數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度

田載今

客觀事物帶有各種信息，這些信息的表現(xiàn)形式和載體叫作數(shù)據(jù).例如，測(cè)量溫度、濕度、氣壓、風(fēng)力、風(fēng)向等所產(chǎn)生的各種記錄，都是研究氣象問(wèn)題離不開(kāi)的數(shù)據(jù)，

統(tǒng)計(jì)過(guò)程主要分為三步：第一步是收集數(shù)據(jù);第二步是整理數(shù)據(jù)，即對(duì)收集的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、加工，從中提取出數(shù)據(jù)的代表;第三步是分析數(shù)據(jù)，即通過(guò)數(shù)據(jù)的代表研究數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的規(guī)律，從而研究已發(fā)生的事或預(yù)測(cè)將發(fā)生的事.

一、數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)

分析數(shù)據(jù)時(shí)，通常關(guān)注“一組數(shù)據(jù)圍繞哪個(gè)中心數(shù)值分布”.這個(gè)問(wèn)題關(guān)系到一組數(shù)據(jù)的平均水平或一般情況，對(duì)發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律有重要參考價(jià)值，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把一組數(shù)據(jù)向某一中心數(shù)值靠攏的情形，稱為這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，為描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，可以選擇不同的數(shù)據(jù)代表.如果從數(shù)據(jù)取值大小的角度描述，可用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表：如果從數(shù)據(jù)排列位置的角度描述，可用中位數(shù)作為數(shù)據(jù)代表;如果從不同數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)的角度描述，可用眾數(shù)作為數(shù)據(jù)代表.這三個(gè)數(shù)據(jù)代表從不同角度反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們各有各的作用，分別適合于不同情況的數(shù)據(jù)分析.

例1 為比較A，B兩個(gè)玉米品種，將它們分別種植在面積相等的多塊試驗(yàn)田中，每塊試驗(yàn)田只種一種玉米，下表記錄了兩種玉米收獲后的產(chǎn)量分布情況.表中第一行為單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量，下面兩行分別為A，B兩個(gè)品種中與第一行產(chǎn)量對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)田的塊數(shù).

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)解答下列問(wèn)題：

（1）分別求A，B兩種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量的平均數(shù)，并說(shuō)明其意義;

（2）分別求A.B兩種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量的中位數(shù)，并說(shuō)明其意義：

（3）分別求A，B兩種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量的眾數(shù)，并說(shuō)明其意義.

解：（1）從表中可知.A種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量（單位：kg）為700，750，800，850，900，950的試驗(yàn)田塊數(shù)分別為4，20，26，20，18 ，12.通過(guò)計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，得A種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量的平均數(shù)為XA=832 kg.

同理，B種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量的平均數(shù)為xB≈ 827 kg.

從計(jì)算結(jié)果可知，在單塊試驗(yàn)田平均產(chǎn)量上A比B高5 kg.

加權(quán)平均數(shù)與通常的算術(shù)平均數(shù)本質(zhì)相同，即n個(gè)數(shù)之和除以n的結(jié)果，只是加權(quán)平均數(shù)計(jì)算起來(lái)更簡(jiǎn)捷.

（2）將A的全部單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量（共100個(gè)）從小到大依次排列，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫，這100個(gè)數(shù)據(jù)中處于正中間位置的是第50個(gè)數(shù)據(jù)800和第51個(gè)數(shù)據(jù)850，這兩數(shù)的平均數(shù)（800+850）÷2=825為A種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量的中位數(shù)，

將B的全部單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量（共99個(gè)）從小到大依次排列，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫，這99個(gè)數(shù)據(jù)中處于正中間位置的是第50個(gè)數(shù)據(jù)850，它為B種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量的中位數(shù).

從計(jì)算結(jié)果可知，A的數(shù)據(jù)中小于825的和大于825的各占50個(gè);B的數(shù)據(jù)中第50個(gè)數(shù)據(jù)850之前和之后的數(shù)據(jù)各占49個(gè).這說(shuō)明825 kg和850 kg可以分別作為A，B兩種玉米單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量的中等水平的代表.

中位數(shù)可以不是原始數(shù)據(jù).排序時(shí)既可以從小到大，也可以從大到小，兩種排法找出的中位數(shù)相同.

（3）A的全部數(shù)據(jù)（共100個(gè)）中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是800 kg（26次），800 kg即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

B的全部數(shù)據(jù)（共99個(gè)）中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是800 kg（25次）和850 kg （25次），800 kg和850 kg都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

從計(jì)算結(jié)果可知，雖然各塊試驗(yàn)田中產(chǎn)量不盡相同，但也可能有規(guī)律存在，即在一般情形下，A的單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量是800 kg的可能性較大，B的單塊試驗(yàn)田產(chǎn)量是800 kg或850 kg的可能性較大.

可以看出，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能是一個(gè)，也可能不止一個(gè).眾數(shù)是原始數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù).

平均數(shù)是最常用的一個(gè)數(shù)據(jù)代表，它通常能反映一組數(shù)據(jù)的平均水平.平均數(shù)的計(jì)算，要用到原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù).因此，一組數(shù)據(jù)中如有極端值（與多數(shù)數(shù)據(jù)相比過(guò)大或過(guò)小的個(gè)別數(shù)據(jù)）時(shí)，極端值可能對(duì)平均數(shù)影響較大.這種情形下如仍用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表，往往與多數(shù)數(shù)據(jù)的大小產(chǎn)生較大偏差，不能恰如其分地反映一組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值，這時(shí)，選擇中位數(shù)或眾數(shù)作為數(shù)據(jù)代表，或更能客觀地反映一組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值，

例2 下表為某地9月份每天空氣中細(xì)顆粒物（即PM 2.5）的測(cè)定值及相應(yīng)的天數(shù).

（1）分別求表中數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

（2）所得的平均數(shù)能客觀反映該地9月份空氣中細(xì)顆粒物的含量嗎？

解：（l）平均數(shù)約為34.9 yg/m3，中位數(shù)為24μg/m3，眾數(shù)為24 μg/m3.

（2）觀察表中數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，30天中有29天的測(cè)定值都不超過(guò)25 μg/m3，它們與平均數(shù)差距較大;30天中只有1天的測(cè)定值360μLg/m3遠(yuǎn)高過(guò)平均數(shù)，這可能是由于一次突發(fā)事故造成了空氣嚴(yán)重污染.顯然，因?yàn)橛?60這個(gè)極端值，才使得平均數(shù)的值很大.如果以平均數(shù)34.9 μg/m3作為數(shù)據(jù)代表，則不能客觀反映該地9月份空氣中細(xì)顆粒物含量的一般狀況.而以中位數(shù)或眾數(shù)24μg/m3作為數(shù)據(jù)代表，則能較好地反映客觀實(shí)際.

二、數(shù)據(jù)的離散程度

“一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值的偏離程度有多大？”這是數(shù)據(jù)分析所關(guān)注的另一個(gè)主要問(wèn)題，由它能從整體上描述這組數(shù)據(jù)的聚散狀態(tài).在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值的偏離程度，稱為這組數(shù)據(jù)的離散程度或離中程度.它反映一組數(shù)據(jù)大小的波動(dòng)狀態(tài)，從而描述了這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.

方差是表示離散程度的常用數(shù)據(jù)代表，它的計(jì)算方法是，先計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再計(jì)算各數(shù)據(jù)與所得平均數(shù)之差的平方和，最后用所得平方和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，這個(gè)結(jié)果被用于反映一組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離程度，對(duì)數(shù)據(jù)的變化幅度給予了定量的刻畫.

例3 分別計(jì)算例1中A.B兩組數(shù)據(jù)的方差，由所得方差你能看出哪種可能性？

解：s2=4 876，s2≈5 061.

從兩個(gè)方差看，B的略大于A的，即B的數(shù)據(jù)比A的數(shù)據(jù)的離散程度略高，也即B的數(shù)據(jù)起伏略大，而A的數(shù)據(jù)相對(duì)來(lái)說(shuō)略為穩(wěn)定.

同學(xué)們可能會(huì)想：為什么計(jì)算方差要用各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和？如果直接把各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差相加豈不更簡(jiǎn)單？一般情況下，一組數(shù)據(jù)中可能有些數(shù)據(jù)比平均數(shù)大，有些數(shù)據(jù)比平均數(shù)小.如果直接用它們減平均數(shù)，則這些差會(huì)有正有負(fù)，如果再把這些差相加，就會(huì)出現(xiàn)正負(fù)相抵，例如，一組數(shù)據(jù)為2，2，3，3，4，4，其平均數(shù)為3，各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差分別為一1，-1，0，0，1，1.這些差之和為0.但這并不意味著這組數(shù)據(jù)都是緊靠平均數(shù)的.使用各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和，則利用了平方的非負(fù)性，防止做加法時(shí)出現(xiàn)正負(fù)相抵而隱藏了相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的偏離.方差名稱中的“方”正是“平方”的簡(jiǎn)稱.

你也許會(huì)問(wèn)：為什么不用差的絕對(duì)值，而要用差的平方來(lái)分析離散程度呢？直接用絕對(duì)值不是也可以避免出現(xiàn)負(fù)數(shù)嗎？不使用絕對(duì)值，是因?yàn)槿〗^對(duì)值在運(yùn)算上要考慮差的正負(fù)，取差的平方則不需要考慮差的符號(hào)，而且只要四則運(yùn)算即可獲得避免正負(fù)相抵的效果.所以人們選擇用差的平方來(lái)計(jì)算方差.觀察下圖，圖1中數(shù)據(jù)的方差應(yīng)大于圖2中數(shù)據(jù)的方差，這一結(jié)論可通過(guò)測(cè)量距離或運(yùn)用方差公式計(jì)算來(lái)證明.