(nèi)容，解決有關(guān)的題目通常不難.但如果同學(xué)們概念模糊，掌握知識(shí)不牢，考慮問(wèn)題不周全.也會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，下面舉例分析.

一、對(duì)概念理解不全面

例1 省射擊隊(duì)為了從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加全國(guó)比賽，對(duì)他們進(jìn)行了六次測(cè)試，測(cè)試成績(jī)（單位：環(huán)）如下：

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出甲的平均成績(jī)是____環(huán)，乙的平均成績(jī)是___環(huán);

（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果，你認(rèn)為推薦誰(shuí)參加全國(guó)比賽比較合適？請(qǐng)說(shuō)明理由，

解：（1） x甲=x乙=9環(huán).

（2）甲、乙兩人的平均成績(jī)相同，推薦甲或乙參加比賽都行，又因乙有3次10環(huán).甲有2次10環(huán)，故推薦乙參加比賽比較合適，

剖析：上述解法不妥當(dāng)，分析數(shù)據(jù)不應(yīng)該只從平均數(shù)上分析，應(yīng)該結(jié)合方差來(lái)判斷.

正解：（1）同上.

（2）由公式可算得s甲=2/3，s乙=4/3.

推薦甲參加全國(guó)比賽比較合適，理由如下：兩人的平均成績(jī)相同，說(shuō)明實(shí)力相當(dāng);但甲的六次測(cè)試成績(jī)的方差比乙小，說(shuō)明甲發(fā)揮較穩(wěn)定.故推薦甲參加比賽.

方法指導(dǎo)：運(yùn)用平均數(shù)和方差進(jìn)行決策時(shí)，通常的方法是：①在平均數(shù)相同的情況下看成績(jī)的穩(wěn)定性;②考察取得高分的可能性;③多元化的選拔標(biāo)準(zhǔn).總之，選拔的標(biāo)準(zhǔn)不同.則得出的結(jié)論也可能不同.

二、解決問(wèn)題時(shí)未顧及實(shí)際情況

例2 某學(xué)校欲從甲、乙兩人中選出一人參加市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)的100 m短跑比賽，體育老師組織他們兩人進(jìn)行集訓(xùn)，并把10天的訓(xùn)練成績(jī)用折線圖進(jìn)行了記錄（如圖1所示）.那么，學(xué)校選誰(shuí)去參加比賽較合理？

解：從折線圖中可以知道，甲10次的成績(jī)（單位：s）分別是18，17，16，16，15，14，14，13，14，13，平均成績(jī)是15 s;乙10次的成績(jī)（單位：s）分別是17，16，15，15，14，15，14，14，15，15，乙的平均成績(jī)也是15 s.

因兩人的平均成績(jī)相同，所以需再比較他們的方差，看誰(shuí)比較穩(wěn)定.根據(jù)方差計(jì)算公式易知，甲10次成績(jī)的方差是2.6，乙是0.8.因?yàn)榧椎姆讲畋纫掖?，所以甲的成?jī)的波動(dòng)大，不穩(wěn)定;乙的方差小，成績(jī)較穩(wěn)定.因此，選乙參加比賽較合理.

剖析：上述解法是不妥當(dāng)?shù)?，從折線統(tǒng)計(jì)圖可以發(fā)現(xiàn)，10天的訓(xùn)練成績(jī)中，甲雖然不太穩(wěn)定，但可能是因?yàn)樵谟?xùn)練的頭幾天成績(jī)較差.經(jīng)過(guò)幾天訓(xùn)練后甲的成績(jī)有明顯提高，說(shuō)明他進(jìn)步快，很有潛力.而乙的進(jìn)步較慢，到后幾天就停滯不前了，甚至退步.另一方面，在10次訓(xùn)練成績(jī)中，甲有5次的成績(jī)?cè)?5 s內(nèi)（不到15 s），而乙卻只有3次.

正解：如果學(xué)校想求穩(wěn)，應(yīng)選乙，因?yàn)樵谄骄煽?jī)相同的情況下乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定;如果學(xué)校想爭(zhēng)奪冠軍，應(yīng)選甲，因?yàn)榧子?次的成績(jī)達(dá)到了13 s，有奪冠的可能.

方法指導(dǎo)：方差是反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，方差只反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.至于波動(dòng)大好還是波動(dòng)小好，即方差大好還是方差小好，那要看所研究的實(shí)際問(wèn)題，認(rèn)為方差小的數(shù)據(jù)“較好”，其實(shí)是對(duì)方差的一種片面性的理解。